電子節氣門有限時間收斂反步控制器設計＊

鄭朋濤 孫建民

（北京建筑大學 城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點試驗室，北京 102616）

主題詞：電子節氣門 Lyapunov穩定性理論 反步滑?？刂?有限時間收斂

1 前言

電子節氣門控制系統是發動機電子控制系統中的重要組成部分，對提高汽車的動力性、燃油經濟性和發動機排放性能有很大影響，因而改進電子節氣門空燃比控制具有重要意義，開發響應速度快、魯棒性強、穩態性能好等的控制器成為一種需求。

目前，研究人員開發出了許多電子節氣門控制器，如PID控制器、模糊自適應控制器、自適應控制器、反演控制器、滑?？刂破骱皖A測控制器[1-6]等。本文在前人研究的基礎上，提出并設計一種電子節氣門有限時間無抖振反步滑?？刂破?，進一步提高了發動機電子節氣門對空燃比的控制精度，改善了發動機的排放性能。

2 帶擾動的非線性電子節氣門數學模型建立

電子節氣門主要由電子控制單元、直流電動機、減速齒輪、節氣門體、回位彈簧和閥片等組成[7]，電子節氣門具有很強的非線性特性、模型不確定性、易受外界干擾等特點，難以保證電子節氣門開度在發動機各工況下的精確控制。為此，建模時將模型參數不確定性、外界擾動及角速度項等考慮為擾動項，則電子節氣門數學模型表達式為：

式中，f為擾動項；x1為節氣門閥片轉角；x2為閥片轉速；q0為節氣門“跛行”平衡位置角度；E為電機電壓；Ra為電機繞組電阻；kb為電機反向電動勢系數；N為減速齒輪組減速比；J為電機主軸轉動慣量；ks為回位彈簧系數；D為回位彈簧扭矩系數補償；kd為節氣門軸粘性摩擦系數；kt為電機扭矩系數。

3 有限時間收斂無抖振反步滑?？刂破鞯脑O計

為設計一款具有較強魯棒性，即具有較好的跟隨特性和抵抗外部干擾能力的電子節氣門控制器，以滿足發動機在各種運行工況下的性能需要，采取了如圖1所示的控制策略。該控制策略中，有限時間收斂滑模控制器是采用有限時間收斂終端滑模面設計的，因該控制器中存在未知狀態量x2和擾動量f，所以分別設計降階狀態觀測器和非線性干擾觀測器對這兩個量進行觀測。

圖1 控制策略

3.1 有限時間收斂終端滑模面

基于有限時間收斂原理[8]，在任何控制系統中，若該控制系統的狀態變量x滿足關系x?=-k1x-k2sgn()x，則狀態變量x將會在有限時間內趨近于零點。該有限時間為且要求x0、k1、k2都大于零。有限時間T與k1、k2兩個參數有關，通過配置兩個參數的值來調節系統在有限時間內收斂。

采用上述狀態方程設計新形式的終端滑模面[9]以加快系統的收斂速度，且保證系統能在有限時間內收斂。令系統誤差e=e(t)，則終端滑模面為：

如果狀態變量能在滑模面上產生滑模運動，則需要滿足下式：

基于Lyapunov穩定性定理分析，取Lyapunov函數為，將式（7）變形代入得表明該終端滑模面可使系統漸進穩定。由上述有限時間收斂定理可得：

3.2 有限時間收斂反步滑?？刂破?/h3>

通過反步法[10]設計滑?？刂破鳎墒闺娮庸潥忾T系統每個狀態變量具有強穩定性。設電子節氣門系統的狀態變量誤差為：

式中，xd為期望信號；m為虛擬控制量。

根據Lyapunov穩定性理論，設Lyapunov函數為：

對式（10）求導得：

取虛擬控制量m=-p1e1+x?d（p1＞0），并將其代入式（11）得：

根據Lyapunov穩定性理論可得，隨時間的推移系統狀態誤差e2逐漸趨近于0，則V?1≤0，表明該子系統漸進穩定。

令q=ax1+bx2+d+f，由式（1）和式（9）得：

設Lyapunov函數為：

對式（14）求導后，再根據式（6）和式（12）得：

根據Lyapunov穩定性理論，使V?2≤0保證系統穩定設計控制律，取p2＞0，則控制律為：

3.3 消抖振控制器和非線性干擾觀測器

由于滑模變結構控制存在抖振問題，其主要原因是電子節氣門系統在控制過程中的不連續，并且這種抖振還來源于滑模函數在滑模面內外來回切換。前面提出的有限時間反步滑?？刂破髦?，s/‖s‖2和sgn(e2)都會使系統的控制過程出現不連續，從而導致控制中有抖振現象的產生。為避免抖振現象，在有限時間反步滑?？刂破髦欣檬絪/(‖s‖2+ε)替換s/‖s‖2，同時用e2/(|e2|+ε)替換sgn(e2)，其中ε一般取一個未知的正數。將（12）式控制律連續化，并將q=ax1+bx2+d+f代入后，消抖振控制器的控制律可表示為：

控制系統和控制器中都存在擾動，雖然忽略擾動項、增大滑模系數能克服擾動干擾，但也會使系統產生抖振現象。為解決該問題，通過設計非線性干擾觀測器來估計所設計控制器中未知量干擾值f，并對其進行補償。

非線性干擾觀測器主要依據實際輸出與估計值的差值補償來設計，故設計干擾觀測器[11]為：

式中，L1為常數。

由式（1）、式（17）和式（18）可得：

設變量

令變量p為

由式（1）、式（18）～式（21）得非線性干擾觀測器為：

3.4 降階狀態觀測器

由于電子節氣門閥片轉角速度不便于測量，而且基于產品生產經濟性考慮，電子節氣門在設計時沒有安裝閥片角速度傳感器，即在無抖振控制器中存在未知量x2。為此利用降階狀態觀測器[12]來估計不可測量量x2。

設變量：

式中，L2為常數。

將式（1）和式（23）帶入式（23）的求導式得：

為了保持未知量之間的無關性，以免增大誤差和導致算法代數自回環，故降階狀態觀測器中忽略擾動項，即觀測器為：

設計降階狀態觀測器的誤差為：

對式（26）求導，并將式（24）、式（25）代入得：

對式（27）求解得：

由式（28）可得，b-L2＜0時可保證觀測器誤差按照指數律下降，故此降階狀態觀測器誤差值可迅速減小，并趨近于0，保證了觀測器的值盡可能準確。

由上述分析可得，降階狀態觀測器中各狀態值估計表達式為：

4 試驗結果與分析

利用電子節氣門建立的數學模型，通過MATLAB/Simulink軟件進行仿真試驗，以驗證所設計的有限時間消抖振反步滑模控制器對電子節氣門的適用性。仿真試驗主要分析小階躍信號的響應特性、大階躍信號的響應特性、穩態響應誤差、魯棒性及方波信號的跟蹤特性。

電子節氣門性能的參數化評價指標為：

a.從給定控制信號開始，響應曲線首次上升到目標曲線所用時間應小于100 ms，再調節至穩定狀態所用時間應小于40 ms，即從給定控制信號開始到穩定狀態所用時間不得大于140 ms。

b.給定信號后的響應曲線無超調，以避免節氣門閥板碰撞限位；

c.響應曲線的穩態誤差保持在±2%之內。

4.1 電子節氣門系統階躍信號響應性能分析

控制信號為小階躍和大階躍的響應特性曲線如圖2所示，圖3為階躍信號的響應誤差曲線，其局部穩態誤差如圖4所示。

圖2 階躍信號的響應特性曲線

圖3 階躍信號的響應誤差曲線

圖4 小階躍和大階躍信號響應的局部穩態誤差

根據仿真試驗數據得階躍信號響應的穩態性能參數如表1所列。由表1、圖2～圖4可知，當給定控制信號為小階躍和大階躍信號時，響應曲線都沒有超調量；在給定小階躍和大階躍信號時，電子節氣門系統的響應調節時間都小于100 ms，在節氣門性能要求參數化評價指標范圍內，而且基本上為參數化性能指標的1/2；在響應曲線達到穩態時，最大誤差量都比要求的標準誤差量（±2%）小一個數量級；小階躍和大階躍控制信號的調節時間只相差11 ms，且穩態誤差范圍和最大誤差量都滿足電子節氣門參數化評價指標。

表1 階躍信號的穩態性能參數

通過上述分析可知，有限時間消抖振反步滑?？刂破髂軡M足節氣門性能要求的量化指標，說明該控制器響應特性較好。由于圖2階躍響應特性曲線及圖3誤差曲線光滑，結合圖4的局部穩態誤差分析，表明階躍響應曲線穩態精度高、無抖振現象、穩定性好、響應迅速。小階躍和大階躍的性能指標相差較小，表明控制器魯棒特性較好。

4.2 電子節氣門系統方波信號響應性能分析

當給定控制信號為方波信號時，電子節氣門系統響應特性曲線如圖5所示，圖6為其誤差曲線，其局部特性曲線如圖7。方波信號響應的性能指標如表2所列，其中Ti代表給定控制信號第i次突變時響應曲線調節穩定所需要時間，數字1～6表示方波信號突變次數。

圖5 方波信號的響應特性曲線

圖6 方波信號響應的誤差曲線

圖7 方波信號響應的局部特性曲線

表2 方波響應的性能參數

由表2可知，在目標信號突變時，Ti最大值為44.5 ms，并且Ti值比參數化性能評價指標中穩態調節時間140 ms小很多，可以滿足節氣門的性能要求；穩態誤差范圍的最大誤差也都比標準誤差小一個數量級。由圖5～圖7可知，這種控制器對方波的跟蹤性好，響應迅速，響應的誤差曲線最大誤差為2（控制信號發生突變時的方波信號高度），并且方波信號的響應特性曲線光滑，最大誤差量比參數化標準誤差量小一個數量級，表明方波信號的響應抖振很小、穩態精度高、穩態性能好。

5 結束語

為提高發動機電子節氣門對空燃比的控制精度，改善發動機的排放性能，針對電子節氣門的非線性和易受外部擾動影響，導致電子節氣門在控制時收斂速度慢和收斂后控制響應存在抖振的問題，提出一種有限時間收斂無抖振的反步滑?？刂品椒?。經仿真分析表明，電子節氣門在給定階躍信號條件下，其響應在55 ms左右電子節氣門控制系統達到穩定，并且穩態精度在1×10-3數量級，表明所設計的控制器具有響應迅速、跟蹤性好、穩態性能好、穩態精度高、穩態無抖振、魯棒性強等特點，對電子節氣門的控制有較強的適用性。