橫看成嶺側成峰遠近高低各不同
——兩道光學題的全新解讀

2018-07-25 07:40:20云南

教學考試(高考物理) 2018年2期

云南

蔣金團

幾何光學一直是高考中的重點和難點，學生往往在幾何關系上束手無策，此時可借助費馬原理尋找思路。費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，由此原理可證明光在均勻介質中傳播時遵從的直線傳播定律、反射和折射定律，以及傍軸條件下透鏡的等光程性等。光的可逆性原理是幾何光學中的一條普遍原理，該原理為，若光線在介質中沿某一路徑傳播，當光線沿反向傳播時，必沿同一路徑逆向傳播。費馬原理規定了光線傳播的唯一可實現的路徑，不論光線正向傳播還是逆向傳播，必沿同一路徑。因而借助于費馬原理可說明光的可逆性原理的正確性。光在任意介質中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播。正因為費馬原理指定了光的傳播路徑是唯一的，很多光學題暗藏的各種技巧在費馬原理照射之下都是無所遁形的。

【例1】(2011年·全國卷第34題)一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，底面AOB鍍銀，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內從M點入射，經過AB面反射后從N點射出。已知光線在M點的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°。求：

圖1

(1)光線在M點的折射角；

(2)透明物體的折射率。

【官方解答】(1)如圖2所示，透明物體內部的光路為折線MPN，Q、M點相對于底面EF對稱，Q、P和N三點共線。設在M點處，光的入射角為i，折射角為γ，∠OMQ=α,∠PNF=β,根據題意有α=30° ①

由幾何關系得，∠PNO=∠PMO=γ

于是β+γ=60° ②

且α+γ=β③

由①②③式得γ=15° ④。

圖2

(2)根據折射率公式有sini=nsinγ⑤

這道題的最大特點是淺入深出，考生畫出半圓內部的光路圖之后再寫出折射定律相關表達式，這是難度不大的事，所以得零分很不容易，但是要想快速求出M點處的折射角并非易事，命題者將半圓補成圓，把反射光線反向延長與圓相交，作出入射點的鏡像點，巧妙利用入射光線和反射光線的對稱性以及圓的對稱性來尋找幾何關系，這種靈活性的設計對只有中等思維品質的學生確實是一個大的挑戰，甚至是無從下手。當年的統計結果表明這道題的難度系數是0.17，難度確實不小。既然大多數考生對對稱性的運用不順手，那么有更實用的方法突破這個關卡嗎？有，它就是費馬原理。由題意知，光線從M點經反射到N點時，入射點和出射點的坐標是確定的，根據費馬原理，光沿最短路徑傳播，路徑也是確定的，這說明光線打在底部上的點是確定的，只要用入射光線和反射光線斜率的大小相等確定出該點的坐標，所有的問題都迎刃而解。

由兩點間的距離公式得

在△MOP中，由余弦定理得

xP2=R2+MP2-2RMPcosγ③

圖3

(2)第二問同官方解答。

圖4

【例2】(2017年·全國卷Ⅱ第34題)一直桶狀容器的高為2L，底面是邊長為L的正方形；容器內裝滿某種透明液體，過容器中心軸DD′、垂直于左右兩側面的剖面圖如圖4所示。容器右側內壁涂有反光材料，其他內壁涂有吸光材料。在剖面的左下角處有一點光源，已知由液體上表面的D點射出的兩束光線相互垂直，求該液體的折射率。

【官方解答】設從光源發出直射到D點的光線的入射角為i1，折射角為r1，在剖面內作光源相對于反光壁的鏡像對稱點C，連接CD，交反光壁于E點，由光源射向E點的光線，反射后沿ED射向D點；光線在D點的入射角為i2，折射角為r2，如圖5所示。