基于離線學習輸入整形的柔性關節機械臂振動控制研究

賈鵬霄， 周 越， 李鑫偉

(北京林業大學 理學院，北京 100083)

隨著人們對機器人輕型化、高負載自重比的要求越來越高，諧波減速器在機器人的設計中得到了廣泛應用，而諧波減速器必然給機器人帶來關節柔性，成為機器人動態性能提高的制約因素。對于柔性關節機械臂的振動控制，目前已經有大量的研究成果[1-3]，主要可分為前饋和反饋兩大類；反饋控制由于對系統參數變化和外界干擾的魯棒性更高，所以控制效果一般優于前饋控制，但是為了實現有效的控制，反饋控制需要增加更多的傳感器和計算工作量。因此，實現起來比前饋控制更復雜且成本更高；而前饋控制由于只需在原有控制系統中引入前饋單元，因此在實際應用中更容易實現。

輸入整形技術(IST)是一種前饋控制方法，它最初由Singer等[4]提出，由于其只需依據系統特征對參考輸入進行一定的處理，無需對原有控制系統做任何改變，所以廣泛應用于機器人、起重機、航天器的振動控制中[5-8]。針對柔性關節機械臂殘余振動的控制問題，Ahmad等[9]提出了一種輸入整形結合模糊控制器的控制策略，通過仿真驗證了控制方案的有效性；謝輝等[10]提出了一種將傳統輸入整形和時變輸入整形相結合的控制方法，將該方法應用于四自由度的柔性關節機械臂，通過仿真驗證了控制方法的有效性；戎新萍等[11]利用模糊補償控制方法對二自由度柔性關節機械臂進行了解耦，在解耦的基礎上采用ZV整形器對各個關節進行了振動控制。Dong等[12]提出了一種結合輸入整形和阻抗控制的復合控制策略，實現了對柔性關節機械臂的振動控制。雖然上述方法均有效抑制了殘余振動，但需要注意的是，在輸入整形器的設計過程中都需要依賴系統精確的數學模型，而在實際中這經常是難以實現的。因此針對這一問題，本文首先從最典型的輸入整形器——兩脈沖輸入整形器的基本理論出發，分析了整形器參數與殘余振動幅值和相位之間的關系，進而提出了一種利用離線學習的方式獲取兩脈沖輸入整形器最優參數的方法，該方法只需測量振動信號，無需系統精確的數學模型，最后利用柔性關節機械臂的實驗平臺，對本文所提方法的有效性進行了驗證，實驗結果表明利用該方法設計的輸入整形器可以有效的抑制柔性關節機械臂的殘余振動，并且在工程應用上具有明顯的優越性和可行性。

1 兩脈沖輸入整形器基本理論與特性

1.1 兩脈沖輸入整形器

兩脈沖輸入整形器是振動控制中應用最廣泛的一種輸入整形方法，其基本原理為將兩個脈沖信號與參考輸入卷積形成的整形命令作為控制信號，針對二階線性系統，經過輸入整形后的控制信號可用下式表示

u(s)=[A1e-T1s+A2e-T2s]r(s)

(1)

式中：r(s)為系統的參考軌跡，A1e-T1s+A2e-T2s即為兩脈沖輸入整形器，T和A分別表示脈沖的作用時間和幅值。依據Singer的研究，如果A1和T2分別取如下值

(2)

(3)

式中：ε為系統阻尼系數，ω為系統的自然頻率，如圖1所示。A1和A2位置響應相互疊加，系統的殘余振動可以在T2之后完全消除。T2o和A1o稱為兩脈沖輸入整形器的最優參數。

圖1 兩脈沖輸入整形器抑制振動

1.2 整形器參數與殘余振動幅值及相位之間關系

考慮A1≠A1o或者T2≠T2o時，系統的殘余振動，為了便于分析，定義二階線性系統兩脈沖各自響應間的相位差為振動相位差，用φ表示，殘余振動的幅值用M表示。分別考慮下面兩種情況：

(1) 當T2T2o，且A1=A1o時，兩脈沖各自響應的相位差φ≠π，如圖2所示。系統的殘余振動在T2之后仍然存在。

圖2 T2改變時的振動響應

(2) 當A1A1o，且T2=T2o，兩個脈沖響應相位差φ=π，但幅值不能相互抵消，如圖3所示，在T2之后振動仍然存在。

圖3 A1改變時的振動響應

通過上述分析可知，對于二階線性系統，可以從振動的相位差φ判斷出參數T2選擇是否最優；在T2=T2o時，通過殘余振動的幅值M可以判斷出參數A1是否最優；A1或者T2非最優時的共同表現就是在T2之后，系統仍然存在殘余振動。因此，可以設計如下算法求解兩脈沖輸入整形器的最優參數：

步驟1 估計初始參數A1和T2；

步驟2 按一定的步長改變T2，直至相位差φ=π；

步驟3T2保持不變，按一定的步長改變A1，直到M為其最小值。

此時得到的A1和T2即為兩脈沖輸入整形器的最優參數。

1.3 整形器參數與振動幅值之間的關系

有關文獻已證明，兩脈沖輸入整形器可以有效抑制非線性或者時變系統的殘余振動，但是對于這類系統，由于殘余振動的相位差φ不可測量，因此有必要分別研究這兩種情況：①T2不變時，A1與振動幅值M的聯系；②A1不變時，T2與振動幅值M的聯系。為了便于描述殘余振動幅值，可以利用文獻[1]中的定義

(4)

式中：v(t)可以是描述殘余振動的任何一種信號，如位置、速度、加速度；t0≤t≤tf是系統存在明顯殘余振動的時間。A1、T2改變時，振動幅值M變化的曲線，如圖4所示。

圖4 M隨A1或者T2的變化

由圖4可知，如果A1和T2中的一個保持不變，必然可以找到使M有極小值的另一個參數。因此，通過測量振動幅值M，利用離線學習的方法即可找到使M為極小值的最優參數。

2 基于離線學習的兩脈沖輸入整形器

由于柔性關節機械臂的殘余振動是時變的，基于前面的分析，本文提出一種不依賴精確數學模型，通過離線學習的方式，獲得兩脈沖輸入整形器最優參數的方法，該方法只需測量振動幅值。

2.1 學習方式

步驟1 保持A1不變，不斷更新T2，直至M達到最小值；

步驟2 保持T2不變，不斷更新A1，直至M達到最小值；

步驟3 重復步驟1和步驟2，直至M的變化滿足中止條件。

2.2 參數更新律

參數更新律是針對步驟1中T2和步驟2中A1的更新律。當某參數更新時，另外一參數固定不變。

為方便描述，定義x為待更新參數(A1或者T2)，f(x)表示振動幅值的測量值。參數更新的目的是找到最優參數xo，使得振動幅值f(x)最小。

我們使用非線性規劃中的一維搜索方法設計參數更新律：外推內插法和黃金分割法。前者用來確定包含極小點的大致初始搜索區間，后者通過區間收縮來獲取滿足中止條件的最優參數。

2.2.1 外推內插法

外推內插法分為外推和內插兩個階段，首先給定初始值x0和初始步長h0。外推階段,如圖5所示。

圖5 外推階段

內插階段： 在xn-1和xn之間再插入一點。xn+1=(xn-1+xn)/2其中，s指搜索方向；f(xn)指振動幅值的測量值。

此時，可以得到等間距的四個點：(xn-2,xn-1,xn+1,xn)。令xb為四點中函數值最小的點，xb的左右鄰點分別為xa和xc，至此，我們得到了區間[xa,xb,xc]且滿足條件：xaf(xb)且f(xc)>f(xb)。

通過外推內插法獲知初始的單谷搜索區間[xa,xc]之后，采用黃金分割法來尋找使振動幅值最小的整形器參數。

2.2.2 黃金分割法

至此，可得到指定區間精度時的區間[xa,xc]，取xn=(xa+xc)/2為此次參數更新的最優值。

2.3 中止條件

若重復多次步驟1和步驟2后測得的振動幅值M滿足下面不等式時

圖6 獲取最優參數

(5)

式中：M1,M2分別為最末和倒數第二次的振動幅值；δ是預先定義的誤差邊界。可以認為M是振動幅值的最小值，即找到了兩脈沖輸入整形器的最優參數。

2.4 初始值選取

在第一次迭代學習中，需要給定x(A1或T2)的初值。對于x初值的選取，可以通過式(2)及式(3)來估計柔性關節機械臂兩脈沖輸入整形器的大致參數。

3 實驗研究

3.1 實驗系統描述

為了驗證本文所提方法的有效性，設計了如圖7所示的帶有柔性關節(諧波齒輪)的單關節機械臂實驗平臺，該實驗平臺主要由機械臂本體和控制器組成，本體由連桿、諧波減速器、聯軸器、伺服電機和基座組成。其中減速器選用減速比為1∶80的諧波齒輪減速器(型號為XB1-50-80)；伺服電機選用安川交流伺服電機，型號為SGMPH01A1A6C。控制器由自行開發的DSP運動控制器和伺服驅動器組成，機械臂連桿末端安裝加速度傳感器(型號為3DM-GX1)用于檢測振動信號。伺服電機通過諧波減速器驅動連桿，完成水平面旋轉運動。加速度傳感器安裝方向，如圖7所示。X軸為連桿旋轉運動的切線方向。由于連桿在水平面內作旋轉運動，因此，測量X軸方向的加速度即可獲知殘余振動的幅值。采用本文所提方法設計輸入整形器抑制柔性關節機械臂的結構框圖，如圖8所示。通過離線學習的方法調整兩脈沖輸入整形器參數，直到殘余振動幅值達到最小，此時的A1，T2即為兩脈沖輸入整形器的最優參數。

3.2 振動控制實驗結果

圖7 實驗裝置圖片

圖8 柔性關節機械臂振動抑制原理圖

DSP運動控制器的伺服周期設為0.5 ms，參考軌跡采用梯形加速曲線，加速時間0.01 s，恒速時間0.8 s，減速時間0.01 s，加速段加速度為20 000 rad/s2,減速段加速度為-20 000 rad/s2。機械臂運行時間為0.82 s，0.82 s之后的連桿運動視為殘余振動，殘余振動的起始時刻為0.82 s。通過實驗發現，殘余振動較為明顯的截止時刻為2 s。因此，t0=0.82 s，tf=2 s。A1，T2取初始值時，振動幅值M較大，經過5次迭代，M達到了它的極小值，此時T2o=0.05 s，A1o=0.49 s，如圖9所示。

圖9 M值隨迭代次數增加而減小

由于殘余振動為0.82 s之后的連桿運動，只分析0.82 s之后的加速度變化，如圖10所示。由圖10可知，當不采用輸入整形時，機械臂有明顯的殘余振動，證明了諧波減速器存在一定的柔性，由于關節柔性導致了機械臂的殘余振動；當采用最優參數的輸入整形器時，殘余振動幅值大幅減小，表明提出的離線學習算法可以找到兩脈沖輸入整形器的最優參數，采用最優參數的兩脈沖輸入整形器可以有效的抑制由于關節柔性導致的殘余振動；并且輸入整形器的引入并不改變柔性關節機械臂原有的控制結構，在實際工程應用中，更加容易實現，相比其他的控制方式具有明顯的優越性。

圖10 輸入整形的振動控制結果

4 結 論

本文針對傳統的輸入整形器在控制柔性關節機械臂時存在的問題，從兩脈沖輸入整形器的基本理論出發，在分析整形器參數與殘余振動幅值和相位之間關系的基礎上，提出了一種利用離線學習的方式獲取兩脈沖輸入整形器最優參數的方法，該方法只需測量振動信號，無需系統精確的數學模型。為了驗證本文所提方法的有效性，建立了柔性關節機械臂的實驗平臺，進行了兩脈沖輸入整形器對柔性關節機械臂的振動控制實驗。實驗結果表明基于本文所提方法設計的輸入整形器可以有效的抑制柔性關節機械臂的殘余振動，并且在工程應用上具有明顯的優越性和可行性。