考慮邊緣效應(yīng)的MEMS梳齒諧振器的靜動(dòng)力學(xué)特性分析

馬賀沖， 張琪昌， 陳 濤， 李 磊

(1. 天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300072； 2. 內(nèi)蒙動(dòng)力機(jī)械研究所， 內(nèi)蒙古 010010)

MEMS諧振器是一種高精度的微機(jī)械電子元件，是利用諧振器內(nèi)部振子的機(jī)械諧振特性來(lái)進(jìn)行工作，性能十分穩(wěn)定，廣泛用于航天航空、生物技術(shù)、精密測(cè)量、國(guó)防軍事、通訊等領(lǐng)域，由其產(chǎn)生的靜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題也逐漸成為當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)[1-2]。梳齒式諧振器是微諧振器中較為常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，整體為硅材料，采用非接觸式激勵(lì)和檢測(cè)，易獲得高靈敏度，相對(duì)于梁式結(jié)構(gòu)更加穩(wěn)定，具有效率高、精度高、激勵(lì)形式多樣等優(yōu)點(diǎn)并被廣泛應(yīng)用到濾波器、加速度傳感器、光頻梳和能量采集器等眾多產(chǎn)品中[3]。研究靜電驅(qū)動(dòng)梳齒諧振器的振動(dòng)特性，不僅能夠提高研究人員對(duì)梳齒諧振器的靜動(dòng)態(tài)特性的了解，而且對(duì)于MEMS 結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)也具有一定的參考價(jià)值。

梳齒結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)態(tài)特性問(wèn)題一直以來(lái)受到研究者的重點(diǎn)關(guān)注。Nguyen等[4]對(duì)梳齒驅(qū)動(dòng)器的振動(dòng)特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了廣泛認(rèn)可。Elshurafa等[5]建立了微梳齒折疊梁的振動(dòng)模型并對(duì)其軟硬特性進(jìn)行研究，討論了系統(tǒng)軟硬特性的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)。Han等[6]分析了梁式諧振器線性振動(dòng)情況下系統(tǒng)最優(yōu)直流電壓與等效固有頻率的參數(shù)表達(dá)式并討論了物理參數(shù)對(duì)于該行為的影響。Zhong等[7]研究了微梳齒結(jié)構(gòu)的齒狀結(jié)構(gòu)的形狀對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的影響，得出以下結(jié)論：傾斜梳齒可以減小系統(tǒng)的軟化行為，導(dǎo)致頻率的偏移，增強(qiáng)微諧振器的振動(dòng)穩(wěn)定性，并避免吸合效應(yīng)的發(fā)生。張峰等[8]分析了靜電梳齒結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性隨支撐梁結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化關(guān)系，并采用有限元仿真軟件對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

靜電激勵(lì)力是研究MEMS動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算MEMS靜電激勵(lì)力是合理準(zhǔn)確地分析MEMS振動(dòng)特性的前提條件。目前梳齒結(jié)構(gòu)靜電力的計(jì)算大多基于無(wú)限大平行板模型[9]，但實(shí)際上由于梳齒本身的結(jié)構(gòu)特性，其靜電力存在明顯的邊緣效應(yīng)。Dong等[10]對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)的靜電力進(jìn)行了模擬仿真，結(jié)果表明邊緣效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致梳齒結(jié)構(gòu)靜電力明顯增大。高世橋等[11-12]推導(dǎo)了梳齒結(jié)構(gòu)靜電力基于邊緣效應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)比了與無(wú)限大平行板模型的差別，但并未進(jìn)一步研究邊緣效應(yīng)對(duì)梳齒諧振器動(dòng)力學(xué)行為的影響。Elshurafa等建立了梳齒驅(qū)動(dòng)器的靜電力模型，但并未對(duì)梳齒橫向的靜電力進(jìn)行準(zhǔn)確分析。

因此，目前的文獻(xiàn)中并沒(méi)有對(duì)邊緣效應(yīng)下MEMS梳齒結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性進(jìn)行系統(tǒng)性研究。本文采用最小二乘法對(duì)微梳狀諧振器的復(fù)雜靜電力形式進(jìn)行擬合，并采用多尺度法進(jìn)行求解，簡(jiǎn)化了梳齒結(jié)構(gòu)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。筆者對(duì)梳齒諧振器采用理論分析，并回歸到物理參數(shù)分析不同參數(shù)下梳齒折疊梁動(dòng)態(tài)行為，這對(duì)于梳齒結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

1 靜電激勵(lì)力分析

圖1為典型MEMS梳齒諧振器模型圖,主要由固定梳齒，可動(dòng)梳齒，錨點(diǎn)，折疊梁等結(jié)構(gòu)組成。其中，梳齒部分與電極相連，形成平行板電容結(jié)構(gòu)并產(chǎn)生靜電力，驅(qū)動(dòng)電壓為Vdc和Vaccos(Ωt)。設(shè)梳齒結(jié)構(gòu)所含梳齒個(gè)數(shù)為N，系統(tǒng)的總靜電力為單個(gè)平行板電容器靜電力之和?？蓜?dòng)梳齒與固定梳齒尺寸完全相同，x0為可動(dòng)梳齒與固定梳齒之間的間隙，w為梳齒齒寬，h為梳齒厚度(垂直紙面方向)，a為可動(dòng)梳齒與固定梳齒間的重疊長(zhǎng)度，d為相鄰齒間距離。由于系統(tǒng)為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，故只研究沿x方向的運(yùn)動(dòng)。設(shè)Ct和Cl分別為梳齒結(jié)構(gòu)橫向和縱向電容，F(xiàn)t和Fl分別為梳齒橫向與縱向電容產(chǎn)生的沿x方向的靜電力。另外，W為折疊梁的寬度，L折疊梁長(zhǎng)度，可動(dòng)梳齒等效質(zhì)量為m，品質(zhì)因子為Q，彈性模量為E。

圖1 MEMS梳齒諧振器模型圖

1.1 單側(cè)靜電激勵(lì)力

由圖1可知，系統(tǒng)沿x方向的靜電力包括橫向電容產(chǎn)生的靜電力和縱向電容產(chǎn)生的靜電力。首先對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)的橫向靜電力進(jìn)行研究。趙劍等[13]對(duì)平行板電容產(chǎn)生的靜電力場(chǎng)進(jìn)行模擬仿真，發(fā)現(xiàn)平行板間距與寬度的比值越大，邊緣效應(yīng)對(duì)電容的影響越明顯。同時(shí)因?yàn)槭猃X結(jié)構(gòu)都采用高縱深比的工藝加工，齒寬相對(duì)梳齒間距要小很多，所以邊緣效應(yīng)對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)橫向靜電力影響很大，因而不能把梳齒結(jié)構(gòu)看作無(wú)限大平行板模型進(jìn)行處理分析。結(jié)合姚峰林等給出的梳齒橫向電容在邊緣效應(yīng)下的計(jì)算公式，設(shè)固定梳齒與可動(dòng)梳齒間的驅(qū)動(dòng)電壓為Vdc+Vaccos(Ωt)，梳齒結(jié)構(gòu)沿x方向的整體橫向電容可以表示為

(1)

可求得則單側(cè)整體的橫向靜電力為

(2)

令

得

(3)

(4)

梳齒結(jié)構(gòu)同時(shí)受到縱向電容產(chǎn)生的靜電力的影響，由已有研究[14]可推導(dǎo)出梳齒結(jié)構(gòu)在邊緣效應(yīng)下縱向電容為

(5)

其中

則縱向靜電力系數(shù)為

(6)

1.2 總靜電激勵(lì)力

工程應(yīng)用中梳齒諧振器一般采用雙邊激勵(lì)的形式，使結(jié)構(gòu)兩端都受到靜電力的作用，如圖1所示。梳齒諧振器的工作原理是，在可動(dòng)極板與固定極板間施加直流電壓，在結(jié)構(gòu)兩兩側(cè)施加大小相同，方向相反的交流電壓，在靜電力的作用下，可動(dòng)梳狀電極向固定電極方向運(yùn)動(dòng)，使中間的折疊梁發(fā)生變形，然后帶動(dòng)其他元件的運(yùn)動(dòng)。由已有研究可知系統(tǒng)總靜電激勵(lì)力為

(7)

其中

(8)

將式(7)展開(kāi)，因?yàn)閂dc>>Vac可忽略高階激勵(lì)項(xiàng)可得到

(9)

2 運(yùn)動(dòng)方程與振動(dòng)響應(yīng)方程

選取梳齒結(jié)構(gòu)折疊梁為研究對(duì)象， Silva等[15]將折疊梁看作鐵木辛柯梁模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，之后Elshurafa AM推導(dǎo)出了折疊梁的單自由度Duffing方程，梳齒諧振器動(dòng)力學(xué)方程如下

(10)

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

單自由度微梳齒結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱化的方程表達(dá)為

(16)

由αn1形式可得，邊緣效應(yīng)下的橫向靜電力比無(wú)限大平行板模型下的橫向靜電力要大。為了研究邊緣效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，將考慮邊緣效應(yīng)和不考慮邊緣效應(yīng)下的αn1進(jìn)行對(duì)比分析，如圖2所示。

當(dāng)x0=16 μm時(shí)，從圖2中可以看出，隨著偏移距離的增大，αn1逐漸增大，邊緣效應(yīng)模型與無(wú)限大平行板模型橫向靜電力的差值越來(lái)越大，相對(duì)差值越來(lái)越小。根據(jù)之前的分析可以得到一個(gè)定性的結(jié)論：在梳齒結(jié)構(gòu)中邊緣效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)靜電力明顯增大，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的軟化效應(yīng)。這一結(jié)論是對(duì)以上分析結(jié)果作出的定性判斷，如要進(jìn)一步研究還需要對(duì)原始系統(tǒng)進(jìn)行深入分析。

圖2 靜電力系數(shù)圖

因?yàn)棣羘1形式十分復(fù)雜，導(dǎo)致式(16)無(wú)法直接解析，因此難以對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性作進(jìn)一步研究。本文采用最小二乘法對(duì)梳齒邊緣效應(yīng)下靜電力進(jìn)行擬合，設(shè)

(17)

由圖2可以知道，最小二乘的擬合結(jié)果與原曲線十分接近，并且偏移距離越小，最小二乘法的擬合結(jié)果越好。將式(17)代入式(16)得到

(18)

使用多尺度法[16]對(duì)式(18)進(jìn)行求解可得

(19)

其中σ=f/f0-1，f是激振頻率，f0=1/(2πT0)。An=A/x0，A代表諧振器振幅。此外，主共振峰值及脊骨線的表達(dá)式可分別表示

(20)

(21)

由式(20)可知系統(tǒng)的最大幅值與縱向靜電力系數(shù)α2相關(guān)。邊緣效應(yīng)模型比平行板模型的振幅大，邊緣效應(yīng)大小與梳齒形狀有關(guān)。雖然α1較α2小很多，但由于直流電壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于交流電壓，所以橫向電容產(chǎn)生靜電力往往大于縱向電容產(chǎn)生的靜電力。因此本文主要對(duì)邊緣效應(yīng)下梳齒橫向靜電力對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響進(jìn)行研究。

3 理論分析與數(shù)值仿真

3.1 邊緣效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)橫向穩(wěn)定性的影響

在微梳齒諧振器的工作過(guò)程中，交流電壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直流電壓，同時(shí)由于處于近似真空的工作環(huán)境中，諧振器有很高的質(zhì)量因子，因此在分析中可以將阻尼與交流電壓看作是對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)。在這里考慮無(wú)擾動(dòng)下的保守系統(tǒng)，可以得到無(wú)量綱動(dòng)力學(xué)方程所對(duì)應(yīng)的Hamilton 方程如下

(22)

圖3 保守系統(tǒng)勢(shì)能曲線圖

圖4 保守系統(tǒng)相空間流形

通過(guò)Hamilton 方程可以畫(huà)出系統(tǒng)的勢(shì)能圖。從式(22)可以得到，無(wú)量綱參數(shù)K和αn1共同確定了該保守系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)的具體形式。選取一組典型參數(shù)下的勢(shì)能圖(圖3)和同宿軌道圖(圖4)，根據(jù)圖3和圖4的結(jié)果可以得到，邊緣效應(yīng)模型與無(wú)限大平行板模型的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的位置與峰值不同，邊緣效應(yīng)模型與普通模型相比，所對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間的距離偏小。進(jìn)而得出結(jié)論：邊緣效應(yīng)下的勢(shì)壘更加接近勢(shì)阱，同時(shí)外部勢(shì)壘能量降低，同宿軌道包圍的穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小，這一變化一方面減小了諧振器的動(dòng)態(tài)可行域，另一方面也增加了諧振器發(fā)生吸合的概率。

3.2 邊緣效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響

在交流電壓與阻尼的微小擾動(dòng)作用下，系統(tǒng)的振動(dòng)以小幅運(yùn)動(dòng)為主。研究主共振情況下諧振器的動(dòng)力學(xué)行為對(duì)梳齒諧振器的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)與應(yīng)用有一定的參考價(jià)值。單獨(dú)研究無(wú)量綱參數(shù)下系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為，雖然能夠?qū)ο到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，但通過(guò)方程推導(dǎo)可知，無(wú)量綱參數(shù)之間并不是相互獨(dú)立的，而是通過(guò)有量綱物理參數(shù)相互關(guān)聯(lián)的，無(wú)量綱分析的最終結(jié)果須返回到物理參數(shù)模型中，這樣才能將理論分析與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，對(duì)實(shí)際生產(chǎn)和設(shè)計(jì)予以指導(dǎo)。為此，本節(jié)以某一具體的梳齒模型為例來(lái)研究物理參數(shù)下此類(lèi)諧振器的動(dòng)態(tài)特性。微梳齒的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)以及材料參數(shù)如表1 所示。微諧振器一般是利用振子的主共振原理工作的，因此，研究主共振情況下的線性與非線性振動(dòng)特性對(duì)于掌握此類(lèi)微諧振器的動(dòng)態(tài)行為具有一定的理論與實(shí)際意義。

由式(21)可以得到系統(tǒng)等效固有頻率

(23)

在已發(fā)表的梳齒諧振器的相關(guān)文獻(xiàn)中，Nguyen和Howe的實(shí)驗(yàn)結(jié)果得到了廣泛認(rèn)可，而Khirallah[17]則做了許多理論仿真研究工作。他們的實(shí)驗(yàn)和理論研究結(jié)果均一致表明，隨著直流偏置電壓逐漸增加，系統(tǒng)的諧振頻率將會(huì)逐漸降低。圖5反映了不同初始間距的情況下，系統(tǒng)固有頻率隨直流電壓的變化情況。MEMS梳齒諧振器的固有頻率的變化情況與Nguyen得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，隨著直流電壓的增大而逐漸減小。在不同初始間距下，隨著電壓的增加，系統(tǒng)固有頻率的衰減情況不同，間距越小固有頻率隨電壓衰減速度越快。邊緣效應(yīng)模型明顯比無(wú)限大平行板模型的衰減速度更快，可知邊緣效應(yīng)能夠引起系統(tǒng)諧振頻率的偏移。MEMS 設(shè)計(jì)人員需要權(quán)衡諧振頻率與電壓輸入之間的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)。

3.3 邊緣效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)軟硬特性的影響

表1 微梳齒結(jié)構(gòu)物理參數(shù)

圖5 系統(tǒng)固有頻率隨直流電壓變化圖

圖時(shí)諧振器的幅頻曲線

圖7 p1隨微梳齒初始間距變化圖

圖8 Vdc=30 V時(shí)諧振器的幅頻曲線

3.4 邊緣效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)線性過(guò)渡行為的影響

共振是諧振器最基本的工作特性，由但于制造工藝的原因，經(jīng)常存在制造誤差，導(dǎo)致系統(tǒng)的固有頻率發(fā)生偏移。由前文可以知道梳齒結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻帶特別窄，因而必須保證電壓的激振頻率在系統(tǒng)的共振頻帶之內(nèi)，才能更好地輸出能量。由于材料屬性本身很難控制，不同的材料，其密度、泊松比、特征尺度、彈性模量等都會(huì)不同，某一尺寸參數(shù)的變化也經(jīng)常引起其他參量的連鎖變化，導(dǎo)致很難對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析。因此要想對(duì)梳齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，應(yīng)盡可能的使控制參量的影響單一化，其中電壓和梳齒間距與其他參數(shù)相比具有易于控制，耦合性小的特點(diǎn)，所以通過(guò)改變梳齒初始間距，直流電壓和交流電壓，來(lái)控制系統(tǒng)的共振頻率更加容易實(shí)現(xiàn)。

由式(21)和(23)可得線性過(guò)渡情況下的最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓(單位：V)與等效固有頻率(單位：Hz)的表達(dá)式

(24)

(25)

根據(jù)式(24)，(25)，可以得到不同初始間距下的線性過(guò)渡的最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓與對(duì)應(yīng)等效固有頻率不同。系統(tǒng)的最優(yōu)頻率，由靜電力擬合項(xiàng)和無(wú)量綱剛度系數(shù)共同決定。梳齒結(jié)構(gòu)邊緣效應(yīng)模型的p1值比無(wú)限大平行板模型下的p1值要大得多，因此邊緣效應(yīng)下系統(tǒng)到達(dá)線性過(guò)渡臨界電壓值要比無(wú)限大平行板模型要小得多。圖9為不同初始間距下的最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓與對(duì)應(yīng)等效固有頻率的設(shè)計(jì)曲線，從圖中可以看出，隨著初始間距的增大，設(shè)計(jì)電壓逐漸增大，對(duì)應(yīng)的等效固有頻率逐漸減小。

圖9 最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓與對(duì)應(yīng)的等效固有頻率曲線

下面同樣采用一組參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，以圖9為例，假設(shè)微梳齒諧振器的設(shè)計(jì)工作頻率為16.9 kHz，可以得到軟硬特性過(guò)渡的參數(shù)情況。對(duì)該組參數(shù)進(jìn)行理論及與數(shù)值仿真分析，結(jié)果如圖10所示，從而驗(yàn)證了理論公式的正確性。

本節(jié)通過(guò)討論MEMS梳齒諧振器的軟硬特性過(guò)渡狀態(tài)，得到結(jié)論：系統(tǒng)最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓隨著初始間距的增大而逐漸增大；設(shè)計(jì)頻率隨著初始間距的增大而逐漸減??；與無(wú)限大平行板模型相比，邊緣效應(yīng)模型到達(dá)軟硬特性過(guò)渡的臨界電壓值偏小，對(duì)應(yīng)的等效固有頻率偏大。

圖10 線性過(guò)渡下的幅頻響應(yīng)曲線

4 結(jié) 論

本文借助理論分析和數(shù)值模擬方法討論了邊緣效應(yīng)下梳齒諧振器的靜動(dòng)力學(xué)特性，結(jié)論如下：

(1) 邊緣效應(yīng)下，梳齒微諧振器的靜電激勵(lì)力明顯增強(qiáng)，振幅明顯增大。邊緣效應(yīng)模型與無(wú)限大平行板模型相比，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)可行域偏小，穩(wěn)定性偏低，發(fā)生吸合失穩(wěn)的概率偏高。

(2) 系統(tǒng)的諧振頻率隨著梳齒初始間距的增大而逐漸增大，隨著電壓的增大而逐漸減小。邊緣效應(yīng)下梳齒諧振器的諧振頻率的偏小，共振頻帶發(fā)生偏移。

(3) 梳齒微諧振器的軟化行為是由靜電力引起的。邊緣效應(yīng)增強(qiáng)了MEMS梳齒諧振器的靜電驅(qū)動(dòng)力，導(dǎo)致幅頻特性曲線的軟化行為得到增強(qiáng)。

(4) 幅頻曲線的線性過(guò)渡現(xiàn)象可以增強(qiáng)MEMS系統(tǒng)的線性度，提高諧振器的工作性能。線性過(guò)渡下系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)電壓會(huì)隨著初始間距的增大而逐漸增大，對(duì)應(yīng)固有頻率隨著初始間距的增大而逐漸減??；與無(wú)限大平行板模型相比，邊緣效應(yīng)模型到達(dá)軟硬特性過(guò)渡的臨界電壓值偏小，對(duì)應(yīng)的等效固有頻率偏大。