一二三四五 天體搞清楚

湖北 榮萬軍 向 鋒 郭 愛

隨著中國航天事業的蓬勃發展，高考也更加偏向于以最新的航天科技成果為背景進行命題，突顯課程性質和學科精神，響應國家提出的培養核心素養號召。萬有引力定律與航天是高考的超級熱點，幾乎算得上是必考點。從考綱要求來看，萬有引力定律及其應用和環繞速度屬于Ⅱ級要求，歸類為重點知識，而第二宇宙速度、第三宇宙速度及經典時空觀、相對論時空觀屬于Ⅰ級要求，僅作了解。另外萬有引力定律涉及概念和模型較多，公式繁多且靈活多變，學生易錯易混，是高中物理的一個關卡。本文試圖通過一句話“一二三四五，天體搞清楚”來介紹重難點，供師生參考。

一、理解一條定律

萬有引力定律主要考查其公式的適用條件和靈活運用。

1.公式的適用條件

【例1】一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖1所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d=6r處有一個質量為m2的質點，則剩余部分對m2的萬有引力為 。

圖1

【點評】此題是萬有引力定律的經典題目，涉及定律本身、合力和分力、球形體積公式等知識。

【感悟】公式的適用條件是求解質點之間或者等效成質點的勻質球間的引力；引力半徑6r和5r的使用最易出錯。

【變式訓練】某地區的地下發現天然氣資源，如圖2所示，在水平地面P點的正下方有一球形空腔區域內儲藏有天然氣。假設該地區巖石均勻分布且密度為ρ，天然氣的密度遠小于ρ，可忽略不計。如果沒有該空腔，地球表面正常的重力加速度大小為g；由于空腔的存在，現測得P點處的重力加速度大小為kg(k<1)。已知引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，則此球形空腔的體積是

( )

圖2

【點評】此題考查的是萬有引力定律的應用。

【答案】D

【感悟】忽略自轉時重力等于萬有引力(g值的應用)，體會割補法的應用。

2.公式的靈活運用

【例2】理論上已經證明：質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零。假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如圖3所示。一個質量一定的小物體(假設它能夠在地球內部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，則下圖所示的四個F隨x的變化關系圖正確的是

( )

圖4

圖3

【點評】此題是由2012年的全國卷改編的一道信息題，考查萬有引力定律公式的靈活運用。

【答案】A

【感悟】抓住信息:質量分布均勻的球殼對殼內物體的萬有引力為零,將球體分成兩部分(球體與球殼)，類似例1和變式訓練。

二、掌握兩種模型

兩種模型是繞地模型和隨地模型。繞地模型就是衛星繞地球做勻速圓周運動。隨地模型就是地表物體隨地球自轉，通常考查兩種情況：忽略自轉(簡單)和考慮自轉(較難)。

【例3】如圖5所示，地球赤道上的山丘e，近地資源衛星p和同步通信衛星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動。設e、p、q的圓周運動速率分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則正確的是

( )

圖5

【點評】此題考查兩種模型的區別與聯系。

【答案】D

【感悟】地表物體要通過同步衛星才可與其他衛星進行參量的比較。

三、學會三種方法

天體運動問題計算量大，要適當掌握估算的技巧，而公式繁多則要善用比例法，對于空間位置要會找幾何關系。

1.估算法

【例4】“嫦娥一號”是我國首次發射的探月衛星，它在距月球表面高度為200 km的圓形軌道上運行，運行周期為127 min。已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，月球的半徑為1.74×103km，利用以上數據估算月球的質量約為

( )

A．8.1×1010kg B．7.4×1013kg

C．5.4×1019kg D．7.4×1022kg

【點評】天體運動經常考查學生的估算能力。

【答案】D

2.比例法

( )

【點評】比例法在天體運動的計算中運用頻率較高。

【答案】B

3.幾何法

【例6】宇宙飛船以周期T繞地球做圓周運動時，由于地球遮擋陽光，會經歷“日全食”過程，如圖6所示。已知地球的半徑為R，地球質量為M，引力常量為G，地球自轉周期為T0。太陽光可看作平行光，宇航員在A點測出地球的張角為α，則下面正確的是

( )

圖6

【點評】由幾何關系尋找物理量間的關系是高考考查學生運用數學方法解決物理問題的常見方式。

【答案】D

圖7

四、熟悉四個重點

1.計算天體質量及密度

【例7】如圖8所示，“天宮二號”在距離地面393 km的近圓軌道運行。已知萬有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，地球質量M=6.0×1024kg，地球半徑R=6.4×103km。由以上數據可估算

( )

圖8

A.“天宮二號”質量

B.“天宮二號”運行速度

C.“天宮二號”受到的向心力

D. 地球對“天宮二號”的引力

【點評】此題容易產生思維定式且易將中心天體和環繞天體的質量弄混淆。

【答案】B

【感悟】“引進外資”法(即繞地模型)只能求中心天體的質量，無法求出環繞天體的質量。

2.人造衛星和宇宙速度

【例8】我國自主研制的“嫦娥三號”，攜帶“玉兔”月球車已于2013年12月2日1時30分在西昌衛星發射中心發射升空，落月點有一個富有詩意的名字——“廣寒宮”。若已知月球質量為m月，半徑為R，引力常量為G，以下說法正確的是

( )

【點評】考查第一宇宙速度和重力加速度的求解方法。

【答案】C

【感悟】月球上的第一宇宙速度和加速度可以類比地球上的方法求解，實現方法的遷移，而弄清參量變化是關鍵。

3.多星問題

【例9】太空中存在一些離其他恒星很遠的、由三顆星體組成的三星系統，可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是直線三星系統——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上。已知某直線三星系統A的每顆星體的質量均為m，相鄰兩顆星中心間的距離都為R；某三角形三星系統B的每顆星體的質量恰好也均為m，且三星系統A外側的兩顆星體做勻速圓周運動的周期和三星系統B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等。引力常量為G，則正確的是

( )

【點評】本題考查三星系統的兩種形式。

【解析】在第一種形式下如圖9所示 ：三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行。

圖9

【答案】BCD

【感悟】軌道半徑和引力半徑是易錯點，向心力和幾何關系是難點。

圖10

4.變軌問題

【例10】2009年5月，航天飛機在完成對哈勃空間望遠鏡的維修任務后，在A點從圓形軌道Ⅰ進入橢圓軌道Ⅱ，B為軌道Ⅱ上的一點，如圖11所示，關于航天飛機的運動，下列正確的是

( )

A.在軌道Ⅱ上經過A的速度小于經過B的速度

B.在軌道Ⅱ上經過A的動能小于在軌道Ⅰ上經過A的動能

C.在軌道Ⅱ上運動的周期小于在軌道Ⅰ上運動的周期

D.在軌道Ⅱ上經過A的加速度小于在軌道Ⅰ上經過A的加速度

圖11

【點評】本題是典型的衛星變軌問題，綜合考查了圓周運動的動力學問題和開普勒第二、三定律。

【答案】ABC

【感悟】進高軌要加速，掉低軌要減速；轉移軌道是橢圓，要用開普勒三定律；有時還要輔助一個圓軌道進行比較。

【變式訓練】如圖12為“嫦娥三號”登月軌跡示意圖。圖中M點為環地球運動的近地點，N為環月球運動的近月點。a為環月運行的圓軌道,b為環月球運動的橢圓軌道，下列說法中正確的是

( )

圖12

A．“嫦娥三號”在環地球軌道上的運行速度大于 11.2 km/s

B．“嫦娥三號”在M點進入地月轉移軌道時應點火加速

C．設“嫦娥三號”在圓軌道a上經過N點時的加速度為a1，在橢圓軌道b上經過N點時的加速度為a2，則a1=a2

D．“嫦娥三號”在圓軌道a上的機械能小于在橢圓軌道b上的機械能

【點評】本題以“嫦娥三號”登月為背景，對比考查衛星的發射和回收。

【解析】11.2 km/s為第二宇宙速度，“嫦娥三號”在環地球軌道上的運行速度小于11.2 km/s，故A錯誤；從低軌道進入高軌道需點火加速，故B正確；“嫦娥三號”在a、b兩軌道上N點，受月球引力相同，根據牛頓第二定律可知，加速度也相同，即a1=a2，故C錯誤；從軌道a進入軌道b需在N點加速，所以機械能增大，即軌道b上機械能大于軌道a上的機械能，故D正確。

【答案】BD

【感悟】三個宇宙速度的實質都是對圓周運動動力學的考查；機械能可以通過變軌時的加、減速進行比較，只受萬有引力時機械能守恒。

五、化解五大難點

1.自轉難點

【例11】設地球自轉周期為T，質量為M，引力常量為G。假設地球可視為質量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時所受到的支持力之比為

( )

【點評】此題考查自轉中的受力問題。

【答案】A

【感悟】地表物體隨地球自轉繞地軸做勻速圓周運動的特點：與地球自轉具有相同的周期；支持力與重力等大反向；萬有引力和支持力的合力提供物體做勻速圓周運動的向心力。另外謹防任何情況下萬有引力都等于重力的定式思維。

2.重力加速度

【例12】物體在地球表面重16 N，地面上重力加速度為10 m/s2。它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的視重為9 N，則此火箭離地球表面的距離為地球半徑的

( )

A．2倍 B．3倍

C．4倍 D．一半

【點評】此題考查牛頓運動定律和萬有引力定律的應用。

【答案】B

【感悟】視重就是物體受到的支持力或者拉力，可以不等于重力；火箭加速上升時，重力變化是難點，而將視重當作重力是易錯點。

3.追及相遇

【例13】某行星和地球繞太陽公轉的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖13所示該行星與地球的公轉半徑比為

( )

圖13

【點評】本題是典型的天體追及問題，綜合考查了圓周運動和開普勒第三定律。

【答案】B

【感悟】追及問題必須找出各相關物理量間的關系，通常利用圓周運動“(角)位移關系”列方程，或者能直接將(角)位移關系轉化成轉動圈數關系，運算過程更簡潔。相距“最近”或“最遠”是突破口，相遇次數和繞行方向可造成多解。

4.信息題型

【例14】2011年 8月，“嫦娥二號”成功進入了繞“日地拉格朗日點”的軌道，我國成為世界上第三個造訪該點的國家，如圖14所示，該拉格朗日點位于太陽與地球連線的延長線上，一飛行器位于該點，在幾乎不消耗燃料的情況下與地球同步繞太陽做圓周運動，則此飛行器的

( )

A.線速度大于地球的線速度

B.向心加速度大于地球的向心加速度

C.向心力僅由太陽的引力提供

D.向心力僅由地球的引力提供

圖14

【點評】飛行器與地球同步繞太陽做圓周運動是題干中的關鍵信息。

【解析】飛行器與地球同步繞太陽運動，角速度相等，根據v=ωr，知飛行器的線速度大于地球的線速度，故A正確；由a=ω2r知，飛行器的向心加速度大于地球的向心加速度，故B正確；飛行器的向心力由太陽和地球引力的合力提供，故CD錯誤。

【答案】AB

【感悟】新信息類題目需要對所給信息反復閱讀，直到明白若飛行器只受地球引力或者只受太陽引力都不能與地球同步繞太陽做圓周運動，其向心力必須由太陽和地球引力的合力提供。

5.天體的能量變化

( )

圖15

【點評】題目中給出了引力勢能的表達式，考查天體的能量變化。

【答案】D