數(shù)學(xué)極值法在圓周運(yùn)動(dòng)模型中的應(yīng)用例析

廣東 任富華

一、往年模擬試題例析

【例題1】(2016年廣東佛山順德適應(yīng)性考試物理試題第4題)如圖1所示，內(nèi)壁光滑質(zhì)量為m的管形圓軌道，豎直放置在光滑水平地面上，恰好處在兩固定光滑擋板M、N之間，圓軌道半徑為R；質(zhì)量為m的小球能在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，管的內(nèi)徑忽略不計(jì)。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零，下列判斷正確的是

( )

圖1

A．圓軌道對(duì)地面的最大壓力大小為8mg

B．圓軌道對(duì)擋板M、N的壓力總為零

D．當(dāng)小球離擋板N最近時(shí)，圓軌對(duì)擋板N的壓力大小為5mg

【答案】A

【例題2】[寧夏銀川一中2017屆高三考前適應(yīng)性訓(xùn)練(一)物理試題第7題]如圖2所示，內(nèi)壁光滑的圓管形軌道放在光滑水平地面上，且恰好處在兩固定光滑的擋板M、N之間，圓軌道半徑為R，其質(zhì)量為2m，一質(zhì)量為m的小球能在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，管的內(nèi)徑不計(jì)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零，則下列判斷正確的是

( )

圖2

B．圓軌道對(duì)地面的最大壓力大小為10mg

C．當(dāng)小球離擋板N最近時(shí)，圓軌對(duì)擋板N的壓力大小為5mg

D．圓軌道對(duì)擋板M、N的壓力總為零

【答案】BC

以上兩個(gè)例題用的是同一個(gè)物理模型，考查的知識(shí)點(diǎn)也是一樣的。

【例題1解析】小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)圓軌道對(duì)地面的壓力為零，可知小球?qū)A軌道的作用力等于圓軌道受到的重力，由牛頓第三定律和牛頓第二定律可知：

小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到離擋板N最近時(shí)，由機(jī)械能守恒定律有：

圓軌道對(duì)小球的作用力提供小球的向心力，有：

由①②③三式解得圓軌道對(duì)擋板N的壓力：

N1′=N1=4mg

小球從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，由機(jī)械能守恒有：

小球在最低點(diǎn)，合外力提供向心力，有：

解得小球在最低點(diǎn)對(duì)圓軌道的壓力：N2′=N2=7mg

所以圓軌道對(duì)地面的壓力：N3=N2′+mg=8mg。

例題2與例題1解法相同，在此不再贅述。

二、分析模型，提出問題

由于以上物理模型能較好地考查學(xué)生的綜合能力，利用網(wǎng)絡(luò)搜索不難發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)校都用了這個(gè)物理模型，或直接引用，或修改了已知條件。學(xué)生解題時(shí)，關(guān)注的是用什么樣的物理定律、定理和方法，對(duì)物理模型本身的合理性不會(huì)質(zhì)疑。物理教師解題或編題時(shí)，不僅要知道解題的方法，更要關(guān)注物理模型本身的合理性。物理模型往往是理想化的，但并不是空想而來、隨意捏造，而是對(duì)實(shí)際問題的抽象，它必須符合物理規(guī)律，可以被人們的思維所接受。

就以上物理模型，可以進(jìn)行這樣問答式的定性辨析：小球過圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道為何會(huì)對(duì)地面的壓力剛好為零？因?yàn)樾∏驅(qū)A軌道豎直向上的作用力等于圓軌道受到的重力；小球的位置不是在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，可不可以使圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零？可以，小球給圓軌道斜向上的作用力，當(dāng)此力在豎直方向的分力等于圓軌道受到的重力時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力為零，如圖3所示；小球從A向B運(yùn)動(dòng)過程中，速度大小怎么變化？向心力大小怎么變？小球的速度減小，小球的向心力變小；小球?qū)壍赖膹椓Υ笮≡趺醋兓繌腁到B，分析小球，設(shè)圓軌道對(duì)小球的作用力為F，由牛頓第二定律可知：F+mgcosθ=F向，F(xiàn)向減小，mgcosθ增大，故F一定減小，由牛頓第三定律可知F′一定減小；小球?qū)A軌道作用力的豎直分力怎么變？小球?qū)A軌道的豎直分力就是圖3中Fy，F(xiàn)y=F′cosθ，小球從A到B的運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)′在減小，cosθ在增大，故不能直接判斷豎直分力Fy怎么變化。

圖3

通過以上辨析可知，小球?qū)A軌道的豎直分力最大值不一定在最高點(diǎn)。若在最高點(diǎn)之前的某個(gè)位置出現(xiàn)最大值，題目中“當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零”就是一個(gè)錯(cuò)誤的設(shè)定，實(shí)際上小球在達(dá)到最高點(diǎn)之前，小球?qū)A軌道的豎直分力已經(jīng)大于了圓軌道受到的重力，圓軌道離開了地面。那么，到底是不是在小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)最大的豎直分力呢？若不是在最高點(diǎn)出現(xiàn)最大的豎直分力，又是在什么位置？要解決以上問題，需要利用數(shù)學(xué)極值法定量研究。

三、利用數(shù)學(xué)極值法解決問題

我們來研究例題2，假設(shè)“當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零”是正確的。如圖4所示，設(shè)小球在最高點(diǎn)的速度為v1，在P點(diǎn)的速度為v2，根據(jù)機(jī)械能守恒有：

圖4

由于小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零，可知小球?qū)A軌道的作用力等于圓軌道受到的重力，由牛頓第三定律和牛頓第二定律可知，小球在最高點(diǎn)有：

小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)受力分析如圖4，有：

由①②③三式結(jié)合牛頓第三定律可解得小球?qū)A軌道的作用力：

F′=F=5mg-3mgcosθ

小球?qū)A軌道的豎直分力：

Fy=F′cosθ=5mgcosθ-3mgcos2θ

以上結(jié)論告訴我們，在假設(shè)成立的情況下，小球在達(dá)到最高點(diǎn)之前圓軌道已經(jīng)離開了地面，不符合題意。故題中“當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零”的設(shè)定是不正確的。

為了進(jìn)一步研究問題，設(shè)小球的質(zhì)量為m，圓軌道的質(zhì)量為M，仍假設(shè)“當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，圓軌道對(duì)地面的壓力剛好為零”是正確的，有：

由①③④三式結(jié)合牛頓第三定律可解得小球?qū)A軌道的作用力：

F′=F=(3mg+Mg)-3mgcosθ

小球?qū)A軌道的豎直分力：

Fy=F′cosθ=(3mg+Mg)cosθ-3mgcos2θ

因此，對(duì)于本文給出的兩個(gè)例題研究的物理模型來講，設(shè)圓軌道質(zhì)量為M，小球質(zhì)量為m，為了嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，無科學(xué)性錯(cuò)誤，在設(shè)定質(zhì)量時(shí)，應(yīng)讓圓軌道質(zhì)量大于或等于小球質(zhì)量的3倍，即：M≥3m。