基于實用弱化緩沖算子的質量成本灰色DGM預測模型

王靜，董文杰，方志耕

（南京航空航天大學 經濟與管理學院，南京 211106）

20世紀50年代，Juran在《質量管理手冊》中提出關于質量成本的一般性論述，將因不良質量產生的成本比作為“礦中黃金”[1]。隨后幾年內，Feigenbaum首次明確了質量成本的概念，將質量成本定義為“為了確保和保證滿意的質量而發生的費用以及沒有達到滿意的質量所造成的損失”[2]。國內外學者關于質量成本CoQ模型的討論主要有以下幾種：PAF模型[3]、Crosby模型[4]、機會成本模型[5]、過程成本模型[6]以及 ABC模型[7]。這些質量成本模型為以后對質量成本的更深入研究奠定了基礎，此后在 PAF模型和Juran質量特性曲線基礎上，有學者在研究成本優化過程中，陸續提出了最優指數函數模型、基于田口損失函數的最佳質量成本模型、基于K. K. Govil函數的成本優化模型、基于 Cobb-Douglas生產函數的最佳質量成本模型等[8-11]，為質量成本和質量管理水平間關系的探討起到了巨大的推動作用。然而，對于質量成本的預測控制研究相對較少，且較為淺顯，主要集中于對成本構成科目的概念性控制和成本構成比例的一般性分析。

灰色系統理論經過30多年的發展，已經在工業、農業、能源、交通等眾多領域得到了廣泛應用，成功地解決了生產、生活和科學研究中的大量實際問題[12]。灰色預測模型作為灰色系統理論的重要組成部分，以少量的系統行為特征數據為基礎進行建模，通過對部分已知信息的挖掘，發現系統的特有規律，從而進行預測。考慮到質量成本核算中的不確定性影響因素及財務成本數據的動態干擾和未知可能，將不同時序下的質量成本數據作為區間數的形式加以研究。文中利用去不確定性的積分函數對區間型成本進行處理，將區間型質量成本轉化為信息無偏的實數。通過分析質量成本和同時期質量水平之間的關聯性，再對去不確定性后的成本時間序列加以二階弱化，最后建立質量成本預測的離散灰色模型（DGM）。通過實例分析，驗證該模型是有效和合理的。

1 模型的建立

Baatz EB在PAF成本模型中，將總質量成本的構成分為預防成本（P）、鑒定成本（A）、內部故障成本（IF）和外部故障成本（OF）。由于企業運營存在著諸多不確定性因素以及質量成本存在形式的特殊性，進行質量成本分析測算的基礎是進行成本的核算。

1）區間型質量成本時間序列的形成。國內外目前對質量成本的核算尚無固定的模式，常用的方法是統計核算法和會計核算法兩種。統計核算法借助于數理統計的一般原理，獨立于整個核算體系之外，將質量成本發生情況完整地反映出來。會計核算法借助于會計學基本理論，對質量成本按照構成科目進行分類，將不同時期內的成本發生情況納入到核算賬戶體系之中。由于隱性質量成本的估計難度高且受各方面的波動干擾，核算后的不同階段的總質量成本以區間數的形式表示：

2）進行區間型質量成本的去不確定性處理。對區間型數據進行關聯性分析和建模都不太方便，利用去不確定性積分函數可以將區間數轉化為實數，從而建立實數質量成本的時間序列。區間數的連續有序加權算子為：

式中：ρ(y)為基本單位區間函數。當ρ(y)=yr(r≥0)時，區間數經連續有序加權算子處理，得到去不確定性后的質量成本時間序列為：

3）質量成本和相關指標間的關聯度分析。Juran的質量特性曲線模型中，將質量成本描述為質量水平間的函數變化關系。為了深入刻畫成本和質量管理水平之間的依存關系，對質量成本數據和質量水平時間序列進行關聯度分析。設質量水平（常用產品合格率來表示）Zi為系統特征行為序列，Zi=(zi(1),zi(2),… ,zi( n))，質量成本Yi為相關因素行為序列，Yi=(yi(1),yi(2),…,yi( n))，r( Yi, Zi)為Yi與Zi的灰色關聯度。

對于ζ∈(0,1)，令：

式中：ζ稱為分辨系數，常取為0.5。

4）用緩沖算子對質量成本進行弱化。由于歷史質量成本數據往往存在一定的干擾，直接用灰色系統模型進行成本的分析預測，實際應用過程中難免會出現一些擬合精度較低的情況。為了能有效排除系統行為數據所受到的沖擊擾動，可以引入弱化緩沖算子對質量成本時間序列進行弱化，減少其隨機性，從而提高模型的預測精度。

定理 1[12]設X=(x(1),x(2),…,x( n))為系統行為數據序列，ω=(ω1, ω2,…,ωn)為對應的權重向量，ωi＞0,i=(1,2,…,n)，令XD=(x(1)d, x(2)d,…,x( n) d )，其中：

當α＜0時，對于單調增長序列或單調衰減序列，D皆為弱化緩沖算子。

常用的弱化緩沖算子有平均弱化緩沖算子AWBO（劉思峰，1991）、加權平均弱化緩沖算子WAWBO（黨耀國，劉思峰等，2004）、加權幾何平均弱化緩沖算子 WGAWBO（黨耀國、劉思峰等，2004）等[12]。在此處假設各個時點的質量成本權重沒有差別，用平均弱化緩沖算子對原始質量成本數據序列進行二階弱化。

由定理1可知，當Yi為單調增長序列、單調衰減序列或振蕩序列時，D皆為一階弱化緩沖算子，2D皆為二階弱化緩沖算子。經二階弱化后的成本時間序列可以有效剔除其中的隨機影響因素，能夠用灰色預測模型進行建模。

5）灰色 DGM 預測模型的建立。二階弱化后的質量成本時間序列經過一次累加生成（1-AGO）后所得到的時間序列為，其中。可構造差分方程其通解為：

其中C為任意常數，可根據初始條件確定。

6）質量成本的預測和分析。質量成本是一種機會成本，不局限于已經發生的經濟活動，而應著重于分析預測可能或應當發生的各類活動，以便管理者進行決策。灰色DGM預測模型的成本模擬數據序列為：。為驗證模型預測效果，需對模型精度進行檢驗，這里主要借助于二階弱化后的序列與模擬值之間的殘差平方和s以及平均相對誤差Δ。其中：

2 實例對比

為便于比較，采用文獻[13]中的算例。通過對成本數據的核算，匯總得到某公司產品某段時期內的質量成本和產品良率之間的相關資料，見表1。經過對成本數據的處理，建立去不確定性后的質量成本時間序列：Yi=(13.45,12.9,12.37,12.41,13.18,13.73)。

表1 質量成本數據統計

1）以產品良率作為系統特征行為序列：Xi=(0.56,0.61,0.69,0.74,0.84,0.89)。取分辨系數ζ為0.5，則序列Xi與Yi間的灰色關聯度r( Xi, Yi)=，說明質量成本隨產品良率變化相關關系顯著。

2）以成本時間序列Yi=(13.45,12.9,12.37,12.41,13.18,13.73)作為原始數據序列，為了排除隨機誤差的干擾，用二階平均弱化緩沖算子D2對其進行弱化，建立弱化后的質量成本時間序列Zi=(13.19,13.23,13.3,13.43,13.59,13.73)。

3）以序列Zi為基礎進行灰色 DGM建模，得到相應的時間響應函數：

4）將預測數據與原始數據進行對比，得到模擬誤差表2。殘差平方和T0.002 s=εε =，平均相對誤差

5）文獻[13]中建立的指數函數模型為Q( x)=1.83? 6.58x+30.16? 0.09x，其誤差模擬見表3。

殘差平方和s=εεT=0.416，平均相對誤差=

經過兩種模型的殘差平方和以及平均相對誤差對比可知，經二階弱化后的質量成本數據建立起來的灰色DGM預測模型，模擬精度得到了明顯提升，可用于質量成本的優化計算。

表2 灰色DGM模型模擬誤差

表3 指數模型模擬誤差

3 結語

該研究闡釋了灰色DGM質量成本預測模型的建模機制和驗證機理，主要創新點有：根據成本特性和職能，把質量成本作為區間型數據進行處理，一定程度上解決了成本核算中的某些假定性因素；質量成本和質量水平等相關指標間的相互關系可以通過關聯度分析進行驗證，經過數據積累和系統的比較分析可以發現其中的一定規律；引入一定形式的實用緩沖算子對質量成本數據進行弱化，可以剔除某些未知性干擾，明顯提高模型預測精度。

預測的目的是為了對企業質量成本進行更好的控制，而成本的有效控制和管理則是企業正常資金流的重要保證。成本控制貫穿于企業運營的始終，必須建立長久有效的核算體系，加強成本核算的科學性和合理性[14-16]。同時，在進行成本預測和控制的過程中，必須考慮各方面的不確定性未知因素，只有這樣才能使預測更具可行性，為企業質量成本的管理提供更多實際的指導意義。