概率與統計交匯的三個常考點

胡彬

各地高考對概率與統計主觀題的考查，題型都比較固定.一般文科題考查統計與古典概型的交匯，理科題考查統計與隨機事件的概率、離散型隨機變量的數學期望和方差的交匯.

一、分層抽樣與古典概型的交匯

例1 2015年10月，國家出臺了準備放開二孩的相應政策，定于2016年1月1日起正式實施，一時間“放開生育二孩”的消息引起社會的廣泛關注，為了解某地區社會人士對“放開生育二孩政策”的看法，某計生局在該地區選擇4000人進行調查（若所選擇的已婚人數低于被調查總數的78%，則認為本次調查“失效”），就“是否放開生育二孩”的問題，調查統計的結果如下表：

已知在全體樣本中隨機抽取1人，抽到持“不放開”態度的人的概率為0.08.

（I）現用分層抽樣的方法在所有參與調查的人中抽取420人進行深入訪談，問：應在持“無所謂”態度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，求本次調查“失效”的概率，

分析 持“不放開”態度的人的概率為0.08，是解答第一問的突破口，利用這個突破口可求出x.第二問中的“y≥657，z≥55”是用來確定基本事件空間中基本事件的條件，而本次調查“失效”指的是2200+200+y<4 000x0.78.由此推出y<720，用以確定本次調查“失效”這一事件中的基本事件.

參考答案 （I）84人.（Ⅱ）63/89.

小結 分層抽樣問題的解題關鍵是抓住樣本間的比例關系，一般的解答思路是先確定樣本容量與總體容量的比值，再利用這一比值從各層中抽取個體.

求解古典概型問題，最重要的是確定基本事件空間中基本事件的個數，特別是基本事件比較多的情況下，不可漏數，也不可無故添加.許多情況下可以借助平面直角坐標系以及樹狀圖來確定基本事件的個數，

二、頻率分布直方圖、獨立性檢驗與古典概型的交匯

例2 電視傳媒公司為了解某地區觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名，右圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖.

將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性.

（I）根據已知條件完成下面的2x2列聯表，并據此資料判斷是否有95%的把握認為“體育迷”與性別有關.

（Ⅱ）將日均收看該體育節目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率.

分析 由頻率分布直方圖可得“體育迷”的人數，從而可以完成第一問，進而判斷是否有95%的把握認為“體育迷”與性別有關.解答第二問要從頻率分布直方圖中獲取“超級體育迷”的人數，從而確定基本事件，

沒有95%的把握認為“體育迷”與性別有關.

（Ⅱ）7/10.

小結 解答這一類型題的易錯點：①在觀察與運用頻率分布直方圖時，忽視頻率分布直方圖中縱軸標志是頻率/組距；②K2的計算不準確；③“超級體育迷”人數的計算；④列舉出所有可能的結果時重復或遺漏某一種情況.考生在解答統計問題時，常在類似③和④處出錯，應引起重視.

三、分層抽樣、頻率分布表與離散型隨機變量的數學期望的交匯

例3 某大型企業食堂為響應“光盤行動”，倡導大家珍惜糧食，吃光盤子中的食物，得到企業廣大干部職工的支持.某校的幾位同學組成研究性學習小組，從該企業25-55歲的人群中隨機抽取n人進行了一次調查，得到如下統計表：

（I）求a，b，并估計該企業25-55歲的人群中“光盤族”所占的比例.

（Ⅱ）從年齡段在[35，40）與[40，45）的“光盤族”中，采用分層抽樣方法抽取8人參加節約糧食宣傳活動，并從這8人中選取2人作為領隊.

（i）已知選取的2人中1人來自年齡段在[35，40）中的前提下，求另一人來自年齡段[40，45）中的概率；（ii）求2名領隊的年齡之和的期望值（每個年齡段以中間值計算）.

分析 對第一問可選取題設所給頻率分布表中第1，2，3，4，6組中的任何一組中的頻數與頻率來確定總體人數n，抓住頻率值的和為1，求出b，進而求出a.對第二問需注意最后給出的提示“每個年齡段以中間值計算”，用以確定2名領隊的年齡之和為隨機變量ξ，ξ的取值為75，80，85.由此可準確落實分布列，再求期望.

參考答案 （I）a=300，b=0.30，樣本中“光盤族”所占的比例為52%.

（Ⅱ）（i）5/6.（ii）81.25.

小結 題設所給頻率分布表中包含的信息為我們完善頻率分布表提供了依據，而分層抽樣所得數據為我們計算事件概率及隨機變量相應的概率提供了數據依據，真是一環扣一環.