基于剛彈合成模型的重型汽車平順性靈敏度分析

李 杰， 高 雄， 王文竹， 張振偉

(吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 長(zhǎng)春 130025)

重型汽車平順性不僅影響乘員的舒適程度、身體健康和貨物的完好性，也對(duì)重型汽車的其他性能[1-2]，如動(dòng)力性、經(jīng)濟(jì)性和操縱穩(wěn)定性等有著重要影響。因此，對(duì)重型汽車平順性進(jìn)行理論研究具有重要的意義。

重型汽車車體長(zhǎng)、軸距大、承載質(zhì)量大，車體的彈性彎曲振動(dòng)表現(xiàn)十分明顯[3-4]，成為影響重型汽車平順性的一個(gè)重要因素。因此，分析重型汽車平順性，有必要考慮車體彈性。

重型汽車平順性與很多因素有關(guān)，包括運(yùn)行參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)。對(duì)重型汽車平順性進(jìn)行靈敏度分析，是分析這些參數(shù)對(duì)重型汽車平順性指標(biāo)影響的敏感程度，找出影響重型汽車平順性的主要因素，可以為重型汽車平順性改進(jìn)和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供有效基礎(chǔ)。

針對(duì)重型汽車車體彈性問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者將車體視為兩端自由等截面梁的彈性彎曲振動(dòng)，再與車體剛體振動(dòng)合成建立剛彈合成模型。例如，Hac[5]建立了兩軸重型汽車7自由度剛彈合成模型，Elmadany[6]建立了四軸半掛汽車列車11自由度剛彈合成模型，Sunder等[7]建立了五軸半掛汽車列車12自由度剛彈合成模型，Spivey[8]建立了五軸半掛汽車列車15自由度剛彈合成模型，楊波等[9]建立了五軸重型越野汽車10自由度剛彈合成模型，徐中明等[10]建立了兩軸重型汽車15自由度剛彈合成模型，李杰等[11]建立了兩軸重型汽車4自由度剛彈合成模型。因此，基于剛彈合成模型開展重型汽車平順性研究，是國(guó)內(nèi)外的共同點(diǎn)，也說(shuō)明了應(yīng)用剛彈合成模型的理論價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用意義。

針對(duì)重型汽車平順性靈敏度分析問題，Walther等[12]建立了三軸半掛汽車列車7自由度剛體模型，研究了懸架參數(shù)、半掛車載質(zhì)量和車速等的影響。Elmamadary[13]建立了四軸半掛汽車列車9自由度剛體模型，分析了駕駛室懸置參數(shù)的影響；Quynh等[14]建立了三軸重型汽車13自由度剛體模型，分析了懸架、駕駛室懸架和座椅的剛度和阻尼以及輪胎剛度的影響；熊科等[15]建立了三軸重型汽車9自由度剛體模型，分析了各懸置系統(tǒng)參數(shù)的影響。

上述對(duì)重型汽車平順性進(jìn)行靈敏度分析，采用的是剛體模型，僅通過單參數(shù)變化分析其對(duì)平順性的影響，存在未考慮與靈敏度分析方法有效結(jié)合和綜合分析參數(shù)影響的問題。

Isight是Dassault Systemes旗下著名的靈敏度分析和多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)的先進(jìn)軟件，將試驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似設(shè)計(jì)、多目標(biāo)優(yōu)化和質(zhì)量設(shè)計(jì)融為一體，允許與用戶研發(fā)的程序進(jìn)行流程集成，實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的聯(lián)合仿真，從而更快、更好、更省地改進(jìn)產(chǎn)品性能、降低能源消耗和降低成本。目前，Isight已開始應(yīng)用于車輛、航空、航天、動(dòng)力、船舶、電子等多個(gè)領(lǐng)域[16-18]。

在前人研究工作基礎(chǔ)上，本文將以重型汽車國(guó)內(nèi)品牌占大多數(shù)的三軸重型汽車為研究對(duì)象，對(duì)兩端自由等截面梁剛彈合成理論進(jìn)行深入研究，建立重型汽車剛體合成模型及其平順性頻域分析方法并開發(fā)相應(yīng)程序，通過與Isight聯(lián)合仿真，實(shí)現(xiàn)靈敏度分析和綜合分析影響平順性的主要因素。

1 兩端自由等截面梁剛彈合成理論分析

1.1 兩端自由等截面梁彈性固有特性的解

等截面梁的自由振動(dòng)方程為[19]

(1)

式中：z為彈性振動(dòng)位移；x為距離梁左端點(diǎn)的坐標(biāo)；t為時(shí)間；EI為彎曲剛度；ρ為密度；A為截面面積。

對(duì)z進(jìn)行空間和時(shí)間變量分離，同時(shí)引入兩端自由等截面梁的兩端彎矩和剪力為零的邊界條件，推導(dǎo)出兩端自由等截面梁彈性固有特性的解為

φi(x)=cosβix+coshβix+ηi(sinβix+sinhβix)

(2)

(3)

(4)

βi≈(i+1/2)π/l，i=1,2,3，…

(5)

式中：φi(x)為i階彈性固有振型函數(shù)；ωi為i階彈性固有頻率；l為梁的長(zhǎng)度。

1.2 兩端自由等截面梁運(yùn)動(dòng)的剛彈合成

以往，研究一個(gè)部件時(shí)，不是假設(shè)其做剛體運(yùn)動(dòng)，就是假設(shè)其做彈性運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上，一個(gè)部件既存在剛體運(yùn)動(dòng)，也存在彈性運(yùn)動(dòng)。因此，剛彈合成，是指一個(gè)部件由剛體運(yùn)動(dòng)和彈性運(yùn)動(dòng)合成的運(yùn)動(dòng)。

圖1 兩端自由等截面梁的剛彈合成

以兩端自由等截面梁左端點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖1所示。假設(shè)其既做剛體運(yùn)動(dòng)，又做彈性彎曲振動(dòng)。在線性系統(tǒng)與小變形假設(shè)下，梁上任一點(diǎn)的位移可以表示為

(6)

式中：zre為梁上任一點(diǎn)的位移；zb為梁質(zhì)心的垂直剛體位移；φby為梁繞其質(zhì)心的縱向轉(zhuǎn)動(dòng)剛體角位移；zei為i階彈性振動(dòng)位移；n為彈性固有振型函數(shù)的階數(shù)。

1.3 運(yùn)動(dòng)合成后的動(dòng)能和勢(shì)能

運(yùn)動(dòng)合成后，兩端自由等截面梁的動(dòng)能Tre和勢(shì)能Vre表示為

(7)

(8)

將式(6)代入式(7)和式(8)推導(dǎo)，得

(9)

(10)

(12)

(13)

式中：mb為梁質(zhì)量；Iby為繞梁質(zhì)心的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mei為梁i階彈性模態(tài)質(zhì)量；kei為梁i階模態(tài)剛度。

2 重型汽車剛彈合成模型及其頻域分析

2.1 重型汽車剛彈合成模型及其頻域分析

假設(shè)汽車質(zhì)量左右對(duì)稱分布，左右車輪的路面激勵(lì)相同，將車體視為均質(zhì)的兩端自由等截面梁，建立重型汽車剛彈合成力學(xué)模型，如圖2所示。為簡(jiǎn)化模型建立，對(duì)三軸重型汽車的平衡懸架進(jìn)行了簡(jiǎn)化，將其單獨(dú)處理為中軸和后軸懸架。

圖2 重型汽車剛彈合成力學(xué)模型

圖2中，mp為人體座椅質(zhì)量，mc和Icy分別為駕駛室質(zhì)量和繞其質(zhì)心縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mb和Iby分別為車體質(zhì)量和繞其質(zhì)心縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，mfu、mmu和mru分別為前、中和后軸非簧載質(zhì)量；cp為座椅垂直阻尼，cfc和crc分別為駕駛室前和后懸置垂直阻尼，cfs、cms和crs分別為前、中和后軸懸架垂直阻尼，cft、cmt和crt分別為前、中和后輪胎垂直阻尼；kp為座椅垂直剛度，kfc和krc分別為駕駛室前和后懸置垂直剛度，kfs、kms和krs分別為前、中和后軸懸架垂直剛度，kft、kmt和krt分別為前、中和后輪胎垂直剛度；lp和ld分別為座椅和車體質(zhì)心至駕駛室質(zhì)心距離，le1和le2分別為駕駛室前和后懸置至駕駛室質(zhì)心距離，lf為車體前端至前軸距離，la和lb分別為前軸和中軸至車體質(zhì)心距離，lc為后軸至中軸距離。

如果彈性階次n取為2，則模型為10自由度，分別為人體座椅的垂直剛體位移zp，駕駛室質(zhì)心垂直剛體位移zc和繞其質(zhì)心俯仰剛體角位移φcy，車體質(zhì)心垂直剛體位移zb、繞其質(zhì)心俯仰剛體角位移φby、車體的前二階彈性位移ze1和ze2，前、中和后軸非簧載質(zhì)量垂直剛體位移zf、zm和zr，模型的輸入分別為前、中和后輪的路面激勵(lì)qf、qm和qr。

2.2 重型汽車剛彈合成數(shù)學(xué)模型

模型的動(dòng)能T、勢(shì)能V和耗散能D分別為

(14)

(15)

(16)

根據(jù)拉格朗日方程，由模型的動(dòng)能、勢(shì)能和耗散能，推導(dǎo)出重型汽車剛彈合成數(shù)學(xué)模型為

(17)

{z}={zb,φby,zfu,zmu,zru,zc,φcy,zp,ze1,ze2}T

(18)

{q}={qf,qm,qr}T

(19)

式中：[m]、[c]和[k]分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；[kf]和[cf]分別為與右端的路面激勵(lì)向量和路面激勵(lì)速度向量對(duì)應(yīng)的矩陣。

2.3 路面激勵(lì)向量對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)

假設(shè)汽車中后輪行駛在前輪的車轍上，且勻速行駛，有

{q}={qf,qm,qr}T=

{qf(t-τ1),qf(t-τ2),qf(t-τ3)}T

(20)

(21)

式中：u為車速；τi為各軸相對(duì)前軸的延遲時(shí)間。

對(duì)式(20)兩端進(jìn)行傅里葉變換，有

{Hq(f)}qf(f)

(22)

式中：{Hq(f)}為基于前輪的路面激勵(lì)頻率響應(yīng)函數(shù)。

2.4 模型對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)

對(duì)式(17)進(jìn)行傅里葉變換，可得模型對(duì)路面激勵(lì)向量的頻率響應(yīng)函數(shù)為

j2πf[c]+[k])-1([kf]+j2πf[cf])

(23)

由式(23)和式(22)，模型對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)為

[H(f)]{Hq(f)}=

{h1(f),h2(f),h3(f),h4(f),h5(f),h6(f),

h7(f),h8(f),h9(f),h10(f)}T

(24)

式中：hi為{z}中各個(gè)位移對(duì)前輪路面激勵(lì)的頻率響應(yīng)函數(shù)。

2.5 振動(dòng)響應(yīng)量對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)

(25)

(xb-xi)h2(f)+φ1(xi)h9(f)+

φ2(xi)h10(f)]

(26)

前、中和后軸懸架動(dòng)撓度f(wàn)1d、f2d和f3d對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為

φ1(xi)h9(f)+φ2(xi)h10(f)-hi+2(f)

(27)

各車輪相對(duì)動(dòng)載荷，即前、中和后輪的動(dòng)載F1d、F2d和F3d與對(duì)應(yīng)的前、中和后輪的靜載G1、G2和G3之比，對(duì)前輪的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為

(28)

式中：l=f,m,r分別對(duì)應(yīng)于i=1,2,3。

2.6 振動(dòng)響應(yīng)量的統(tǒng)計(jì)特性

振動(dòng)響應(yīng)量x的功率譜密度Gx(f)和均方根值σx分別為

(29)

(30)

式中：|H(f)|x-qf為振動(dòng)響應(yīng)量對(duì)于前輪的幅頻特性；Gqf(f)為前輪路面不平度的功率譜密度，由標(biāo)準(zhǔn)確定；fl為頻率下限；fu為頻率上限。

3 靈敏度分析

3.1 聯(lián)合仿真分析方案

基于重型汽車剛彈合成模型及其平順性頻域分析方法，開發(fā)了對(duì)應(yīng)的MATLAB平順性仿真程序。以Isight為靈敏度分析平臺(tái)，通過Isight的DOE(試驗(yàn)設(shè)計(jì))組件對(duì)MATLAB集成，實(shí)現(xiàn)對(duì)平順性仿真程序的調(diào)用和聯(lián)合仿真，完成針對(duì)平順性的靈敏度分析。

Isight的DOE組件用于實(shí)現(xiàn)靈敏度分析，主要包括參數(shù)試驗(yàn)、全因子設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)、拉丁超立方設(shè)計(jì)和最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)等方法。

最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)繼承了拉丁超立方設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，但又避免了試驗(yàn)點(diǎn)分布不均的缺點(diǎn)，選取的試驗(yàn)點(diǎn)通過優(yōu)化準(zhǔn)則(如總均值方差、極小極大距離、極大極小距離等)進(jìn)行優(yōu)化，使試驗(yàn)點(diǎn)充滿設(shè)計(jì)空間且分布更加均勻，具有更好的空間填充性和均衡性。因此，選用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)進(jìn)行靈敏度分析。

為進(jìn)行靈敏度分析，以路面等級(jí)Roadtype、車速ua、座椅的剛度kp和阻尼cp、駕駛室懸置的剛度kfc、krc和阻尼cfc、crc、各懸架剛度kfs、kms、krs和阻尼cfs、cms、crs、各車輪剛度kft、kmt、krt、車體剛度EI為設(shè)計(jì)變量，共18個(gè)，分別以參數(shù)順序標(biāo)注為1,2,…,17,18；以人體座椅垂直加速度、各懸架與車體連接點(diǎn)垂直加速度、各懸架動(dòng)撓度和各車輪相對(duì)動(dòng)載的均方根值為響應(yīng)，共11個(gè)。

保證分析精度的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n為

(31)

式中：N為設(shè)計(jì)變量數(shù)目。

設(shè)計(jì)變量xi變化Δxi后，響應(yīng)f的靈敏度百分?jǐn)?shù)計(jì)算公式為[20]

(32)

(33)

式中:Sri為靈敏度百分?jǐn)?shù)；Si為各個(gè)設(shè)計(jì)變量變化的靈敏度；n為設(shè)計(jì)變量總數(shù)。

3.2 結(jié)果和分析

為進(jìn)行靈敏度分析，將路面等級(jí)取為A，B和C級(jí)，在常用車速60 km/h的基礎(chǔ)上再取50 km/h和70 km/h，其它各個(gè)設(shè)計(jì)變量的變化下限和上限分別取為0.5倍原值和1.5倍原值。

由式(31)確定出試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)n為190，即經(jīng)過190次運(yùn)算后得到靈敏度分析結(jié)果，如圖3所示。

圖3為設(shè)計(jì)變量對(duì)平順性指標(biāo)影響大小的Pareto圖，其中正值代表正效應(yīng)，負(fù)值代表負(fù)效應(yīng)。正效應(yīng)是隨著設(shè)計(jì)變量的增大，指標(biāo)也增大。負(fù)效應(yīng)是隨著設(shè)計(jì)變量的增大，指標(biāo)減小。

由圖3(a)可以看出，對(duì)人體座椅垂直加速度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車速、中懸架剛度、后懸架剛度、駕駛室前懸置剛度、前懸架剛度和座椅阻尼，這些因素都為正效應(yīng)。

由圖3(b)可以看出，對(duì)車體質(zhì)心垂直加速度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、中懸架剛度、車速、中輪胎剛度、中懸架阻尼和車體剛度。其中懸架阻尼和車體剛度具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(c)可以看出，對(duì)車體與前懸架連接點(diǎn)垂直加速度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車速、車體剛度、中懸架剛度、后輪胎剛度和后懸架剛度。其中車體剛度具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(d)可以看出，對(duì)車體與中懸架連接點(diǎn)垂直加速度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、中懸架剛度、車體剛度、車速和后輪胎剛度。其中車體剛度具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(e)可以看出，對(duì)車體與后懸架連接點(diǎn)垂直加速度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車體剛度、后輪胎剛度、車速和后懸架剛度。其中車體剛度具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

(a) 人體座椅垂直加速度

(b) 車體質(zhì)心垂直加速度

(c) 車體與前懸架連接點(diǎn)垂直加速度

(d) 車體與中懸架連接點(diǎn)垂直加速度

(e) 車體與后懸架連接點(diǎn)垂直加速度

(f) 前懸架動(dòng)撓度

(g) 中懸架動(dòng)撓度

(h) 后懸架動(dòng)撓度

(i) 前車輪相對(duì)動(dòng)載

(j) 中車輪相對(duì)動(dòng)載

(k) 后車輪相對(duì)動(dòng)載

由圖3(f)可以看出，對(duì)前懸架動(dòng)撓度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、前懸架阻尼、前輪胎剛度、座椅阻尼、車速和中懸架剛度。其中前懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(g)可以看出，對(duì)中懸架動(dòng)撓度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車速、中懸架剛度、中輪胎剛度、后輪胎剛度和中懸架阻尼。其中懸架剛度、后輪胎剛度和中懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(h)可以看出，對(duì)后懸架動(dòng)撓度影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車速、后懸架剛度、前懸架剛度、后輪胎剛度和前懸架阻尼。其中后懸架剛度和前懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(i)可以看出，對(duì)前輪相對(duì)動(dòng)載影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、前懸架剛度、中懸架剛度、前懸架阻尼和前輪胎剛度。其中前懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(j)可以看出，對(duì)中輪相對(duì)動(dòng)載影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、車速、中輪胎剛度、中懸架阻尼和前懸架剛度。其中懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

由圖3(k)可以看出，對(duì)后輪相對(duì)動(dòng)載影響較大的前幾個(gè)設(shè)計(jì)變量依次為路面等級(jí)、后輪胎剛度、車速、中懸架剛度和后懸架阻尼。其中后懸架阻尼具有負(fù)效應(yīng)，其余為正效應(yīng)。

4 結(jié) 論

為了研究車體彈性和車輛參數(shù)對(duì)重型汽車平順性的影響，將車體視為兩端自由等截面梁，建立了重型汽車10自由度剛彈合成模型及其平順性頻域分析方法。基于與Isight聯(lián)合仿真方案，以路面等級(jí)、車速、座椅的剛度和阻尼、駕駛室懸置的剛度和阻尼、各懸架剛度和阻尼、各車輪剛度、車體剛度為設(shè)計(jì)變量，人體座椅和各懸架與車體連接點(diǎn)的垂直加速度、各懸架動(dòng)撓度和各車輪相對(duì)動(dòng)載荷的均方根值為響應(yīng)，采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了重型汽車平順性的靈敏度分析，找出了影響重型汽車平順性的主要因素。

靈敏度分析結(jié)果表明，對(duì)于所研究的三軸重型汽車，影響人體座椅垂直加速度的主要因素為路面等級(jí)、車速、懸架剛度、駕駛室前懸置剛度和座椅阻尼；影響各懸架與車體連接點(diǎn)加速度主要因素為路面等級(jí)、車體剛度、車速、懸架剛度和輪胎剛度；影響懸架動(dòng)撓度的主要因素為路面等級(jí)、車速、懸架剛度和阻尼、輪胎剛度；影響車輪相對(duì)動(dòng)載的主要因素為路面等級(jí)、輪胎剛度、懸架剛度和阻尼、車速。

綜上所述，影響三軸重型汽車平順性的主要因素為路面等級(jí)、車速、懸架剛度和阻尼、輪胎剛度和車體剛度等。因此，后續(xù)對(duì)三軸重型汽車平順性進(jìn)行改善、優(yōu)化和控制時(shí)，除了要考慮車輛的結(jié)構(gòu)參數(shù)外，還需要考慮車輛運(yùn)行的路面等級(jí)和車速，只有綜合考慮這兩方面的因素，才能使三軸重型汽車平順性得到提高。