滾動軸承故障動力學建模及振動響應特性分析

龍建，王志剛，徐增丙

(武漢科技大學 冶金裝備及控制教育部重點實驗室，武漢 430081)

信號分析方法是目前常用的軸承故障診斷方法[1]，但此類方法缺乏對故障機理的深入研究。通過對軸承動力學模型的深入分析，了解故障軸承的振動響應特征，揭示故障狀態中動力學參數與響應信號的內在聯系，可以為故障診斷提供理論依據。

目前，國內外學者對滾動軸承故障的動力學模型進行了廣泛的研究。然而，二自由度彈簧阻尼模型只考慮了內圈的運動，無法對滾動體的運動進行研究，不能真實反映軸承內在響應作用機理；且現有模型大多采用球勻速公轉假設，并提前給定球的運動狀況，并未考慮球與溝道間的相對滑動[2-5]。為更全面地模擬軸承動力學特性，文獻[6]建立了完整的軸承動力學模型，模型中的每個元件都具有6個自由度，但Gupta模型只考慮了正常軸承，未考慮故障軸承的動力學行為。另外，在實際工程中復合故障經常存在，而現有軸承動力學模型大多以單點損傷為主[7-8]，鮮少研究軸承的復合故障。

基于此，為更加真實和精確地反映軸承內部動力學行為，以Gupta模型為基礎，結合局部損傷模型，充分考慮球與內外圈間的相互作用，對軸承單點損傷及復合故障軸承的動力學模型及響應特性進行分析，為滾動軸承故障診斷提供一定的指導作用。

1 軸承動力學建模

1.1 正常軸承模型

考慮到深溝球軸承及其支承結構的復雜性，為方便建立整個系統動力學模型，進行下列假設：所有零件的質量中心與幾何中心重合；球與溝道間只存在局部彈性變形；忽略球與保持架的相互作用；忽略熱效應引起的零件變形的影響。

軸承動力學建模主要包括求解軸承零件間的相互作用及相對滑動速度等，據此計算球與溝道間的作用力。為了模擬軸承零件的運動，首先定義了各種坐標系，包括固定于空間的慣性坐標系及固定于軸承零件中的定體坐標系等。定體坐標系有球定體坐標系Obxbybzb，套圈定體坐標系Orxryrzr(圖中以外圈為例)。另外，為了計算球與溝道間的相互作用，定義了接觸坐標系Ocxcyczc，如圖1所示。

圖1 滾動軸承坐標系Fig.1 Coordinates of rolling bearing

圖1中，位置向量rb和rr分別確定了球質心和套圈質心在慣性坐標系中的位置。可通過球質心相對于套圈溝道曲率中心Rc的位置矢量rbc確定球與套圈的相互作用。相對位置向量rbc為

rbc=rb-(rr+rcr)，

(1)

式中：rcr為套圈溝道曲率中心與套圈質心的相對位置。

一旦由(1)式確定了球質心相對于套圈曲率中心的位置，就可求出幾何相互作用，即接觸變形為

δ=|rbc|-(f-0.5)Dw，

(2)

式中：Dw為球徑；f為套圈溝曲率系數，其定義為套圈溝道曲率半徑與球的直徑之比。δ為負時表示球與套圈不接觸，δ為正時表示球與套圈存在相互作用，可根據Hertz點接觸理論計算接觸載荷[9]，即

Q=Kδ1.5，

(3)

式中：K為Hertz接觸系數，由軸承幾何形狀及軸承材料特性決定。

(4)

式中：ur,ub分別為套圈和球的平移速度；ωr,ωb分別為套圈和球的角速度；rp,Rp分別為接觸區域上任意一點P相對于球質心和套圈質心的位置向量；Tac，Tia，Tir，Tib分別為方位坐標系到接觸坐標系的變換矩陣、慣性坐標系到方位坐標系的變換矩陣、慣性坐標系到套圈定體坐標系的變換矩陣、慣性坐標系到球定體坐標系的變換矩陣。

則套圈和球在P點相對滑動速度為

us=ur-ub。

(5)

牽引潤滑性能與相互作用的套圈和球間的相對滑動速度有關，如圖2所示。牽引系數起初隨著相對滑動速度的增大而增大；而在較高的相對滑動速度時，由于潤滑劑中的剪切發熱變得顯著，牽引系數將達到最大值；此后，隨著相對滑動速度的進一步增大，牽引系數又開始減小，牽引潤滑模型服從下列關系：

圖2 典型牽引-滑動模型Fig.2 Typical traction-slip model

k=(A+Bu)e-Cu+D，

(6)

式中：k為在相對滑動速度u下的牽引系數；A,B,C,D可根據實際牽引數據來計算。然后就可以根據P點相對滑動速度計算出P點增量力和增量力矩，在整個接觸橢圓上積分即可得到作用在球和滾道上的合力和合力矩。

1.2 局部損傷模型

當套圈溝道表面出現局部損傷后，球與溝道間接觸變形將發生突變，改變后的接觸變形為

(7)

式中：δh為損傷深度；θb為球在滾道上的位置；θo為損傷位置；θd為損傷在滾道圓周上的圓周角的一半，由損傷直徑wd所決定，如圖3 所示。單點故障即在原有正常模型中引入(7)式進行聯立。

圖3 局部損傷模型Fig.3 Model of localized damage

復合故障模型為同時發生2種或多種不同的故障，多種故障在一起相互關聯并相互影響。復合故障的動力學建模為局部故障模型的聯立，即內外圈復合故障是內圈損傷模型與外圈損傷模型的聯立。

1.3 動力學方程

軸承零件的運動分為：零件的質心運動和旋轉運動。質心運動可通過Newton定律來求解，而旋轉運動則用Euler運動方程來描述。

1.3.1 質心運動

對于套圈，可用笛卡爾運動坐標系描述其質心運動，即

(8)

式中：m為套圈質量；F為外力向量；下標x,y,z表示力的3個分量。

對于球的質心運動，采用圓柱坐標系來描述較為方便，即

(9)

式中：mb為球的質量；F為外力向量；下標x,r,θ表示力在圓柱坐標系下的3個分量。

另外，在軸承振動特性測試中，傳感器通常安裝在軸承座上，故在本模型中添加了軸承座以便分析軸承振動特性，軸承座模型如圖4所示。軸承座的動力學方程為

圖4 軸承座模型Fig.4 Model of bearing housing

(10)

式中：mh為軸承座的質量；ch為軸承座在z方向上的阻尼系數；kh為軸承座在z方向上的剛度系數。

1.3.2 旋轉運動

軸承零件完全對稱時，軸承零件的旋轉運動可用下列Euler運動方程來描述

(11)

式中：I為慣性主矩；ω為角速度；G為外力力矩；下標1，2，3表示慣性主矩和角速度及外力力矩的3個分量。

2 仿真結果分析

通過四階Runge-Kutta法對動力學方程進行數值積分求解，求解初值由擬靜力學模型得到，初始積分步長Δt設置為1.0×10-5s，軸承參數見表1。仿真時外圈固定，內圈轉速為10 000 r/min，并對軸承內圈施加250 N的純徑向力，損傷直徑為1 mm，損傷深度為0.1 mm。

表1 滾動軸承結構參數Tab.1 Structural parameters of rolling bearing

由簡單運動學和純滾動假設可得深溝球軸承的內、外圈故障特征頻率分別為[9]

(12)

代入數值計算可得外圈故障特征頻率fbpfo=409.29 Hz,內圈故障特征頻率fbpfi=590.71 Hz，另外軸承轉頻fr=83.33 Hz。

2.1 正常軸承動力學分析

球與內、外圈間的接觸載荷如圖5a所示，無游隙深溝球軸承內圈與球間最大接觸載荷Qmax為[10]

圖5 正常軸承振動響應特性Fig.5 Vibration response characteristic of normal bearing

(13)

式中：Fc為對內圈施加的徑向力；Z為球數。

計算可得Qmax=104.2 N，與圖中最大接觸載荷104.8 N的誤差僅為0.58%。從圖5a中可看出：在高速運動時的離心力作用下，球與外圈間接觸載荷大于與內圈間接觸載荷。在徑向力的作用下，軸承分為承載區和非承載區，在非承載區時內圈與球間接觸載荷為0，即在非承載區球與內圈不發生相互作用。

軸承座z方向加速度如圖5b所示，可以看出在軸承無損傷的情況下，軸承座加速度信號很平穩，加速度幅值在0.30 m/s2以下，且沒有明顯沖擊。

2.2 外圈損傷軸承動力學分析

當外圈損傷時，球與外圈接觸載荷如圖6a所示，從圖中可以看出，外圈存在表面損傷時,球與外圈間接觸載荷會在球經過損傷位置時產生突變。從接觸載荷局部放大的圖6b可以看出，外圈損傷時，球與外圈間彈性變形陡然減小，而后在內圈的反作用下彈性變形將增大到正常狀況下的數倍，故而產生較強的沖擊；另外，外圈與球間接觸載荷會在損傷處驟然減小，而后增大。軸承座徑向加速度信號如圖6c所示，可以看到每當球經過損傷部位時，軸承座的振動響應便會產生一個沖擊；從軸承座的加速度包絡譜(圖6d)可以看到頻率成分最為明顯的外圈故障特征頻率408.9 Hz以及逐漸衰減的2倍頻、3倍頻等成分。而由純滾動和簡單運動假設得到的理論計算結果為fbpfo=409.3 Hz，兩者間的誤差為0.95%。該誤差是由于本模型考慮了潤滑牽引作用，摒棄了純滾動理論假設，因此本模型的結果更利于實際工況下的故障診斷。

圖6 外圈損傷軸承振動響應特性Fig.6 Vibration responses characteristic of bearing with outer ring damage

2.3 內圈損傷動力學分析

當內圈損傷時，球與內圈接觸載荷如圖7a所示，從圖中可以看到明顯的沖擊。另外，由于內圈旋轉，球與內圈損傷部位將在不同方位發生碰撞，因此，沖擊力大小將發生變化,沖擊力的幅值受到轉頻調制。從內圈損傷時軸承座的加速度波形(圖7b)可以看出，沖擊只發生在承載區上，而在非承載區沒有明顯沖擊。軸承座的加速度包絡譜如圖7c所示，從圖中可以看出主要頻率成分有內圈故障特征頻率fbpfi(590.5 Hz)及其倍頻成分(2fbpfi=1 181 Hz，3fbpfi=1 772 Hz)，故障特征頻率倍頻的邊頻(fbpfi±fr,2fbpfi±fr,3fbpfi±fr)，轉頻fr(83.2 Hz)及其倍頻(2fi=166.3 Hz,3fi=250.2 Hz)，邊頻的產生是由于內圈損傷處的位置會隨著內圈旋轉而周期性變化，內圈的故障特征頻率受到轉頻的調制。

2.4 內、外圈復合故障動力學分析

當內、外圈同時具有損傷時，軸承座的加速度波形如圖8a所示，從圖中可看出該波形較內、外圈單一損傷更為復雜，包含有單點缺陷時的沖擊。而從內、外圈復合故障軸承座的振動包絡譜(圖8b)可以看到內、外圈故障特征頻率成分及其倍頻成分，還有內圈轉頻及其倍頻成分。復合故障頻率成分可看成是單點缺陷的非線性疊加，包含有單點損傷所有的頻率成分。另外，復合故障特征信號不僅包含有單個故障的特征信號，還包括2種單故障信號作用在軸承上的相互調制的振動信號。

圖8 復合故障軸承振動特性Fig.8 Vibration characteristic of bearing with compound fault

3 結論

在考慮球與滾道間的相對滑動作用和潤滑牽引作用的前提下，以Gupta模型為基礎建立了單點損傷及復合故障軸承的動力學模型，探索了單點損傷及復合故障對軸承內部接觸載荷及軸承振動特性的影響規律，得出以下結論：

1)分析結果與傳統理論假設有一定的偏差，該偏差是由于傳統理論未考慮球在軸承運動中存在一定的相對滑動等復雜運動。分析將有助于研究和預測單點損傷軸承及復合故障軸承的動力學行為，并為軸承故障診斷提供一定依據。

2)驗證了單點損傷頻譜圖的特征頻率成分。外圈損傷軸承在包絡譜上表現為以外圈故障特征頻率為間隔的隨頻率增大而逐漸衰減的理論譜線；內圈損傷軸承的包絡譜在各階倍頻特征頻率處有幅值逐漸減小的譜線，且在各階倍頻處的兩旁存在間隔等于轉頻的調制譜線。

3)在復合故障軸承仿真中，頻譜結果圖表明了復合故障頻譜特性是單點損傷頻譜的非線性疊加，頻譜圖包含有內外圈單點損傷的特征頻率成分，還包含2種故障信號作用在軸承上相互調制的振動信號。