差一點就對的數學

示憐云

本不存在的多面體

右圖中這個漂亮的球體模型，是加拿大滑鐵盧大學的計算機科學家克雷格·卡普蘭用紙板和透明膠帶組裝而成的。它看起來就像美國建筑師巴克敏斯特·富勒發明的網格穹頂，或者像一種新款足球。它由4個正十二邊形和12個正十邊形構成，此外它還留有28個等邊三角形形狀的缺口。

但這里卻有一個大問題：這種球體模型在數學上是不可能存在的。這些正多邊形本應不會在每個頂點上完全對齊，所以它們無法構成這個球體模型。

那么為什么在現實中可以做成這個模型呢？原來在組合的時候，每個紙板都會微微地發生扭曲。卡普蘭表示，紙板的扭曲產生了一種“蒙混過關的因素”，能使得本該不可能的事情變為了可能。

卡普蘭的模型，只是美國數學家諾曼·約翰遜在上個世紀60年代發現的數學現象中的一個新例子。那時的約翰遜，正努力完成一個由柏拉圖在2000多年前就開始的項目：編錄所有完美的凸多面體。例如，各面都是全等的正多邊形且每一個頂點布局都是一樣的凸多面體，叫做正多面體。它總共只有5種，分別是正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。如果你用2種以上的正多邊形組成一個凸多面體，且要求所有頂點布局都相同，那么你可以得到13個阿基米德立體，以及無數種正棱柱（兩個相同的正多邊形被多個正方形連接起來）和正反棱柱（兩個相同的正多邊形被多個等邊三角形連接起來）。阿基米德立體、正棱柱和正反棱柱統稱為半正多面體。

如果用2種以上的正多邊形組成一個凸多面體，但不要求所有頂點布局都相同，那么除了半正多面體，還會有多少種多面體呢？1966年，約翰遜發現了92個這樣的多面體，現統稱為約翰遜多面體。他猜測自己已經找全了，幾年之后，俄國數學家維克托·扎格勒爾證明了這一點。

然而在尋找這些多面體的時候，約翰遜發現了一些奇怪的現象。他用紙板來搭建想要尋找的形狀，因為滿足要求的多面體不會很多，他認為任何不可能的情況都能很快顯現出來。但事實上，他用紙板搭建出了很多個這樣的多面體，但經過數學分析后，發現它們本應不存在。約翰遜仔細一看，發現這些多面體的紙板都發生了扭曲，比如某個面扭曲得不像正方形，或者某個面變得不太平坦。約翰遜拿著剪刀試著對某些面進行修剪，使得各個面的紙板不再扭曲，但是修剪完后，各個面就不都是正多邊形了。

這些差一點點就成為完美的多面體，被稱為擬約翰遜多面體。當時的約翰遜并沒有太在意這種多面體。然而現在，擬約翰遜多面體不僅吸引了卡普蘭和其他數學家的興趣，而且被看成“差點就對的數學”的一個典型例子。

差一點就騙到你

差點就對的數學并沒有嚴格的定義，它通常就是指那種差一點就滿足要求的，或者差一點就正確的數學現象。其判斷標準，也同時是基于人的體驗。目前，卡普蘭在尋找新的擬約翰遜多面體的時候，基本上是依賴于經驗。如果你成功地搭建了一個不可能的多面體，并且與要求很接近，那么你就找到了一個擬約翰遜多面體。

許多古老的問題就屬于差點就對的數學。例如，尺規作圖三大難題——三等分角（三等分一個任意角）、化圓為方（作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積）和倍立方（作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍）——看起來很容易解決，但最終被證明是不可能的，你最多只能找到一些近似的方法。

不過在許多時候，“差點就對”往往意味著“差一點就騙到你”，可以拿來當作一個數學玩笑或惡作劇。比如左圖中，上面那個直角三角形被切成四個部分。這些部分重新組合為下面的直角三角形時，會多出一個正方形的空隙。那么，這個空隙是從哪里來的？

這個謎題被稱為“失蹤的正方形”，它是由美國業余魔術師保羅·嘉理在1953年提出的。謎題的解答很簡單，但許多人都很難想到。圖中上下兩個大“三角形”其實不是真正的三角形，因為斜邊不是一條直線，而是有一個小彎折：藍色三角形斜邊的斜率為0.4，而紅色三角形斜邊的斜率為0.375。這一差別很難被人所察覺，于是就導致了這個看似悖論的謎題。

此外，在美國動畫片《辛普森一家》的某一集中，還出現了一個令許多人大吃一驚的等式：398712+436512=447212。這似乎直接否定了費馬大定理，即當n大于2時，xn+ yn= zn的方程是沒有整數解的。如果你把這些數字輸入一個袖珍計算器里，你會發現這個等式似乎是成立的。但如果你有能顯示更多位數的計算器，你會發現398712+436512開12次方的結果為4472.0000000070592907…，而不是4472。雖然差值竟然小于1億分之一，但等式其實并不成立，所以費馬可以安心了。

就差一點也有用

在日常生活中最有用的一個差點就對的數學，就是27/12的結果是1.498307…（就是27開12次方）幾乎等于1.5。這是西方音樂的十二平均律的基礎，也是鋼琴在每一個純八度音程有12個鍵的原因。

音程就是兩個單音之間的頻率高低關系。比如純八度音程和純五度音程——頻率比為2∶1的兩個單音之間的音程被稱為純八度音程，頻率比為3∶2的被稱為純五度音程。

在音樂的發展過程中，音樂家們希望有一套標準，能產生出一組單音序列，而且相鄰兩個單音的音程得是等比的，這樣就方便調試各種樂器。如果該標準產生的單音，還能組成純八度音程、純五度音程等各種常見音程，那將是一個很完美的事情。那么怎么能“包羅萬象”呢？后來，音樂家們提出了一個標準，將八度的音程按頻率等比例地分成十二等份，每一等份稱為一個半音即小二度。一個大二度則是兩等份。每兩個相鄰的單音之間的頻率比為21/12。這種產生一組單音的辦法就是十二平均律。

十二平均律產生的一組單音中，每個單音后的第7個單音，與原來的單音的頻率比則是27/12，約為1.498307，大致與3/2相等，這兩個單音的音程就是一個純五度音程。于是，這種“差點就對”使得十二平均律產生的單音，除了能組成純八度音程以外，還能近似地組成純五度音程。其他類似的“差點就對”，還能讓十二平均律產生的單音大致組成純四度、大三度等音程。于是，現代樂器的制造，都采用十二平均律來確定單音。

另一些差點就對的數學，卻能給數學本身帶來重大的影響。例如，拉馬努金常數，約等于262537412640768743.99999999999925，非常接近整數。按理說，e、π和都是無理數，它們組合在一起竟然非常接近一個整數，這是一件非常神奇的事情。數學家認為，這不是什么巧合，而是某種更深一層的數學規律導致的。具體的原因解釋起來比較復雜，但可以透露的一點是，該問題與數字163有關。此外，這個問題引發的聯系與怪獸月光理論（見“拓展閱讀”）很類似。

總之，真實世界往往是不完美的，然而差點就對的數學卻能給現實帶來一些近似的完美。就像生物學家發現了一個新物種一樣，許多數學家開始對這種數學產生了極大地興趣。對它們的進一步研究，肯定還能帶來更多意想不到的發現。