循環荷載下巖鹽Poyhting-Thomson模型研究

許宏發, 齊亮亮, 劉 斌, 柏 準

(陸軍工程大學 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007)

由于鹽巖具有良好的低滲透性、密閉性、損傷自恢復性和塑性變形能力大等特性，使得這種材料已經成為一種廣泛尋找的地下儲氣庫介質。儲氣庫在運營過程中要經歷反復加載、卸載的過程，使其在受力分析上變得更為復雜。所以在循環荷載下鹽巖的流變本構模型研究，對儲氣庫的力學分析和穩定性運營管理具有現實意義。

國內外學者對鹽巖在循環荷載作用下的力學特性進行了研究，取得了一些列成果。Fuenkajorn等[1]進行了單軸反復加卸載作用下鹽巖疲勞試驗，分析了疲勞強度、彈模與循環次數之間的關系，并給出了破壞準則。郭印同等[2]進行了鹽巖單軸循環荷載下的疲勞試驗，分析了鹽巖的疲勞強度、變形及損傷規律；對單軸疲勞試驗應力-應變曲線與單軸壓縮應力-應變曲線進行了比較，發現了疲勞強度與全應力-應變曲線間的一致性；構建了疲勞損傷方程。楊春和等[3]進行了鹽巖單軸循環加、卸載試驗，研究鹽巖的變形特性，得到了簡單應力狀態下加、卸載本構關系，并對各級塑性滯回能進行了分析了，給出了滯回能經驗方程。高紅波等[4-5]對鹽巖和含夾層鹽巖進行了應力水平不斷提高的單軸反復加卸載試驗，發現了循環載荷作用下強度降低幅度與循環次數及累積滯回環面積相關。Liu等[6]進行了7個應力水平的單軸循環加載試驗，發現在低應力水平下損傷很小，隨著應力水平的增加，損傷演化越來越明顯，給出了損傷演化方程。任松等[7]通過實驗研究了不同溫度下的鹽巖循環加載疲勞特性進行了研究，發現疲勞壽命隨著溫度的升高而增加、勻速疲勞損傷階段所占的比例增加，分析了疲勞損傷演化規律。同時該作者還研究了循環疲勞荷載下的聲發射特性[8]。許宏發等[9]對鹽巖進行了不同圍壓、不同應力水平和不同頻率條件下的循環荷載試驗，通過無量綱處理，構建了應力比強度、應力比振幅、上限應力水平、荷載頻率、循環次數等對體積應變影響的定量函數關系。

從以上研究來看，對巖鹽循環荷載下的疲勞特性的研究主要集中在試驗研究和損傷演化，對循環疲勞的流變本構方程的理論研究較少。在其他巖石的循環荷載下的疲勞特性，雖有大量的研究成果[10～18]，但研究思路主要集中于疲勞強度、疲勞壽命、應變演化方程等方面。黃明等[19]基于Kelvin-Voigt模型建立了廣義Kelvin-Voigt體的正弦加載蠕變模型，但該循環加載的最小應力為0，不適用于一般循環疲勞加載的情況。

本文利用Poyhting-Thomson流變模型，根據實際循環加載過程，推導出疲勞應變隨時間發展的本構方程。根據循環疲勞過程中平均應變的損傷特性，對該理論本構方程進行了修正。通過巖鹽循環加載試驗和數學驗證，證明該修正模型能夠代替試驗，為儲氣庫工程的數值模擬提供了新的巖鹽力學模型。

1 循環荷載下Poyhting-Thomson流變模型

1.1 Poyhting-Thomson模型

分析觀察結構在荷載從零增加至破壞值時的變化過程一樣，對于地下鹽巖球形模型的變形先是彈性應變，隨著應力應變的不斷增加會逐漸向彈塑性變形過度，最后達到塑性極限變形，這一過程可采用Poyhting-Thomson體來描述，模型如圖1所示。其模型的流變本構方程為

(1)

式中：σ為應力；ε為應變；E1，E2圖中為彈性元件的彈性模量；η為黏壺元件的黏滯系數。

圖1 Poyhting-Thomson體

若應力為恒定，σ=σ0，則該模型的蠕變方程為

(2)

1.2 循環加載動應力方程

巖鹽試件循環加載主要由兩部分組成，為初始階段均勻加載和周期循環加載，如圖2所示。

圖2 加載應力曲線

為了模擬巖鹽試件的加載過程，采用分段函數來描述其加載過程

σ=v0t(0

(3)

σ=σm+σasin[θ(t-t0)](t≥t0)

(4)

式中：t為時間；v0為初始加載速度；σm為循環加載平均應力；σa為循環加載應力幅值；θ為圓頻率。其中各參數可采用式(5)進行計算。

(5)

式中:σmax為循環加載最大應力；σmin為循環加載最小大應力；T為周期；f為頻率。

1.3 加載全過程流變本構方程

1.3.1 初始勻速加載部分流變本構方程

將式(3)代入式(1)，得：

(6)

解式(6)微分方程，得到初始加載階段的流變本構方程為

(7)

1.3.2 循環加載部分疲勞流變本構方程

將式(4)代入式(1)，得

(8)

解此微分程，得到

(9)

式中，C0為常數

(10)

試驗加載過程中，加載兩個階段過度觸變形相等，所以在t=t0時刻處，式(7)與式(9)相等，得到

(11)

式(5)中相關參數代入式(11)，求解得到

(12)

將式(12)代入式(9)，并化簡得到循環加載階段的流變本構方程為

(13)

考慮到在循環過程中，巖石材料產生損傷，使得循環應變等速增加。很多學者在構建蠕變本構方程時，常用冪函數項來模擬[20]。因此本文采取同樣的方法，構建一個考慮循環疲勞應變等速增加(損傷)情況下的模型。

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(14)

式中:α為與材料特性、應力水平、加載頻率等有關的常數，ρ為考慮曲線形狀的指數，可由試驗數據擬合得到。

1.3.3 循環加載疲勞應變上限、下限線和中線方程

α(t-t0)ρ

(15)

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(16)

α(t-t0)ρ(t≥t0)

(17)

由式(15)～(16)可以看到，軸向循環應變的幅值為A。當A為已知時，由式(10)可得

(18)

其中

Ea=σa/A

(19)

Ea為循環加載曲線的斜率，或稱振動模量；k1和k2為模量比

(20)

由式(18)得到

(21)

2 試驗驗證

筆者對某鹽礦鉆井套鉆獲取的鹽巖試件進行了有圍壓軸向循環加載試驗。鹽巖試件主要成分為NaCl，含有一定的Na2SO4、CaSO4以及少量的角礫碎屑及泥巖雜質，顏色呈灰到黑色變化。試樣高徑比約為2∶1，尺寸約為φ50 mm×100 mm，誤差在±3 mm。試驗采用TAW-2000型微機伺服巖石三軸試驗機進行鹽巖三軸循環加載，載荷控制。加載過程中，先加圍壓，再在軸向以勻速加載到設定的應力，后以正弦函數的形式進行軸向循環加載疲勞試驗。

本文用小、中、高應力狀態3個試件的試驗結果對本構模型式(7)和(14)進行驗證。具體試驗參數見表1。表中σ1為軸向應力，σ3為圍壓。這里(為有效應力，σmax有效應力的最大值，σmin有效應力的最小值，σm有效應力的平均值，σa有效應力的幅值，ε為軸向應變。圖3為試件Y1～Y3的原始應力-應變曲線。

表1 試驗方案

(a) Y1試件

(b) Y2試件

(c) Y3試件

由圖4可繪出各試件的軸向應變-時間曲線。由圖可以看出，循環應力水平越高，應變值越大；應變分為初始加載應變變形段和循環加載應變循環變形段；在循環加載段，應變隨時間有規律變化，周期與循環加載的周期基本一致；平均應變隨時間延長而增加，應力水平越大，增加值也越大，該增加值與試件在循環加載過程中的損傷密切相關。

圖4 軸向應變-時間試驗曲線

由圖4可得到Y1、Y2和Y3試件的循環應變平均幅度A分別為：0.000 09、0.000 25和0.000 2。由式(19)計算得到三個試件的振動模量Ea分別為：64 644.44、26 904.00和110 545.00 MPa。用式(15)～(17)分別對Y1、Y2和Y3試件的循環加載段應變的上限線、下限線和中間線進行擬合分析。通過試算發現，參數k2一般在1～10范圍變化，且對結果不敏感。但k2參數初始段曲線是較敏感的。本文利用循環段擬合的參數來模擬初始階段曲線，并與初始段試驗曲線比較來確定k2的值。最終的擬合結果如圖5和表2所示。

圖5 循環應變上、下限線和中線擬合曲線

將表2中參數，代入式(20)求k3、E1和E2，再用式(18)求η。然后將這些參數代入式(7)模擬，即可模擬試件Y1、Y2和Y3在勻速加載段的應變曲線，模擬結果見圖6所示。

表2 循環加載段應變曲線擬合結果

圖6 勻速加載段應變擬合曲線

由圖5和表2可看出，式(15)～(17)能較好的描述循環應變的上限、下限和中間線，且精度非常高。從圖6可以看出，本構模型(7)描述勻速加載段的應變變化是合理的，精度也很高。

對表2擬合參數進一步分析發現，參數k1在4%～ 10%變化。在小應力狀態，k2小些，隨著應力狀態增加，k2增大，并趨于一致。參數ρ也有類似的規律。參數α是一個小值，一般介于(4～9)×10-4之間。

將上、下、中線擬合得到的均值參數，代入式(7)和(14)，即可模擬循環加載條件下不同階段應變的變化規律，如圖7所示。

圖7 模型模擬曲線與試驗曲線的比較

由圖7可以看出，式(7)和(14)模擬得到的巖石循環加載應變曲線與試驗曲線比較接近。說明本文得到的描述循環荷載條件下的巖石應變的本構模型是合適的，可以在今后的數值模擬中開發應用。

3 數學驗證

3.1 加載過程簡化后的流變模型

一般在研究循環加載流變規律時，并沒有將本次試驗第一階段的勻速加載部分考慮在內。理論上在試驗開始瞬時，應力值即達到循環試驗均值，循環加載起點時間為零點。加載曲線如圖8所示。

圖8 理論加載曲線

參考式(9)計算過程，此時循環加載流變方程應為

(22)

將C0代入式(22)得

A[sin(θt+B)-sinBe-λt]

(23)

可以看出，式(23)的前兩項即為Poyhting-Thomson模型在恒載σm作用下的蠕變方程。

3.2 角速度θ對長期應變的影響

當θ→0時，此時加載頻率f→0，周期T→∞，在數學上可近似看做恒載作用，此時有

(24)

將A、B極限值代入式(23)中，并取t→∞得到模型的長期應變值

(25)

表明在加載角速度很小、周期很大時，其長期應變值并不是一個定值，而是隨著應力的變化而不斷周期變化，且任一相等應力在時間點上的長期應變值與該應力作為恒載作用下的長期應變值是相等的，例如循環加載的上下限長期應變值分別與σmax、σmin作為恒載作用下的長期應變值相等。

3.3 加載振幅σa對應變的影響

當循環加載振幅σa=0時，即σmax=σmin，亦可近似趨近于恒載作用，此時

(26)

代入式(23)得到與式(2)一致的結果，即

(27)

結果表明，在A→0的情況下，式(23)與恒應力σm作用下的蠕變方程式(2)完全一致。所以當循環加載應力振幅趨近于零時，循環加載模型與恒載模型具有完全相同的蠕變計算公式和完全相同的力學特性。

以上分析從數學上驗證了模型的正確性，且表明本文建立的模型具有確切的物理意義。

4 結 論

本文通過理論模型推導、修正和試驗、數學驗證，得到如下結論：

(1) 根據巖樣真實循環加載過程，推導出初始勻速加載段和正弦循環加載疲勞段的應變隨時間變化的本構方程。

(2) 對鹽巖進行了循環加載試驗，得到了兩個試樣的軸向應變隨時間的變化曲線。發現應力水平越高，應變值越大；一定時間后，疲勞應變隨時間有規律的變化，應變變化周期與循環加載的周期一致；由于損傷的原因，平均應變值隨時間延長而增加，應力水平越大，增加值也越大。

(3) 由于循環加載過程中材料損傷的存在，需要對理論模型進行修正。用時間的冪函數來表達因損傷引起的應變增量，得到了循環加載段疲勞應變隨時間變化的修正本構模型。

(4) 用循環段的擬合參數模擬勻速加載階段的試驗曲線，兩者基本一致，精度也較高。

(5) 用修正的本構模型對循環加載階段的疲勞應變曲線的上限線、下限線和中間線進行擬合分析，得到了相似的擬合參數。取參數的平均值，用修正模型對試驗進行模擬，模擬曲線與試驗曲線比較接近，基本可以代替試驗。

(6) 通過試驗和數學驗證，Poyhting-Thomson模型來描述循環載荷作用下鹽巖的疲勞應變發展是可行的，能較好的刻畫應變隨時間發展的規律。