限制空間范圍條件下(類)平拋運(yùn)動(dòng)的末速度極值問題舉例

李愛華

(華中師大一附中,湖北 武漢 430223)

平拋運(yùn)動(dòng)是一種重要的勻變速曲線運(yùn)動(dòng),如果在運(yùn)動(dòng)中加上平面、曲面等不同限制空間范圍的條件,其末速度、時(shí)間、位移等物理量呈現(xiàn)出非單調(diào)變化,使之成為考查學(xué)生物理基本技能、運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的高考的熱點(diǎn)．

1 豎直面對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的限制

圖1

例1.如圖1所示,某人從同一位置O以不同的水平速度投出3枚飛鏢A、B、C,最后都插在豎直墻壁上,它們與墻面的夾角分別為60°、45°、30°,圖中飛鏢的取向可認(rèn)為是擊中墻面時(shí)的速度方向,不計(jì)空氣阻力,則下列說法正確的是

(A) 3只飛鏢做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度一定滿足vA0>vB0>vC0.

(B) 插在墻上的3只飛鏢的反向延長(zhǎng)線一定交于同一點(diǎn).

(C) 3只飛鏢擊中墻面的速度滿足vA

(D) 3只飛鏢擊中墻面的速度一定滿足vA=vC>vB.

圖2

解析：答案為(A)、(B)、(D)．對(duì)于(D)選項(xiàng),如圖2所示,考慮寫出飛鏢打在墻面某點(diǎn)E的末速度v關(guān)于θ的函數(shù)．

設(shè)OD為x,DE為y,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律

以上各式聯(lián)立得

啟示：(1) 從定點(diǎn)O到豎直約束面,水平位移x一定,考慮用x表示其他物理量．

(2) 直接區(qū)別A、B、C3點(diǎn)的是飛鏢與墻面的夾角,所以優(yōu)先考慮寫出末速度v關(guān)于θ的函數(shù)．

(3) 本例用到求極值方法1——三角函數(shù)求極值．

2 水平面對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的限制

圖3

例2.如圖3所示,水平放置的平行板電容器極板A、B間加有恒定電壓,a點(diǎn)與下極板的距離為d,一帶電粒子從a點(diǎn)水平射入電場(chǎng),初速度大小為v1,粒子偏轉(zhuǎn)后打在下極板的P點(diǎn)時(shí)速度大小為v1′,其水平射程為2d．若該粒子從與a點(diǎn)在同一豎直線上的b點(diǎn)(圖中未標(biāo)出)水平射入電場(chǎng),初速度大小為v2,帶電粒子仍能打到P點(diǎn),打到P點(diǎn)時(shí)速度大小為v2′．下列判斷正確的是

(A) 若b點(diǎn)在a點(diǎn)上方,則v1>v2.

(B) 若b點(diǎn)在a點(diǎn)下方,則v1>v2.

圖4

(C) 若b點(diǎn)在a點(diǎn)上方,則v1′>v2′.

(D) 若b點(diǎn)在a點(diǎn)下方,則v1′>v2′.

解析：答案為(A)、(B)、(D)．對(duì)于(B)、(D)選項(xiàng),如圖4所示,設(shè)初速度為v,加速度為a,打到P點(diǎn)電場(chǎng)方向位移為y,由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及動(dòng)能定理

以上各式聯(lián)立得

啟示：(1) 從豎直線到水平面定點(diǎn)P,水平位移x=2d保持一定．

(2) 豎直(電場(chǎng))方向位移y變化,優(yōu)先考慮寫出末速度v關(guān)于y的函數(shù)．

(3) 本例用到求極值方法2——雙勾函數(shù)求極值．

3 斜面對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的限制

圖5

例3.如圖5所示,一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從傾角θ=45°的底端正上方h=2.4m處水平拋出,不計(jì)空氣阻力

(B) 若初速度加倍,小球飛行時(shí)間減半.

(C) 若小球垂直撞在斜面上,則初速度為4m/s.

(D) 若落點(diǎn)由A到B逐漸升高,小球落到斜面時(shí)的動(dòng)能逐漸增大.

解析：答案為(A)、(C)、(D)．對(duì)于(D)選項(xiàng),設(shè)小球初速度為v0,落到斜面上時(shí),下落的高度為y,水平位移為x,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及動(dòng)能定理

注意到斜面約束

聯(lián)立得

(2) 本例用到求極值方法2——雙勾函數(shù)求極值．

4 拋物面對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的限制

圖6

(1) 求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能;

(2) 此人水平跳出的速度為多大時(shí),他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小?動(dòng)能的最小值為多少?

解析：(1) 設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x,豎直位移為H,由

此過程中由動(dòng)能定理，得

注意到拋物面約束

和幾何關(guān)系

y=2h-H.

聯(lián)立得

啟示：(1) 可以考慮在題設(shè)坐標(biāo)系下直接寫出探險(xiǎn)隊(duì)員的拋物線方程,求出兩條拋物線交點(diǎn),輔以能量關(guān)系寫出末動(dòng)能關(guān)于初速度的函數(shù)．

(2) 本例用到求極值方法3——基本不等式性質(zhì),求極值方法4——配方法求極值．

5 圓弧面對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的限制

圖7

例5.如圖7所示,AB為豎直平面內(nèi)1/4圓弧,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從圓心O處水平拋出,不計(jì)空氣阻力,當(dāng)小球落到圓弧上時(shí)

(A) 落點(diǎn)越靠近B點(diǎn),平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng). (B) 速度的反向延長(zhǎng)線可能過OA的中點(diǎn).

(C) 小球落在圓弧中點(diǎn)處時(shí)動(dòng)能最小.

(D) 動(dòng)能最小的位置在圓弧中點(diǎn)的下方.

解析：答案為(A)、(D)．設(shè)小球初速度為v0,落到圓弧上時(shí),下落的高度為y,水平位移為x, 圓弧半徑為R,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律

此過程中由動(dòng)能定理，可得

注意到弧面約束

x2+y2=R2.

聯(lián)立得

啟示： (1) 從定點(diǎn)O到圓弧面,合位移大小恒為R,可考慮用x表示y,也可考慮優(yōu)先用角度參量θ表示為x=Rcosθy=Rsinθ．

(2) 本例用到求極值方法2——雙勾函數(shù)求極值,也可用三角函數(shù)求極值．

解決此類問題,要充分注意限制條件對(duì)水平位移、豎直位移或合位移的限制,抓住不變的量,寫出相應(yīng)函數(shù)關(guān)系式,靈活運(yùn)用三角函數(shù)、雙勾函數(shù)、基本不等式性質(zhì)、配方等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．