對圓錐曲線教學中離心率問題的探究與思考

周建峰

數學大師波利亞指出：“我們靠推理論證來肯定我們的數學知識，而靠合情推理來為我們的猜想提供依據.”求離心率及范圍問題是高考中的熱點問題，是考查學生素質和能力的綜合問題，要求學生能從復雜的變量關系中抓住主要矛盾，建立關于離心率或a或c的方程或不等式，借助一些條件求出離心率的范圍.

一、演繹定義，激活學習趣味

華羅庚曾說：新的數學方法和概念常常比解決數學問題本身更重要.如果有學生感到某個數學概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應用以及它與其他概念的聯系，就會發現這個概念實際上是水到渠成、渾然天成的，不僅合情合理，甚至很有人情味.在數學教學中，我們應給學生提供必要的案例進行演示和學習，培養學生良好的觀察能力和思維能力.

在橢圓或雙曲線中，已知a、c的值可直接求離心率，也可用轉化觀點求，例如在橢圓中，e=■=■，在雙曲線中，e=■=■，只須求■即可.

例1：已知雙曲線C：■-■=1（a>0，b>0）的左右焦點分別為F1，F2，│F1F2│=8，P是雙曲線C右支上一點，PF1與y軸交于點A，△PAF2的內切圓與AF2相切于點Q，若│AQ│=2，求曲線C的離心率.

解：如圖所示，設△PAF2的內切圓與PF2相切于點M，依題意知：│AF1│=│AF2│，由雙曲線定義及P是雙曲線C右支上的一點，得2a =│PF1│-│PF2│，根據三角形內切圓的性質，得│PF1│=│AF1│+│PA│=│AF1│+ （│PM│+│AQ│） ，

│PF2│=│PM│+│MF2│=│PM│+│Q F2│= │PM│+ （│AF2│-│AQ│） ，

所以2a=2│AQ│=4，即a=2，

又因│F1F2│=8，所以c=4，

則雙曲線C的離心率e=■=2.

例2：已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與圓（x-2）2+（y-1）2=R2交于E，F兩點，直線EF過圓心，且直線EF的斜率k=-■，求橢圓的離心率.

解：設橢圓方程為：■+■=1（a>b>0），E（x1，y1），F（x2，y2），則有■+■=1，■+■=1，

兩式相減，整理得■+■=0.

EF是直徑，

∴線段EF中點是（2，1），且x1≠x2，則

x1+x2=4，y1+y2 =2.

∴■+■=0.

即 k=■=-■=-■ .

∴■=■.

∴e=■=■.

二、拓展定義，激發學生猜想

在數學概念教學中，既要從一般概念中看到具體背景，不使概念“空洞”化，又要在具體例子中想到它蘊含的一般概念，以使事物有“靈魂”.牛頓說：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發明和發現.”因此，教師在教學時要引導和幫助學生對數學概念進行拓展，類比著學，聯系著學，由“離心率e是動點到焦點距離和動點到準線的距離之比”這個第二定義求取離心率.

例3：已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且■=2■，求橢圓的離心率.

解：如圖，│BF│=■=a，過點D作DH⊥y軸于點H，則由■=2■有：

■=■=■，

∴│DH│=■│OF│=■C，即xD =■ .

由第二定義知：│FD│=e（■-■）=a-■，

又由■=2■，有a=2a-■.

∴3c2= a2.

∴e2=■， 即e=■ .

教育過程重在啟發人的思索，強調人的內心自覺.教師的教學不是簡單的對生活的模仿或解釋，要讓學生有所思、有所悟，在他們的成長中留下痕跡，以便讓他們更好地成長，更好地生活.

三、建立關系，培養直覺思維

克魯捷茨基認為：“一個人的能力只有通過活動才能形成和發展.”數學理論的抽象性通常都以某種“直觀”的想法為背景，教師在數學教學中可以通過引導學生建立a，b，c三量之間關系，成功求取離心率.

例4：設雙曲線■+■=1（a>0，b>0）的半焦距為c，直線l經過（a，0），（0，b）兩點，已知原點到直線l的距離為■c，求雙曲線離心率.

解：直線的方程為■+■=1，即bx+ay-ab=0，由原點到直線的距離d=■=■c.

有3c4=16a2b2=16a2（c2-a2），

即3c4-16c2a2+16a4=0

則3e4-16e2+16=0 ，

解得：e2 =4或e2 =■.

由b>a>0得b2>a2，

即c2-a2>a2，e2>2.

∴ e2 =4，即 e =2.

由此看來，具備豐富的經驗和掌握常見的數學規律，大膽地建立數學關系、探索解題方向能提高學生直覺思維.正如布魯納所說：“結構的理解能使學生從中提高他直覺地處理問題結果.”

四、挖掘條件，提升推理能力

數學家拉普拉斯曾說：“數學本身賴以獲得真理的重要手段就是歸納與類比.”求離心率范圍的問題，應找出題中不等關系，也應注意對題中隱含條件的挖掘.

例5：已知F1，F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2 =60？紫，求橢圓離心率的范圍.

解：設橢圓方程為■+■=1（a>b>0），

在△F1PF2 中，由余弦定理得：

│F1F2│2 =│PF1│2+│PF2│2-2│PF1│·│ PF2│cos∠F1PF2 ，

∴ 4c2=4a2-3│PF1│·│ PF2│，

∴│PF1│·│ PF2│=■.

又∵ │PF1│·│ PF2│=■≤a2 ，

∴■≤a2，即■≥■ ，

∴e2≥■，

∴■≤e<1.

求解圓錐曲線離心率相關問題常用方法很多，直接根據題意建立a，c關系求解；借助平面幾何關系建立a，c關系求解；利用圓錐曲線相關性質建立a，c關系求解；運用數形結合建立a，c關系求解；運用函數思想和均值不等式建立a，c關系求解；由點與曲線的位置關系建立a，c關系求解；運用差別式建立a，c關系求解；利用圓錐曲線重要結論建立a，c關系求解.總之，將數量關系與邏輯思維滲透到課堂的每一個細節，讓學生在解題中不經意間明白大道理，是數學教師真摯的追求.

我們的教學常常被放在高、大、上的位置，我們總是抱怨缺少素材、缺少經歷，其實一切都在我們身邊、學生身邊.“世界不是沒有美，只是缺少發現美的眼睛”，我們總覺得對自己的周圍很熟悉，老是想著看遠處的風景，卻意識不到身邊的景色也很美.教學中的源頭活水需要用心觀察才能發現，所以我們應該做一個有心人，做教學的有心人，讓來自學生身邊的源頭活水成為點燃課堂的靈動之火.

編輯/王一鳴 E-mail：51213148@qq.com