三穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)隨機P分岔電路實驗研究

吳志強， 王文博， 張祥云

(1.天津大學 力學系，天津 300072；2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072)

多穩(wěn)態(tài)是指系統(tǒng)中同時存在多個吸引子的情況,屬于非線性系統(tǒng)典型動力學行為。兩個吸引子共存的情況為雙穩(wěn)態(tài),三個吸引子共存的情況稱之為三穩(wěn)態(tài)。 受適當隨機激勵時,系統(tǒng)響應會在不同吸引子之間來回跳躍,產(chǎn)生所謂的多模態(tài)響應,其響應的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)(Probability Density Function，PDF)曲線會呈現(xiàn)多峰形狀。當參數(shù)變化導致峰的數(shù)目發(fā)生變化時，就發(fā)生隨機P分岔現(xiàn)象。

平衡點與極限環(huán)共存的多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，尤其值得重視。一方面，其產(chǎn)生的動力學機制與退化Hopf分岔密切相關(guān)，對于廣義Hopf分岔理論的發(fā)展具有重要的理論意義；另一方面，這類多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象存在于不少具有重要應用背景的系統(tǒng)中，如穩(wěn)定極限環(huán)和平衡點共存的機翼顫振問題[1-3]、高速列車非線性穩(wěn)定性問題[4]，深海立管結(jié)構(gòu)渦激振動[5]，因而具有重要的潛在工程價值。

關(guān)于平衡點與極限環(huán)雙穩(wěn)態(tài)隨機行為的研究，已經(jīng)有不少成果。顧仁財?shù)萚6-8]研究了Duffing-Van der Pol振子在Lévy噪聲、色噪聲、諧和與隨機噪聲聯(lián)合激勵下系統(tǒng)響應的穩(wěn)態(tài)概率密度問題，通過分析系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)性質(zhì)的變化，討論了噪聲振子的隨機P分岔現(xiàn)象，并得到了系統(tǒng)雙峰穩(wěn)態(tài)概率密度的近似表達式。其結(jié)果表明系統(tǒng)參數(shù)和噪聲強度都能夠誘導此類系統(tǒng)隨機分岔的發(fā)生。而對于更復雜的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機動力學行為的研究，工作還比較少。針對加性白噪聲、乘性白噪聲單獨及聯(lián)合激勵下的情況，吳志強等[9-10]應用隨機平均法和奇異性理論，不僅得到了概率密度曲線上峰的數(shù)目變化的條件(通常所說的隨機P分岔條件)，還得到了不同峰之間相對高低變化的臨界參數(shù)條件，并據(jù)此詳細討論了參數(shù)對概率密度曲線拓撲結(jié)構(gòu)的影響。對于所得理論結(jié)果，文中均用Monte-Carlo方法進行了數(shù)值驗證。

有關(guān)多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨機P分岔的實驗工作，還極少且均依托非線性電路。Zakharova等[11]研究了雙穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)在白噪聲激勵下的相干共振和同步現(xiàn)象。Semenov等[12]研究了含時滯反饋對雙穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)相干共振的影響。有關(guān)響應概率密度的驗證均限于定性的范疇，而對更復雜的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的隨機實驗工作還未見報道。

受上述隨機動力學實驗工作啟發(fā)，本文依托非線性電路實驗研究加性隨機激勵下三穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)的動力學行為。節(jié)1介紹所用電路、數(shù)學模型及隨機分岔理論結(jié)果；節(jié)2確定性實驗驗證三穩(wěn)態(tài)行為；節(jié)3討論隨機激勵強度變化對系統(tǒng)行為的影響；節(jié)4討論實驗結(jié)果與理論結(jié)果的吻合程度；節(jié)5給出本文結(jié)論。

1 實驗電路、數(shù)學模型及理論結(jié)果

本文實驗所用非線性Van der Pol電路如圖1所示。主要元器件有線性電阻、線性電容、運算放大器(LF412CN)、模擬乘法器(AD633JN)，其中運算放大器用于構(gòu)成電路的加、減、積分運算，模擬乘法器用于構(gòu)成系統(tǒng)中的非線性項。去掉隨機模塊(R16、Vn)，即為吳志強等[13]提出的確定性三穩(wěn)態(tài)電路。

圖1 噪聲激勵下三穩(wěn)態(tài)VDP電路原理圖

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定理，可得電路系統(tǒng)方程

(1)

式中:V1為反向積分器A1輸出端電壓信號，Vn為均值為零的高斯白噪聲信號，其強度由單峰值Vpp表示，V5為外加穩(wěn)壓直流電源產(chǎn)生的電壓信號，單位均為伏特(V)；Ri(i=1,…,16)分別對應電路中電阻，單位為歐姆(Ω)；C1，C2分別對應電路中電容值，單位為法拉(F)，各元器件參數(shù)取值見表1。從式(1)中可看出，該系統(tǒng)的參數(shù)是由多個電路元件參數(shù)組合而成，故不排除存在其他種類的元件組合也可實驗該電路的三穩(wěn)態(tài)行為。本文在選擇元器件參數(shù)時主要考慮市場上常見的標稱值元件，其中R7，R9，R14，R15為可變電阻，調(diào)節(jié)可改變相應的非線性項系數(shù)的值。

特別說明，對于圖1中節(jié)點B，由基爾霍夫定律可知，電壓V2與V1間存在如下關(guān)系

(2)

與Van der Pol方程經(jīng)典形式比，式(1)引入了更高次非線性阻尼項，這是使式(1)能存在三個穩(wěn)態(tài)的根本原因和必要條件。

表1 電路中元器件參數(shù)

引入時間尺度變換τ=ωt，ω2=R3/(R1R2R5C1C2)2，可將式(1)轉(zhuǎn)化為如下標準形式

(3)

式中：變量x=V1，穩(wěn)定系數(shù)ε=V5，D為噪聲強度，ξ(τ)為單位高斯白噪聲，(ξ(τ)>=0，<ξ(τ)ξ(τ+t1)>=δ(t1)。根據(jù)表1中參數(shù)換算可知，穩(wěn)定系數(shù)及非線性項系數(shù)分別為ε=-0.18，α1=1.93，α2=3.19，α3=1.55，α4=0.22。

利用隨機平均法[14]可方便的推導出系統(tǒng)(3)隨機響應的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)，進而討論隨機P分岔問題。限于篇幅，此處只做概略陳述，詳細推導參文。

假定系統(tǒng)響應可表示為如下形式

(4)

其中，y(τ)為響應的幅值，φ=τ+θ(τ)表示相位。相應的Ito方程如下

(5)

式中:W1(τ)和W1(τ)是兩個相互獨立的單位Wiener過程;m1,m2為漂移系數(shù);b11,b22為擴散系數(shù)。根據(jù)其對應的Fokker-Planck-Kolmogorov方程，可求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應幅值的概率密度函數(shù)表達式為

(6)

式中：κ為歸一化常數(shù)。

圖2給出了不同強度下，PDF曲線的理論結(jié)果，可見峰的數(shù)目有從一到三的變化，即強度D的變化導致了隨機P分岔的產(chǎn)生。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

2 確定性三穩(wěn)態(tài)行為實驗結(jié)果

本文所用實驗裝置及電路實物照片見圖3，主要包括如下部分：噪聲信號發(fā)生器、穩(wěn)壓直流電壓源、示波器、實驗電路板、萬用電表。實驗中通過示波器顯示并采集運算放大器A1、A2輸出電壓V1、V2來獲得系統(tǒng)響應的狀態(tài)。電路中元器件產(chǎn)生的噪聲(如電阻熱噪聲)量級特別小[15](一般工作情況下，達到μV級別)，對系統(tǒng)響應的影響可忽略不計。

圖3 實際電路及實驗裝置圖

關(guān)閉隨機信號發(fā)生器的輸出，即Vn=0。此時電路對應的系統(tǒng)即為確定性電路，圖4給出了不同初始條件下，系統(tǒng)響應穩(wěn)定后的時間歷程截屏圖像。其中，上部波形顯示為V1的信號；下部波形顯示為V2的信號。

可見系統(tǒng)中存在三個吸引子：零平衡點，幅值分別約為1.2 V、2.2 V的兩個極限環(huán)，因此該電路系統(tǒng)可稱為三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。圖5給出了三個吸引子對應的相圖，相圖中標記*的軌線為數(shù)值計算結(jié)果，而實線表示實驗結(jié)果，二者吻合的較好。說明所設(shè)計的電路能較真實反映式(3)對應確定性系統(tǒng)描述的動力學行為，在此基礎(chǔ)上開展隨機動力學行為實驗是可行的。

3 噪聲強度對電路系統(tǒng)動力學行為的影響

(a) 初始條件V1=2.5 V，大極限環(huán)

(b) 初始條件V1=1 V，小極限環(huán)

(c) 初始條件V1=0.2 V，平衡點

圖5 確定性電路系統(tǒng)的吸引子

在噪聲強度較小時(圖6(a)，Vpp=0.1 V)，系統(tǒng)響應在零平衡點附近做隨機振動，波動幅度很小，相圖呈現(xiàn)較大的點狀，PDF曲線只有一個峰，未發(fā)生不同穩(wěn)態(tài)間的切換。

噪聲強度Vpp=0.5 V時(圖6(b))，系統(tǒng)響應短暫出現(xiàn)小極限環(huán)附近的振蕩，出現(xiàn)零平衡點和小極限環(huán)兩個狀態(tài)之間切換，但在平衡點附近出現(xiàn)振動的概率較大。同圖6(a)相比，相圖中原點擴大為圓域，且外側(cè)有環(huán)帶圍繞，前者點密集、后者點稀疏；PDF圖有兩個峰，分別對應零平衡點和小極限環(huán)，且對應小極限環(huán)的峰值較低。

噪聲強度Vpp=0.7 V時(圖6(c))，出現(xiàn)零平衡點、小極限環(huán)、大極限環(huán)三個穩(wěn)態(tài)之間切換。大極限環(huán)附近的振蕩維持時間較長，其它兩個穩(wěn)態(tài)附近的振蕩維持時間較短。與圖6(b)相比，相圖中新出現(xiàn)的對應大極限環(huán)的環(huán)帶；PDF出現(xiàn)三個峰，依峰值從高到低分別對應大極限環(huán)、零平衡點、小極限環(huán)。

噪聲強度Vpp=0.9 V時(圖6(d))，三穩(wěn)態(tài)間的切換仍存在，且次數(shù)明顯增加。相圖中小極限環(huán)與平衡點間的邊界不再清晰，PDF曲線上仍有三個峰，對應平衡點和小極限環(huán)的的峰較低且較接近。

隨著噪聲強度Vpp進一步增大(圖6(e)～(h))，響應在三穩(wěn)態(tài)間的切換次數(shù)明顯變化，實驗數(shù)據(jù)點在相圖中的分布密度逐漸均衡化，除大極限環(huán)輪廓大體保持外，已經(jīng)看不出平衡點和小極限環(huán)的特征，PDF曲線上峰的個數(shù)逐漸從三變成一。

表2詳細列出了實驗結(jié)果中PDF曲線上峰的個數(shù)變化以及峰出現(xiàn)的坐標位置。可知，當噪聲強度由0.1增加到0.5時，PDF曲線上峰的數(shù)目由1變?yōu)?，發(fā)生了隨機P分岔；當噪聲強度由0.5增加到0.7時，PDF曲線上峰的數(shù)目由2變?yōu)?，發(fā)生了隨機P分岔現(xiàn)；當噪聲強度在0.7至1.5之間變化時，PDF曲線上始終為3個峰，未發(fā)生隨機P分岔；當噪聲強度由1.5增加到1.9時，PDF曲線上峰的數(shù)目由3變?yōu)?，發(fā)生了隨機P分岔；當噪聲強度在1.9至3.5之間變化時，PDF曲線上保持2個峰，未發(fā)生隨機P分岔；當噪聲強度由3.5增加到4.3時，PDF曲線上峰的數(shù)目由2變?yōu)?，發(fā)生了隨機P分岔。

表2不同噪聲強度下PDF曲線上峰的分布

Tab.2DistributionofthepeaksofPDFcurvefordifferentnoiseintensity

Vpp/VPDF曲線上峰的坐標0.1(0.06,16.52)無無0.5(0.10,4.53)(1.15,0.07)無0.7(0.26,0.32)(1.22,0.08)(2.09,2.64)0.9(0.26,0.31)(1.02,0.20)(2.07,1.92)1.5(0.45,0.18)(1.24,0.29)(2.02,1.48)1.9無(1.21,0.37)(2.03,1.20)3.5無(1.31,0.39)(2.06,0.97)4.3無無(2.16,1.19)

當噪聲強度由0.1增加到1.5時，PDF曲線上零平衡點附近峰的高度呈減小趨勢，即系統(tǒng)響應在零平衡點附近振蕩的概率減小；當噪聲強度由0.5增加到3.5時，PDF曲線上小極限環(huán)附近的峰高度逐漸增加，即系統(tǒng)響應在小極限環(huán)附近振蕩的概率逐漸增加；當噪聲強度由0.7增加到4.3時，系統(tǒng)PDF曲線上大極限環(huán)附近的峰高度總體呈減小趨勢，即系統(tǒng)響應在大極限環(huán)附近振蕩的概率逐漸減小。

綜合以上分析可見，隨機激勵強度的變化，導致系統(tǒng)中發(fā)生了隨機P分岔。另外時間-幅值圖、相圖，都能很好的反應系統(tǒng)在不同穩(wěn)態(tài)間切換快慢和特點，可作為定性研究隨機P分岔的輔助手段。

4 實驗分析及討論

(a) Vpp=0.1

(b) Vpp=0.5

(c) Vpp=0.7

(d) Vpp=0.9

(e) Vpp=1.5

(f) Vpp=1.9

(g) Vpp=3.5

(h) Vpp=4.3

概率密度分布是描述系統(tǒng)隨機行為的重要特征量，通過Monte-Carlo計算求解是主要的方法，但往往需要數(shù)目巨大的樣本作為基礎(chǔ)。按照此思路，實驗獲取代價巨大。上述實驗中，基于遍歷系統(tǒng)假設(shè)，以穩(wěn)態(tài)響應長時間數(shù)據(jù)統(tǒng)計作為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度近似。這種變通做法是否可行，下面通過與隨機平均法得到的不同噪聲強度下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應幅值y的概率密度曲線進行比較分析。由于信號發(fā)生器廠家未提供單峰值Vpp與理論分析中常用強度D之間定量關(guān)系，此處暫先進行定性討論。

以下幾種情況，理論結(jié)果與實驗結(jié)果定性一致。圖2(a)與圖6(a)相似，只存在一個峰，對應平衡點。圖2(c)與圖6(c)、(d)相似，有三個峰，依峰高度從大到小為序，分別對應大極限環(huán)，平衡點，小極限環(huán)。圖2(d)與圖6(e)相似，仍有三峰，依序?qū)髽O限環(huán)，小極限環(huán)，平衡點。圖2(e)與圖6(f)、(g)相似，有雙峰，依序?qū)髽O限環(huán)，小極限環(huán)。圖2(f)與圖6(h)相似，僅有一個峰，對應大極限環(huán)。

需要特別強調(diào)，對于在噪聲強度不很小時，理論結(jié)果圖2(b)與實驗結(jié)果圖6(b)不盡相同。均有兩個峰，且響應出現(xiàn)在平衡點處的概率較高，是二者相似之處；但物理本質(zhì)明顯不同，理論結(jié)果表明存在平衡點與大極限環(huán)間的切換；而實驗結(jié)果表明存在平衡點和小極限環(huán)間的切換。造成這種不一致的原因，還有待更多的實驗和更深入的分析。

上述分析表明，基于單樣本時間歷程估計穩(wěn)態(tài)概率密度有一定可行性，但在小強度噪聲激勵情況下(如圖6(b))如何估計還有待研究。

總之，實驗和理論結(jié)果都表明，隨著噪聲強度由低到高的不斷增加，系統(tǒng)響應穩(wěn)態(tài)幅值的PDF曲線的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生變化：單峰(平衡點處)→雙峰(平衡點、大極限環(huán)處)→三峰(平衡點，大、小極限環(huán)處)→雙峰(大、小極限環(huán)處)→單峰(大極限環(huán)處)，即噪聲強度的變化導致系統(tǒng)發(fā)生隨機P分岔。

5 結(jié) 論

為驗證加性高斯白噪聲激勵下三穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)隨機P分岔理論結(jié)果，本文設(shè)計了含有九次非線性項的電路隨機動力學實驗系統(tǒng)，實驗表明：

(1) 系統(tǒng)中存在隨機P分岔現(xiàn)象，噪聲強度變化導致系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應概率密度曲線上峰的數(shù)目發(fā)生變化。

(2) 噪聲能夠誘導系統(tǒng)響應在不同穩(wěn)態(tài)之間發(fā)生相互切換，且切換頻率與噪聲強度密切相關(guān)。

(3) 小強度隨機激勵下，隨機行為是在穩(wěn)定吸引子附近的振蕩，隨著強度增加，這種特征逐漸消失，隨機響應在相圖上分布均衡化。