矩形簡(jiǎn)支薄板振動(dòng)模態(tài)及靈敏度分析

王秀穎，張軍,兆文忠

(大連交通大學(xué) 交通工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

振動(dòng)模態(tài)是結(jié)構(gòu)的固有動(dòng)力學(xué)性能，模態(tài)頻率及振動(dòng)模式直接影響工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能、安全性及穩(wěn)定性，尤其薄板結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性更直接與振動(dòng)強(qiáng)度、噪聲及疲勞性能密切相關(guān)，薄板類結(jié)構(gòu)也是車輛、船舶等工程中廣泛使用的基本結(jié)構(gòu)之一[1-2]，對(duì)薄板類結(jié)構(gòu)的研究主要是針對(duì)薄板類結(jié)構(gòu)的振動(dòng)及噪聲[3-5].為了減小振動(dòng)，在工程設(shè)計(jì)階段一般會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，快速準(zhǔn)確的修改需要計(jì)算結(jié)構(gòu)靈敏度[6-8]，結(jié)構(gòu)靈敏度是結(jié)構(gòu)模態(tài)、應(yīng)力等響應(yīng)隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化率，即響應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù).在有限單元法的基礎(chǔ)上，靈敏度計(jì)算方法有解析法[9-10]、半解析法[11]、完全差分法[12]、伴隨變量法等[13-14].解析法是從有限單元方程出發(fā)，嚴(yán)格求響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，對(duì)不同的單元類型及不同的結(jié)構(gòu)參數(shù)，其理論是完全不同的，如殼單元和梁?jiǎn)卧械馁|(zhì)量矩陣和剛度矩陣完全不同，其對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度也是完全不同的.解析法發(fā)展最早，精度最高，但求解效率低.半解析法是在有限單元法的基礎(chǔ)上，總體上基于有限單元方程用微分法求對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度，但質(zhì)量矩陣和剛度矩陣對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的靈敏度用差分法，不用考慮具體的矩陣形式，提高了計(jì)算效率，并具有較高精度，這種方法兼顧求解效率和求解精度，是普遍使用的方法之一.完全有限差分法求解靈敏度不必進(jìn)行復(fù)雜的理論推導(dǎo)，具有很大的通用性，但是對(duì)N個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)的靈敏度必需進(jìn)行N+1次響應(yīng)計(jì)算，計(jì)算效率低，而且所求得的靈敏度依賴于差分步長(zhǎng)，計(jì)算精度也較低.伴隨變量法是通過(guò)伴隨變量，解決求解具有大規(guī)模設(shè)計(jì)變量靈敏度的求解效率問(wèn)題. 張保[15]提出了半解析伴隨變量靈敏度計(jì)算方法，以四邊簡(jiǎn)支平板為算例，驗(yàn)證了計(jì)算精度和效率高于一般伴隨變量法.程耿東院士[16]以梁結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，用半解析法計(jì)算了模態(tài)靈敏度，并分析了半解析法的誤差.

本文以矩形簡(jiǎn)支薄板為研究對(duì)象，推導(dǎo)了模態(tài)的理論解，并推導(dǎo)出了模態(tài)頻率對(duì)薄板厚度的靈敏度計(jì)算式，即簡(jiǎn)支矩形薄板的模態(tài)靈敏度理論解，并計(jì)算了基于理論解的模態(tài)頻率差分解.建立了簡(jiǎn)支矩形薄板的有限元模型，用有限單元法計(jì)算了其振動(dòng)模態(tài)，基于有限元法用半解析法計(jì)算了模態(tài)頻率對(duì)板件厚度的靈敏度，并計(jì)算了基于有限元法的完全差分模態(tài)頻率靈敏度.

1 簡(jiǎn)支薄板模態(tài)基本理論

1.1 簡(jiǎn)支矩形薄板的模態(tài)

矩形簡(jiǎn)支薄板的幾何模型如圖 1所示.

圖1 簡(jiǎn)支矩形薄板幾何模型

薄板長(zhǎng)和寬分別為a、b，厚度為h.設(shè)其在z方向的振動(dòng)位移為w，則薄板的振動(dòng)平衡方程為

(1)

(2)

通過(guò)分離變量法[17]，可求得薄板的橫向頻域自由振動(dòng)方程為

(3)

(4)

(5)

式(5)表明，矩形簡(jiǎn)支振動(dòng)薄板的特征頻率與材料參數(shù)、板厚度及矩形邊長(zhǎng)有關(guān).

1.2 矩形簡(jiǎn)支薄板模態(tài)頻率靈敏度

(6)

通過(guò)式(6)表示的模態(tài)頻率求對(duì)薄板厚度h的導(dǎo)數(shù)，即薄板模態(tài)頻率靈敏度的理論解，表示為

(7)

式(7)表明，矩形簡(jiǎn)支薄板的模態(tài)頻率對(duì)板厚度的靈敏度的理論解與板厚度無(wú)關(guān).

2 基于有限單元法模態(tài)及其靈敏度

模態(tài)頻率靈敏度即結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化率.模態(tài)頻率靈敏度可以用結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模態(tài)方程對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行微分得到.無(wú)阻尼結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)有限元方程表示為

([K]-λi[M]){φi}=0

(8)

式中，[K]、[M]分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；λi為結(jié)構(gòu)第i個(gè)特征值，{φi}為結(jié)構(gòu)第i個(gè)振型向量.

設(shè)第j個(gè)設(shè)計(jì)變量為xj，式(8)對(duì)其求導(dǎo)數(shù)

(9)

(10)

由式(9)、(10)得模態(tài)頻率靈敏度為

(11)

(12)

3 振動(dòng)薄板的模態(tài)頻率

設(shè)簡(jiǎn)支矩形薄板厚度為h，兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為0.33 m和0.2 m，材料為鋼材，彈性模量E為210GPa，泊松比μ為0.31，密度ρ為7 800 kg/m3.為了研究模態(tài)頻率及其靈敏度，分別用式(6)、(7)計(jì)算了薄板的模態(tài)頻率及其靈敏度理論解，并用有限單元法進(jìn)行了同樣的計(jì)算.

3.1 模態(tài)頻率的理論解

按照式(6)厚度分別為0.9、1.0、1.1 cm的矩形簡(jiǎn)支薄板的前十階模態(tài)頻率理論解被列在表1中.表1表明，隨著板厚度增加模態(tài)頻率逐漸增加.在表2中.

表1 簡(jiǎn)支薄板的模態(tài)頻率 Hz

3.2 模態(tài)頻率的有限元解

建立簡(jiǎn)支薄板的有限單元模型，如圖2所示.為了避免有限單元網(wǎng)格數(shù)量的影響，研究了網(wǎng)格數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，對(duì)0.3 m×0.2 m、1 cm厚的簡(jiǎn)支矩形薄分別板劃分了24、300、600、1200、2 400個(gè)四邊形殼單元， 不同單元數(shù)量的模態(tài)頻率被列表2表明當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量達(dá)到600個(gè)單元以上時(shí)，計(jì)算的1階模態(tài)頻率已經(jīng)相同，高階模態(tài)頻率之間的誤差已經(jīng)很小，與理論解的誤差也相對(duì)不再減小，可以認(rèn)為600單元的有限單元解已經(jīng)相對(duì)準(zhǔn)確了. 前4階模態(tài)振型如圖3所示.

圖2 有限單元模型

表2 不同網(wǎng)格數(shù)量簡(jiǎn)支板模態(tài)頻率 Hz

圖3 簡(jiǎn)支矩形薄板前4階模態(tài)振型

3.3 模態(tài)頻率誤差分析

為了分析簡(jiǎn)支矩形薄板模態(tài)頻率有限元解與理論解之間的誤差，同樣用有限單元法計(jì)算了厚度分別為0.9、1.0、1.1 cm的簡(jiǎn)支薄板的前10階模態(tài)，前5階數(shù)值解模態(tài)頻率、理論解模態(tài)頻率及之間的誤差被列在表3中，有限元網(wǎng)格為600個(gè)單元.表3表明，隨著板厚度增加有限元數(shù)值解與理論解的誤差增加，隨著模態(tài)階數(shù)增加誤差也增加.前10階模態(tài)頻率有限元數(shù)值解與理論解的誤差百分比如圖4所示.

表3 前5階頻率有限元解、理論解及差值 Hz

圖4 模態(tài)頻率有限元解與理論解誤差

圖4表明，雖然總體來(lái)看隨著模態(tài)階數(shù)及模態(tài)頻率的增加，簡(jiǎn)支矩形薄板有限單元解與理論解之間的誤差增加，但是誤差隨著模態(tài)階數(shù)的變化存在峰值，在有些模態(tài)誤差會(huì)出現(xiàn)較大的峰值.

4 模態(tài)頻率靈敏度

利用式(7)可以計(jì)算簡(jiǎn)支矩形薄板模態(tài)頻率靈敏度的理論解，靈敏度理論解與厚度無(wú)關(guān)，并不隨板厚度的改變而改變，將其定義為s1，同時(shí)可以利用理論計(jì)算的不同厚度簡(jiǎn)支薄板的模態(tài)頻率計(jì)算出理論差分靈敏度，0.9～1.0 cm的理論模態(tài)差分靈敏度定義為s2, 1.0～1.1 cm的理論模態(tài)差分靈敏度定義為s3.利用有限元法求得的不同厚度模態(tài)頻率也可以求出靈敏度差分解，0.9～1.0 cm的有限元模態(tài)差分靈敏度定義為s4，1.0～1.1 cm的有限元模態(tài)差分靈敏度定義為s5.利用式(11)和式(12)可以求出采用基于有限元法的半分析的數(shù)值微分法模態(tài)靈敏度，板厚度不同模態(tài)靈敏度是不同的，板厚度分別取0.9、1.0、1.1 cm的半分析數(shù)值微分靈敏度分別定義為s6、s7、s8. 利用三個(gè)不同的板厚度可以計(jì)算出8個(gè)模態(tài)頻率靈敏度值，前5階模態(tài)頻率對(duì)板厚度的靈敏度被列在表4中. 表4表明，一階模態(tài)靈敏度的理論差分解與理論解相差最小，半分析的數(shù)值微分解與理論誤差最大；但隨著模態(tài)階數(shù)的增加，理論差分解和有限元差分解與理論解的誤差逐漸增大，而半分析的數(shù)值微分解與理論解的誤差卻逐漸減小，到第4階模態(tài)時(shí)，數(shù)值微分解與理論解的誤差最小；理論差分解、有限元差分解與理論解之間的誤差大致相同.用數(shù)值微分法計(jì)算的不同薄板厚度的靈敏度s6、s7、s8幾乎是相同的，這與理論靈敏度類似，即矩形簡(jiǎn)支薄板模態(tài)頻率對(duì)板件厚度的靈敏度與厚度無(wú)關(guān).

表4 模態(tài)頻率靈敏度 Hz/mm

板厚度為0.9 cm前10階模態(tài)頻率靈敏度如圖5所示.圖5表明，1、2階模態(tài)頻率靈敏度理論差分解和有限元差分解與理論值的誤差較小，但從第2階開(kāi)始,差分解于理論解之間的誤差幾乎呈線性增加，到第10階時(shí)其誤差已經(jīng)超過(guò)100%；從第3階模態(tài)開(kāi)始，基于有限單元的數(shù)值微分法的模態(tài)頻率靈敏度與理論解之間的誤差最小，而且在全部10階模態(tài)靈敏度來(lái)看，其誤差均在合理范圍內(nèi).

圖5 0.9 cm簡(jiǎn)支薄板模態(tài)頻率靈敏度

5 結(jié)論

(1)基于簡(jiǎn)支矩形薄板的模態(tài)理論計(jì)算式，推導(dǎo)了模態(tài)頻率對(duì)薄板厚度的靈敏度，理論計(jì)算式表明，簡(jiǎn)支矩形薄板模態(tài)頻率對(duì)薄板厚度的靈敏度與薄板厚度無(wú)關(guān)；

(2)用理論差分法、有限單元差分法和基于有限單元的半分析數(shù)值微分法分別計(jì)算了薄板模態(tài)頻率對(duì)薄板厚度的靈敏度，計(jì)算結(jié)果表明只有第1階模態(tài)頻率差分模態(tài)靈敏度與理論解誤差較小，從第2階模態(tài)開(kāi)始，其與理論解之間的誤差幾乎呈線性遞增；而基于有限單元的半分析數(shù)值微分模態(tài)靈敏度與理論解之間的誤差均在合理范圍內(nèi)，證明了半分析數(shù)值微分法模態(tài)靈敏度的有效性和準(zhǔn)確性；

(3)取不同的薄板厚度時(shí)，基于有限單元的半分析數(shù)值微分模態(tài)靈敏度幾乎相同，這與模態(tài)靈敏度理論計(jì)算式的結(jié)論是相同的，即簡(jiǎn)支矩形板模態(tài)頻率對(duì)薄板厚度的靈敏度與厚度無(wú)關(guān)，這進(jìn)一步驗(yàn)證了半分析數(shù)值微分法模態(tài)靈敏度的正確性.