基于分數階和非局部全變差模型的圖像去模糊

向雨晴，楊曉梅

(四川大學 電氣信息學院，四川 成都 610065)

0 引 言

作為一種基礎的圖像復原技術，圖像去模糊廣泛應用于各個圖像領域。圖像模糊過程在數學上可看成模糊核和原始清晰圖像卷積運算后加噪聲的操作，可表示為

f=h*x+n

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式中：f表示退化圖像，x表示原始清晰圖像，h表示模糊核，*表示卷積運算，n表示附加噪聲。本文討論的是已知f、h求x的非盲去模糊逆問題，基于正則化的全變差(TV)方法經常用于求解此類問題。L.Rudin等提出基于TV的圖像ROF去噪模型，其強大的邊緣保護能力使之應用到去模糊及圖像重建等領域[1,2]，但該模型會使圖像產生階梯效應，對紋理細節的恢復也并不具有優勢。

為了更好地利用圖像本身的先驗信息，文獻[3]提出基于非局部全變差(NLTV)正則化的圖像重建模型，更好地恢復了圖像紋理細節。為減少階梯效應和避免高階全變差(HOTV)模型的邊緣過平滑的缺點，基于TV的衍生形式——分數階全變差(FOTV)模型得到提出和應用[4,5]。考慮到綜合利用NLTV和FOTV的優勢，本文運用全局梯度提取法(GGES)[6,7]把圖像分成平滑和細節兩部分，分別對其進行FOTV和NLTV正則化約束，提出了一種結合這兩種TV正則化方法的非盲去模糊模型，它一方面減少了階梯效應和邊緣過平滑的現象，另一方面能很好地保留圖像的紋理細節，比單獨運用FOTV或NLTV的模型更具優勢，且對不同級別的噪聲具有一定的魯棒性。

1 FOTV和NLTV的非盲去模糊模型

1.1 基于FOTV的非盲去模糊模型

分數階有界變差是傳統的有界變差空間的推廣和延伸，其在形式上和傳統的TV模型并無差異，只是有界變差空間建立在分數階梯度模值的基礎上，其首先被用于圖像去噪和超分辨率重建方面。基于FOTV的圖像非盲去模糊重建模型為

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關于α取值對應的分數階微分算子的幅頻特性曲線如圖1所示。

圖1 分數階微分幅頻特性曲線

由圖1可知，不同階次(α>1)的分數階微分算子對信號均有提高的作用，且頻率越高，提高作用呈非線性增長；對于高頻信號，分數階階次越大提高效果越明顯，對于低頻信號，階次越小提高效果越佳。當階次等于1，此時的FOTV模型即為傳統的TV形式；當階次取大于2的整數，則演變成HOTV的形式。傳統的TV正則化模型去模糊時通常伴隨階梯效應，而HOTV可以消除階梯效應但又會產生邊緣過平滑這一負效應[8]；當階次取稍大于1的分數，FOTV正則化模型可以消除階梯效應的同時避免邊緣過平滑。基于此，結合實驗對于平滑區選取1.2的分數階全變差進行優化求解。圖像像素x(i,j) 在本文的分數階差分定義為G-L定義[9]取前K項近似，其水平和垂直方向的表達式分別為

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1.2 基于NLTV的非盲去模糊模型

自然圖像中存在高度冗余的相似性信息，即存在著許多相似特性的區域，且其常常以周期形式出現。根據紋理細節具有的冗余相似性，利用圖像本身的信息來用于合成圖像的紋理細節，基于非局部相似性的NLTV進而成為圖像修復和重建的另一種方法。圖像非盲去模糊的NLTV模型如下

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其中，μ表示正則項系數，w(x(m，n)，x(i，j))表示以兩個像素點x(i，j)、x(m，n)為中心的兩個區域圖像間的相似性權重，其大小取決這兩像素鄰域相似性大小，兩像素鄰域相似性越大則其相似性權重也越大，且其取值在0到1之間。

1.3 結合FOTV和NLTV非盲去模糊模型

綜合NLTV和FOTV模型各自的優勢，將之運用到圖像去模糊重建中是本文研究的起點。本文首先采用GGES將圖像x分解成平滑、邊緣和紋理3個部分，其中邊緣和平滑區域作為xs，紋理細節作為xd，以barbara圖像為例，分解結果如圖2所示。用FOTV約束xs作為一個正則項，用NLTV模型約束xd作為另一個正則項，加上圖像數據保真項得到本文的數學模型如下

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圖2 GGES分解barbara結果注：(a)原始圖；(b)原始圖xs部分；(c)原始圖xd部分；(d)模糊噪聲圖；(e)模糊噪聲圖xs部分；(f)模糊噪聲圖xd部分

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2 求解算法

對于上式兩個正則項都是不可微的凸函數優化問題，本文采用ADMM[2,10]和BOS[3]算法分別對xs和xd進行逐步求解。

2.1 ADMM求解xs

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利用式(11)的約束條件，采用懲罰方法將兩者的差的L2范數的平方作為懲罰項，從而將上述有約束的優化問題轉為無約束優化問題

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由于上式等號右邊都是二次項，通過對xs求導，得到關于xs導數為0方程

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式中：°表示點乘，F、F-1分別代表傅里葉變換和傅里葉反變換。

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采用軟閾值方法[11]求解d1k+1

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2.2 BOS求解xd

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為了加速求解xd，運用變量分裂的思想引入輔助變量v，令v=xd， 根據BOS迭代策略上述問題轉為

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2.3 算法總結

先后對兩個子問題的求解，得到表1的FNLTV算法。

表1 FNLTV算法

3 實 驗

3.1 實驗參數

本文實驗選取了4幅包含了平滑、邊緣和紋理細節部分大小為256×256像素的經典數字圖像：barbara、lena、fingerprint、cameraman。實驗原始圖像如圖3所示。

圖3 原始實驗圖注：(a)barbara；(b)lena；(c)cameraman；(d)fingerprint

本文所有實驗基于Matalb R2012b 8.0.0.783完成，實驗的計算機處理器為Intel I3-2350M (2.30 GHz)，RAM為2 GB，實驗附加噪聲設置為加性高斯噪聲，且分為3個不同級別。實驗選取了4種比較常見的模糊核BK(blur kernel)：角度為135，長度為15的運動(motion)模糊BK1；尺寸為21×21，標準差為2的高斯(Gaussian)模糊BK2；尺寸為5的圓盤(disk)模糊BK3；尺寸為9的均勻(ave-rage)模糊BK4。本文算法的參數眾多：tol、α、K、λ、β、μ、δ，經過反復實驗，將參數設置成如下：tol=0.001、α=1.2、K=17、δ=1.1；FOTV和NLTV的正則項參數和懲罰項參數在噪聲水平不同的情況下也要隨之變化。根據實驗調試結果，λ、β和μ的選取情況見表2。

3.2 實驗效果

為了直觀且有針對性地具體地驗證本文算法的有效性，采用文獻[9]提出的階次為1.2的FTVd算法、文獻[12]提出的TVd算法和以及文獻[3]提出的NLTV-pbos，簡稱NLTV算法作為3種對比算法進行實驗。以lena 圖像在噪聲級別為30 dB時去高斯模糊的情況作為例子，在視覺上驗證本文算法相對于單一的分數階全變差模型和傳統的全變差模型的優越性，對比了3種算法的去模糊效果和細節圖，如圖4、圖5所示。

表2 不同噪聲級別實驗參數選取

圖4 lena對比實驗注：(a)lena原始圖；(b)高斯模糊圖；(c)TVd復原圖(psnr=21.75)；(d)FOTV復原圖(psnr=22.61)；(e)NLTV復原圖(psnr=21.21)；(f)本文算法圖(psnr=22.71)

圖5 lena細節圖注：(a)原始細節；(b)高斯模糊細節；(c)TVd復原細節；(d)FTVd復原細節；(e)NLTV復原細節；(f)本文算法細節

由圖4、圖5可知，NLTV復原圖較暗，效果最差；本文算法沒有明顯的階梯效應，較FTVd算法效果提高不明顯，但根據細節圖本文算法恢復的頭發細節更多，也去除了更多的噪聲。

3.3 實驗數據

為了客觀地驗證本文算法的有效性，以峰值信噪比PSNR(peak signal-to-noise ratio)為指標進行實驗，對4幅實驗圖像進行噪聲級別分別為BSNR=40 dB、30 dB、20 dB時4種模糊核的去模糊實驗，得到的實驗數據見表3～表5。

表3 BSNR=40 dB時不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對比

表4 BSNR=30 dB時不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對比

表5 BSNR=20 dB時不同圖像各算法非盲去模糊PSNR(dB)對比

根據實驗數據，對比其它3種算法，對于3種不同級別的附加噪聲4種去模糊效果來看，本文算法具有一定程度的優勢，尤其是去高斯模糊，均具有最佳PSNR值，具體表現為：當BSNR=40 dB時，lena和barbara圖的4種去模糊效果本文算法都比較優秀，總能具有最佳PSNR值，對于紋理細節相對較多的fingerprint圖，本文算法只對去高斯模糊具有最優的PSNR值，其它3種去模糊效果不如FTVd效果好；對于紋理細節相對較少的cameraman圖，本文算法去高斯模糊PSNR值最佳，其它3種模糊傳統TV表現最佳；當BSNR=30 dB、20 dB時，4幅圖像4種去模糊效果本文算法都表現較好，基本能具有最佳的PSNR值。

4 結束語

本文算法一定程度地結合了FOTV和NLTV模型在圖像非盲去模糊重建方面的優勢，一方面利用了FOTV算法消除階梯效應的特性，分數階次的適當選取避免了過平滑現象，同時還保留了TV模型強大的邊緣保護能力；另一方面利用了NLTV算法保留紋理細節的優勢，充分運用了圖像本身結構信息。從實驗結果來看，對比單獨的FOTV和NLTV算法，雖然不是對所有圖像均表現了絕對的優勢，但總體上本文算法優勢明顯，階梯效應和過平滑效應均得到一定的避免，且較好地恢復了圖像的紋理細節。但由于本文算法涉及兩種TV模型，正則化參數和懲罰參數眾多，因此程序調試的周期相對比較長，這也是本文的最大不足之處，需要做進一步的參數自適應的研究和改進。