基于樣本信息重構的小子樣P-S-N曲線擬合方法

劉文飛， 劉志明， 薛 海， 賈裕祥

(1. 北京交通大學 機械與電子控制工程學院， 北京 100044； 2. 包頭北方創業有限責任公司， 內蒙古 包頭 014032)

概率疲勞壽命曲線(以下簡稱P-S-N曲線)是進行結構疲勞可靠性設計與評定的基礎。利用疲勞試驗數據擬合高精度的P-S-N曲線是疲勞研究者與統計學者長期關注的重點之一[1]。根據抽樣理論，試驗樣本量越大，試驗評估準確度就越高，越能夠真實地反映產品質量水平[2]。但由于疲勞試驗成本高且耗時長等條件的限制，一般情況下很少能滿足抽樣理論中大樣本數據的要求，尤其對于尺寸較大的結構件或比較貴重的零部件只能基于小子樣或極小子樣進行疲勞壽命統計推斷。目前國內外學者對基于小子樣的結構疲勞壽命統計推斷進行了相關研究，如在艦船、航空、鐵路等領域基于小子樣疲勞試驗數據采用貝葉斯方法進行疲勞壽命評估[3-5]，擬合S-N曲線時常采用最小二乘法、極大似然法、異方差理論等方法與理論[6-7]，也有采用現代智能算法與其他算法相結合的方式對小子樣進行壽命評估[8-9]。此外，國家標準中金屬材料疲勞試驗數據統計方案與分析方法也給出了小子樣疲勞試驗數據的處理方法[10]。但上述研究尚未提及樣本的疲勞壽命標準差與應力水平變化規律不惟一時的處理方法，而此現象在零部件疲勞試驗中時有發生。

本文基于中壽命區對數疲勞壽命分布規律與壽命等效原理，針對小子樣的疲勞壽命標準差與應力水平整體呈近似線性關系，但在部分應力水平下不呈線性關系時，提出了樣本信息重構方法，有效降低了部分應力水平下小樣本與異常樣本對疲勞壽命均值與標準差的影響，確保樣本疲勞壽命等效轉換的精確度，并通過與壽命等效原理相結合，最大限度地應用了疲勞試驗信息，形成了基于樣本信息重構并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法與基于樣本信息重構的最小二乘法，通過應用疲勞試驗數據對本文提出的兩種方法與傳統的極大似然法與最小二乘法進行對比分析，最終確定了基于小子樣試驗數據擬合高精度P-S-N曲線的方法。

1 基于樣本信息重構的壽命等效原理

1.1 S-N曲線數學表達式

S-N曲線代表了材料的疲勞性能，通常用數學表達式來描述其規律。對于金屬材料，在中壽命區的S-N曲線可用冪函數形式表示，即

SmN=C

( 1 )

式中：S為應力水平；N為在S應力水平下材料的壽命；m、C是與材料、應力比、加載方式等有關的參數，由試驗確定。

對式( 1 )兩端分別取對數，則有

lgN=lgC-mlgS

( 2 )

令

X=lgSY=lgNA=lgCB=-m

( 3 )

可得

Y=A+BX

( 4 )

由式( 4 )可知，疲勞壽命N與應力水平S在對數坐標系中呈線性關系。

1.2 基本假設

大量的疲勞試驗已證實，在中壽命區對數疲勞壽命一般遵循正態分布[7]。假設試驗有n個應力水平，試樣總數為m，第i個應力水平下的試樣數為mi，第i個應力水平下的第j個試樣的疲勞壽命為Yij，結合式( 3 )，其概率密度函數為

( 5 )

式中：i=1,2,…,n；j=1,2,…,mi；μi與σi分別為試樣在第i個應力水平下的對數疲勞壽命均值與標準差。

其概率分布函數為

( 6 )

1.3 疲勞壽命等效原理

由式( 1 )可知，當加載方式、應力比、載荷形式，以及試驗方法等確定后，在指定應力水平下，試樣的壽命受材料自身性能與試樣加工質量等因素的影響。在試驗過程中，雖然無法實現對同一試樣在不同應力水平下進行疲勞試驗，但是由“壽命概率分位點一致性原理”[11]可知，在中壽命區范圍內，同一試樣在不同應力水平下其壽命具有相同的概率分布，即同一試樣在不同應力水平下的疲勞壽命概率分布F(Yij)恒定，結合式( 6 )可得

( 7 )

式中:T為常數。

由式( 7 )可知，根據各應力水平下的對數壽命的均值與方差，可實現同一樣本的疲勞壽命可以在不同應力水平下相互等效，此方法可根據現有試驗樣本，增加不同應力水平下的樣本數量，最大限度地利用了試驗全部樣本信息，特別為小子樣在不同應力水平下的樣本擴展提供了較好的方法。但此方法是基于可獲得各應力水平下精度較高的壽命均值與標準差，而壽命均值和標準差分別與應力水平存在著一定的內在聯系，因此找出其較理想的對應關系尤為重要。

1.4 壽命均值與應力水平關系的確定方法

在第i個應力水平下試樣的疲勞壽命均值計算方法為

( 8 )

由式( 4 )可知，在中壽命區疲勞壽命與應力水平相關，且大量試驗表明，試驗樣本的壽命均值與應力水平在對數坐標系下有較好的線性對應關系，可采用最小二乘法進行擬合，即使在個別應力水平下存在極小子樣的情況，也可保證中值S-N曲線的擬合精度。

1.5 壽命標準差與應力水平關系的確定方法

為了獲得P-S-N曲線，疲勞試驗通常采用升降法在4～5個應力水平下進行，對于可靠性試驗一般在每個應力水平下需要15個樣件，但是即使在試驗控制的非常精確的時候，疲勞試驗結果也有可能出現較大的差異。這種差異部分來自于試樣的化學成分、熱處理、表面狀態等的不一致性，部分來自于工程材料的內稟特性——疲勞失效的隨機過程[10]。一般用方差或標準差代表樣本的分散度，標準差計算方法為

( 9 )

在小子樣或極小子樣的情況下，試驗數據分布情況很難準確地說明真實分布情況，甚至有可能出現與真實分布相悖的情形。例如，雖然對數壽命標準差與對數應力水平在整體上呈線性關系，但在部分應力水平下，存在低應力水平的壽命標準差比高應力水平的壽命標準差小的情形，與一些學者認同的線性異方差理論或同方差理論相悖[12-13]。為了遵循不同材料的自身特性，本文給出了3種不同情形下應力水平與標準差關系的確定方法。

(1) 當不同應力水平下對數壽命標準差與對數應力變化規律近似呈線性關系時，可采用線性異方差理論或最小二乘法進行擬合。

(2) 當不同應力水平下對數壽命標準差近似相等時，可將不同應力水平下對數壽命標準差求均值后作為各應力水平下的標準差。

(3) 當壽命標準差與應力水平的變化規律不惟一時，可采用樣本信息重構方法對試驗數據進行處理，然后采用最小二乘法擬合重構后的應力水平與標準差的關系曲線。

1.6 樣本信息重構方法

大量試驗結果顯示，在中壽命區絕大部分金屬材料的對數壽命標準差與應力水平近似存在線性關系[14]，但在試驗中常常會發生部分高應力水平下壽命標準差比低應力水平下壽命標準差大或相等的情形，因此本文重點給出樣本的對數壽命標準差與對數應力水平整體呈線性關系，但在部分相鄰的應力水平下不呈線性關系時的處理方法，具體方法如下：

當相鄰的2個應力水平下的對數壽命標準差隨對數應力水平變化的趨勢與整體變化趨勢不一致時，將2個應力水平合并為1個應力水平，在新的應力水平下有

(10)

當相鄰的3個應力水平下的對數壽命標準差隨對數應力水平變化的趨勢與整體變化趨勢不一致時，將3個應力水平合并為1個應力水平，在新的應力水平下有

(11)

2 基于小子樣P-S-N曲線擬合方法

對于1.5節中基于前2種情形時的P-S-N曲線擬合，國內外學者已給出較多的處理方法，且基本已有定論。本文針對當壽命標準差與應力水平的變化規律不惟一的情形，提出了2種擬合P-S-N曲線的方法，分別為：基于樣本信息重構并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法與基于樣本信息重構的最小二乘法，最終通過應用疲勞試驗數據對2種方法進行對比分析，選出了1種擬合精度較高且偏于安全的方法。

2.1 極大似然法擬合P-S-N曲線的基本原理[15]

極大似然法測定疲勞性能曲線時，首先在每個應力水平Si下分別使用一個試樣進行試驗，相應的對數疲勞壽命為Yi，然后在某一指定應力水平Sd下，試驗一組試件，獲得q個對數疲勞壽命觀測值Ydj(j=1,2,…,q)，同時在中等壽命區線段，采用2個假定：對于各級應力水平，對數疲勞壽命都遵循正態分布；正態母體平均值和母體標準差均與對數應力水平成線性關系，即

μi=μd+αXi-Xd

(12)

σi=σd+βXi-Xd

(13)

式中：Xi、Xd分別為Si與Sd在對數坐標系下的值；μd與σd分別為試樣在應力水平Sd下的對數疲勞壽命均值與標準差；α、β是待定常數。

破壞概率為p的對數疲勞壽命為

Yp=μ+upσ

(14)

根據上述假定，似然函數可寫為

(15)

將式(12)、式(13)代入式(15)，并且兩邊取自然對數可得

當lnL達到最大值時，對應的α、β就是參數α、β的極大似然估計；或對上式分別求α、β的偏導，并分別令其為零，也可求出α、β的值，即

通過上述方法可得出P-S-N曲線方程為

Yp=μd+upσd+(α+upβ)(Xi-Xd)

(16)

2.2 基于樣本信息重構并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法

本文提出的極大似然法是將樣本信息重構與壽命等效原理相結合，提高樣本壽命標準差的準確度，保證壽命等效的精度，最終采用極大似然法對等效后的數據進行P-S-N曲線擬合，具體步驟為：

Step1根據1.4節的壽命均值與應力關系的確定原則擬合出對數應力水平與對數壽命均值直線，然后通過該直線計算出不同應力水平下的壽命均值。

Step2根據1.5節中給出的第(3)種方法計算出各應力水平下的壽命標準差。

Step3根據壽命等效原理，結合Step1與Step2得出的壽命均值與標準差，將不同應力水平下的疲勞壽命等效到特定的應力水平下，一般以樣本數量較多的應力水平確定為特定應力水平，實現疲勞壽命在不同應力水平下的等效。

Step4采用極大似然法對等效后的數據進行P-S-N曲線擬合。

2.3 基于樣本信息重構的最小二乘法

最小二乘法對各應力水平下的樣本數量無特殊要求，因此本文提出的基于樣本信息重構的最小二乘法無需進行壽命等效，具體擬合步驟為：

Step1根據2.2節中的Step1與Step2得出樣本重構后各應力水平下的壽命均值與標準差。

Step2通過式(14)，計算出不同應力水平下破壞概率為p的對數壽命Yp。

Step3采用最小二乘法對不同應力水平下的對數壽命Yp進行擬合，得出P-S-N曲線。

3 算例分析

為了驗證本文提出的基于小子樣的P-S-N曲線擬合方法的精度，本文對切割光滑板材T型接頭的Q450NQR1試樣進行疲勞試驗，加載方式為軸向拉-拉循環，應力比R=0.1，正弦波加載，加載頻率為70 Hz左右，壽命循環數控制在105～2×106之間，采用升降法進行試驗[16]，試驗數據見表1。

表1 Q450NQR1疲勞壽命試驗數據

采用1.4節的確定原則對表1中的試驗數據進行分析處理，擬合后的樣本壽命均值與應力水平的關系為

Xi=3.555 5-0.249 4μi

(17)

采用1.5節中的第(3)種方法對相鄰2個應力水平下的樣本信息進行重構，重構后的應力水平與標準差見表2，擬合后的壽命標準差與應力水平的關系為

σi=0.548 4-0.238 4Xi

(18)

同時根據式(17)可得出重構后的應力水平對應的壽命均值見表2。

表2 樣本信息重構后的壽命均值與標準差

3.1 極大似然法擬合P-S-N曲線

根據式(17)與式(18)，可得出各應力水平下的壽命均值與標準差，見表3。

表3 擬合后的壽命均值與標準差

試驗數據在110 MPa應力水平下的樣本數量相對較多，且比100 MPa應力水平更接近其他應力水平，因此選110 MPa為特定應力水平。

根據1.3節中的壽命等效原理，將表1中試驗數據直接進行壽命等效，等效后的數據見表4。

表4 試驗數據的等效壽命

將表1中的對數壽命與表3中的所有數據進行壽命等效，等效后的數據見表5。

表5 樣本信息重構后的等效壽命

采用極大似然法對表1與表4中的數據進行分析處理，擬合后的P-S-N曲線稱為極大似然法1，數學表達式為

Yp=6.069 0+0.056 7up-

(3.839 6+0.177 8up)(Xp-2.041 4)

采用極大似然法對表3與表5中的數據進行分析處理，擬合后的P-S-N曲線稱為極大似然法2，數學表達式為

Yp=6.059 0+0.067 6up-

(3.930 5+0.277 2up)(Xp-2.041 4)

根據以上給出的2種擬合方式，分別擬合存活率p為50%、90%、99.9%時的P-S-N曲線，見圖1。

從圖1擬合效果可知：

(1) 采用2種極大似然法擬合的曲線未出現存活率高的曲線上穿存活率低的曲線，符合疲勞壽命分布的客觀規律，同一方法隨著應力水平的降低與存活率的增大，疲勞壽命偏差逐漸增大，符合疲勞壽命的分散度隨應力水平降低而增大的規律。

(2) 采用2種極大似然法擬合的中值S-N曲線隨著應力水平的降低，疲勞壽命趨為一致。

(3) 極大似然法2比極大似然法1更偏于安全，是因為極大似然法2擬合的數據是經樣本信息重構與壽命等效后的數據，而極大似然法1是對試驗數據進行直接壽命等效，未考慮樣本數量與異常樣本對整體樣本分布的影響，從而使得極大似然法2的壽命標準差要稍大一些。

3.2 最小二乘法擬合P-S-N曲線

根據最小二乘法直接對表1中的試驗數據進行擬合的曲線稱為最小二乘法1；根據2.3節的方法對表2的數據分析處理，擬合的曲線稱為最小二乘法2，采用兩種方法分別擬合存活率p為50%、90%、99.9%時的P-S-N曲線，見圖2。

從圖2擬合效果可知:

(1) 采用最小二乘法與上述極大似然法擬合的曲線整體特征基本一致。

(2) 通過對試驗數據進行樣本信息重構和壽命等效，在高應力區最小二乘法1在最小二乘法2的下方，但在低應力區呈相反趨勢。

(3) 在存活率大的條件下，最小二乘法2比最小二乘法1要更偏于安全，是因為經樣本信息重構與壽命等效后的壽命標準差要稍大一些。

3.3 對比分析

為了確定最優的擬合方法，采用上述4種方法分別擬合存活率p為50%與99.9%時的重構或等效后的試驗數據，見圖3。

從圖3擬合效果可知：

(1) 存活率為50%時，疲勞試驗數據中對數壽命均值與對數應力水平自身有較好的線性關系，因此通過極大似然法或最小二乘法擬合S-N曲線基本趨于一致。

(2) 存活率為99.9%時，最小二乘法1在最上方，極大似然法2在最下方，因此極大似然法2給出了更偏于安全的擬合結果。

4 結論

(1) 本文提出了樣本信息重構的方法，有效降低了個別異常樣本與小子樣對壽命均值與標準差的影響，提高了各應力水平下壽命均值與標準差的精度，保證了疲勞壽命等效的準確度。

(2) 本文提出了基于樣本信息重構的壽命等效原理，不僅考慮了不同應力水平下樣本數量對樣本整體分布的影響；而且將所有應力水平下的樣本疲勞壽命等效到特定的應力水平下，擴展了樣本數量，修正了壽命均值與方差，最大程度逼近材料的真實疲勞壽命。

(3) 采用基于樣本信息重構并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法，基于樣本信息重構的最小二乘法與傳統的極大似然法，最小二乘法對試驗數據進行了P-S-N曲線擬合，并通過對比分析4種方法的擬合效果，最終得出基于樣本信息重構并符合疲勞壽命等效原理的極大似然法擬合的P-S-N曲線精度較高，且偏于安全。