定解問題中無窮遠邊界條件的嚴格表示

龐宇萱　史慶藩

摘要：數學物理方法教科書在表示穩定場的定解問題時，將無窮遠邊界條件用了“～”符號來表示，然而在確定通解中的系數時卻用“=”帶入求解過程。本文討論了這種表示的邏輯內涵，并給出了嚴格的無窮遠邊界條件的表達形式，為這類定解問題的求解提供了有價值的參考。

關鍵詞：數學物理方法；無窮遠邊界；特殊方程

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）21-0181-02

引言

眾所周知，數理方程與特殊函數是物理及工程類專業本科生的一門重要必修課。這門課程的教學對培養學生綜合應用數學和物理規律去分析和解決實際問題的能力具有不可替代的作用。在實際的物理與工程問題中，定解條件決定了定解問題求解的最終結果。然而，由于特殊函數方程和定解條件所構成的定解問題其處理過程較為復雜，有些細節的數學與物理邏輯不易被學習者所理解。例如，處理穩定場的定解問題時，關于無窮遠處的邊界條件，在大多數的數學物理方法教科書中列為：u ～Arcosθ+C，其中r是極矢，A代表著不同的強度量，即在溫度場中代表熱流，在靜電場中代表電場強度，在穩態電流場中代表電流密度等[1]。但在利用定解條件來確定通解中的系數時卻以“=”代替了所列條件中的“～”進行結果的計算，同時也未說明理由，因此這樣的處理方式令人感到困惑。本文首先以靜電場為例給出了教科書中對于無窮遠邊界條件的應用過程，接著討論了以“=”代替“～”進行計算的值得商榷的原因，最后給出了嚴格的無窮遠邊界條件的表達形式，為這類定解問題的求解提供了有價值的參考。

一、問題的引出與討論

靜電場定解問題示例：在本來是勻強的靜電場中放置均勻介質球，本來的電場強度為E ，球的半徑是r ，介電常數是ε，求解介質球內外的電場強度。通常，取球心為球坐標系的極點，極軸沿電場方向。考慮邊界條件u 有限，球內電勢的解為

u = A lrlPl（cosθ） （1）

球外電勢的通解易知為

u = Clrl+D P （cosθ） （2）

為了確定（2）式中的系數，考慮很大的r，并利用邊界條件

u ～-E rcosθ+C （3）

易得：

ClrlPlcosθ～-E rcosθ+C

=-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （4）

比較兩邊系數得出：C =-E ，C =0（l≠0，1）。最后再通過銜接條件得出其余的系數A 和D 。值得注意的是，在上述教科書求解過程中將邊界條件中的“～”變成“=”而進行了定系數的運算，為什么這樣處理卻未有交代。

事實上，從物理的角度來說，本題的邊界條件應當寫為

=-E cosθ （5）

為了得出u ～的精確結果，我們需要對 的精確表述來進行積分。考慮到[2]

=-E cosθ+o（r） （6）

其中： o（r）=0。對（6）式積分得：

u ？搖-u ？搖= dr

= -E cosθdr+ o（r）dr

=-E rcosθ+ o（r）dr （7）

∴u =-E rcosθ+ o（r）dr+u

式中u 可以看作常數，但∫ o（r）dr則不能確定其類型，它可能為0，例如：o（r）=0，也可能為常數，如：o（x）=e ，亦可能為無窮大，如：o（x）= 。那么，顯然教科書中（4）式表達的不是相等關系，而是：

ClrlPlcosθ～-E rP （cosθ）+CP （cosθ） （8）

即：-E rcosθ+ o（r）dr+u

～-E rP （cosθ）+CP （cosθ）

（ o（r）=0） （9）

實際上，如果 o（r）dr為零或常數，（9）式顯然成立，而若其為無窮大，由洛必達法則，注意到：

由此，我們可以用等價無窮大來理解（雖然書中尚未注明），本題的球函數解與均勻平直場在趨于無窮遠時應該是等價無窮大。

二、邊界條件的精確表示

由上述討論我們知，原教科書的解法需要復雜的邏輯討論過程。實際上，我們不難給出（5）式所表示的邊界條件。對（2）式求偏導并代入（5）式得：

實際上，因為靜電場的庫倫定律，保證了在電荷有限的情形下（本題的導體有限大，帶的總電荷必然是有限的），電荷在無窮遠的影響應當正比于r-2，從而積分是有限值，屬于第二種情形，所以兩種邊界條件的列法最后得出了同樣的結論。

參考文獻：

[1]梁昆淼.數學物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2008.