基于三維形貌的錯動節(jié)理非線性滲流特性研究

侯 迪，李莎莎，向國興，熊 杰，楊 潔

(1.貴州省水利水電勘測設計研究院， 貴陽 550002；2. 貴州省喀斯特地區(qū)水資源開發(fā)利用工程技術研究中心，貴陽 550002；3. 武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室，武漢 430072 )

0 引 言

在地質(zhì)工程的建設中普遍存在巖石節(jié)理的滲透特性問題，如巖體洞室開挖、壩基處理等(Chen et al. 2008[1]， Mandal et al. 2011[2]，Wu et al. 2011[3]， Min et al. 2009[4]， Shen et al. 2010[5]，Barton and de Quadros 1997[6])。因此，巖石節(jié)理中滲透特性研究是近年來的一個研究熱點。在早期的研究中，巖石節(jié)理被簡化為光滑平面進行研究，建立了立方定律。Lomize(1951)[7]通過采用玻璃板模擬節(jié)理面實驗驗證了立方定理。然而，理解粗糙節(jié)理中滲流特性才是理解裂隙網(wǎng)絡中滲流及溶質(zhì)遷移的開始。在節(jié)理滲流的研究中發(fā)現(xiàn)，隨著流速的增大流態(tài)會偏離線性規(guī)律而表現(xiàn)出非線性的現(xiàn)象。Zimmerman & Bodvarsson(1996)[8]通過分析Navier-Stokes方程，認為節(jié)理中非線性滲流的臨街雷諾數(shù)為25。而大量實驗研究表明當雷諾數(shù)大于1時，非線性滲流現(xiàn)象就會開始出現(xiàn)(Zimmerman et al.(2004)[9], Qian et al.(2005,2011)[10-11])。Ranjith& Darlington(2007)[12]展開了大量室內(nèi)實驗并得出結論認為界定線性流到非線性流轉變的臨界雷諾數(shù)應為10。Zhang & Nemcik(2013)[13]分別針對巖石吻合節(jié)理及巖石錯動節(jié)理進行了室內(nèi)實驗，研究結果發(fā)現(xiàn)在巖石吻合節(jié)理中水壓與流速呈線性規(guī)律，而錯動節(jié)理中的流速隨著水壓的增大呈非線性規(guī)律。Forchheimer(1901)[14]和Izbash(1931)[15]針對巖石節(jié)理中的非線性滲流規(guī)律提出了經(jīng)驗模型進行描述。此外，Lee et al.(2014)[16]通過研究節(jié)理內(nèi)的流速分布發(fā)現(xiàn)在雷諾數(shù)大于1的時候，立方定律不再適用。

由于立方定律無法體現(xiàn)節(jié)理粗糙度對滲流規(guī)律的影響，許多學者對立方定律進行了修正。Lomize(1951)[7]在大量實驗的基礎上對立方定律進行了修正，引入了一個能夠表征節(jié)理面幾何特征的修正系數(shù)λ。在此基礎上，Witherspoon et al. (1980)[17]進一步研究發(fā)現(xiàn)修正系數(shù)λ的值在1.04～1.65之間。Cook et al.(1990)[18]、Zimmerman et al. (1992)[19]、Li et al. (2008)[20]等考慮節(jié)理面接觸面積的影響對λ進行了進一步的修改。此外，速寶玉(1995)[21]討論了相對粗糙度對節(jié)理滲透規(guī)律的影響。許光祥(2003)[22]研究了粗糙裂隙中滲流的超立方和次立方定律。Raven & Gale(1985)[23]研究了試樣尺寸和加卸載次數(shù)對節(jié)理中非線性滲流規(guī)律的影響。耿克勤(1994)[24]、Olsson & Barton(2001)[25]通過實驗定量研究了開度與流量之間的關系。

綜上所述，國內(nèi)外學者針對巖石節(jié)理滲透特性做了大量的工作。然而，已有的研究成果大多是基于節(jié)理剖面線的二維形貌參數(shù)進行研究，無法考慮巖石節(jié)理的尺寸效應、各向異性特征等。Hong et al. (2008)[26]指出二維形貌參數(shù)會在一定程度上低估巖石節(jié)理的粗糙程度。因此，采用真實巖石節(jié)理，考慮水壓、法向荷載，采用三維形貌表征方法的巖石節(jié)理滲流實驗有重要的研究價值。本文通過展開不同粗糙度錯動節(jié)理中的滲流實驗，分析了水壓、荷載壓力、巖石節(jié)理形貌與滲流量的關系；在此基礎上提出了一個基于三維形貌參數(shù)的經(jīng)驗模型。提升了對巖石節(jié)理中非線性滲流特性的認識。

1 三維形貌表征方法

Grasselli et al. (2002)[27]提出了節(jié)理面有效剪切傾角的概念，并以此作為節(jié)理三維形貌表征參數(shù)。將節(jié)理面網(wǎng)格化如圖1。計算公式如下:

tanθ*=tanθ(-cosα)

(1)

(2)

(3)

式中：m為θ*大于零的計算單元數(shù)；α為計算單元沿滲流方向的方位角；θ*為節(jié)理單元沿滲流方向與水平面的夾角；θ為計算單元與水平面的夾角；t為節(jié)理中滲流方向矢量；n0為水平面外法線矢量；n為節(jié)理單元外法線矢量；n1為n在水平面的投影矢量。

圖1 視傾角計算示意圖Fig.1 Identification of the apparent dip angle of triangular element.

(4)

式中：A0為面向巖石節(jié)理滲流方向的計算單元面積占巖石節(jié)理面所有計算單元表面積的比值。

(5)

將上式除以A0得到有效剪切傾角加權平均值θavg，如下式：

(6)

(7)

(8)

2 實驗方法及實驗結果

2.1 巖石節(jié)理試樣制備

選取具有明顯顆粒粗細差異的巖石試樣制備成尺寸為200 mm×100 mm×100 mm的巖石節(jié)理劈裂試件，本文采用的巖石種類為花崗巖。標記為S1-FG、S2-MG 以及S3-CG。S1-FG代表細顆粒巖石節(jié)理試樣其節(jié)理粗糙度較低、S2-MG代表中等顆粒巖石節(jié)理試樣、S3-CG代表粗顆粒巖石節(jié)理試樣其粗糙度較高。劈裂過程中荷載采用位移控制，其加載速率為0.5 mm/min，以確保得到的巖石節(jié)理表面相對比較光滑(見圖2)。節(jié)理試樣單軸抗壓強度、泊松比等參數(shù)見表1，其中R2為計算粗糙度參數(shù)的擬合優(yōu)度值。

圖2 劈裂節(jié)理試樣Fig.2 Split samples of granite with different grain size for samples

表1 節(jié)理試樣參數(shù)Tab.1 Geo-mechanical and geometrical details of the fracture samples

2.2 試驗過程

試驗前先對巖石節(jié)理面進行掃描(圖3)，計算巖石試樣節(jié)理形貌參數(shù)，取點間距0.2 mm。然后展開巖石節(jié)理滲流實驗，實驗設備如圖4。實驗試樣人工處理為飽和狀態(tài)，錯動1 mm后進行巖石節(jié)理滲流實驗。滲流實驗采用常法向荷載控制，實驗中花崗巖巖石節(jié)理施加五級荷載為1.0～5.0 MPa，水壓由進水口的水泵進行施加，實驗中水壓差采用0.1～0.8 MPa。將水壓差除以試樣長度200 mm，得到滲流實驗的水力梯度為0.5、1.0、2.0、3.0、4.0 MPa/m。實驗設備采集到的實驗數(shù)據(jù)自動記錄在計算機中。

圖3 KEYENCE_LK-G5000掃描系統(tǒng)Fig.3 The 3D morphology scanner system

1-主機；2-加載系統(tǒng)；3-加載系統(tǒng)；4-變形測量儀；5-變形測量儀；6-試樣固定儀；7-加載控制器；8-加載控制器；9-鋼架；10-水泵；11-流量采集儀；12-墊塊圖4 水力耦合實驗儀示意圖Fig. 4 Schematic diagram of coupled shear-flow test system

圖5 水流流速與水力梯度關系圖Fig.5 Regression analysis of pressure gradient as a function of measured flow rate using Forchheimer equation for samples

2.3 實驗結果及分析

-▽p=aQ+bQ2

(9)

式中：a,b為常數(shù)；Q為巖石節(jié)理中的水流流速。

計算結果見表2。由表2可知，擬合參數(shù)數(shù)值會隨著法相荷載的增大而增大，其增大趨勢見圖6。由圖6可知，當法向荷載增大到一定數(shù)值時，擬合參數(shù)的數(shù)值幾乎不再增加。擬合參數(shù)a為節(jié)理中滲流線性項常數(shù)，其隨著法向荷載增大而增大，說明在法向荷載增大時，公式(9)中線性項aQ中的流速會減小，這是由于法向荷載的增大導致了開度的變小引起的。擬合參數(shù)b為節(jié)理中滲流非線性項常數(shù)，其隨著滲透率的減小而增大，說明在滲透率減小時，公式(9)中非線性項bQ2所占的比例增大。此外，由表2中的計算結果可知，隨著節(jié)理越粗糙度的增大，擬合參數(shù)a、b的值越大。這說明，隨著節(jié)理粗糙度的增大，公式(9)中線性項aQ、非線性項bQ2中的流速都會減小。這是由于節(jié)理越粗糙，節(jié)理中的水流會更容易形成渦流，渦流會導致能量的損失，導致流量減小。

表2 滲流實驗參數(shù)匯總表Tab.2 Summary of parameters for flow in non-mated rock fractures

圖6 法向荷載與擬合參數(shù)a、b之間的關系Fig.6 Variation of coefficients a and b with normal stress

由上文可知，在巖石節(jié)理非線性滲流特性的研究中，國內(nèi)外學者常采用雷諾數(shù)常作為界定滲流線性與非線性的指標參數(shù)，計算方法如下：

(10)

式中：ρ為巖石節(jié)理中水的密度；e為巖石節(jié)理開度。公式(10)也可以變換成：

(11)

式中：w為巖石節(jié)理的寬度。

采用表觀滲透率反應節(jié)理中的滲透特性，其計算方法如下：

(12)

由公式(12)可知，若在吻合較好的巖石節(jié)理中，滲流基本呈線性趨勢，此時公式(10)退化為達西定律，即Ta為達西定律中的滲透率。根據(jù)計算得到的表觀滲透率值與雷諾數(shù)值得到圖7。如圖所示，表觀滲透率會隨著雷諾數(shù)的變化而改變，而在線性流中，滲透率為一個常數(shù)，不會隨著雷諾數(shù)的改變而改變，說明在錯動節(jié)理中存在這非線性滲流現(xiàn)象。且通過變化趨勢，可知巖石節(jié)理中表觀滲透率值越小，巖石節(jié)理中滲流的非線性作用就會越明顯。

圖7 滲透率與臨界雷諾數(shù)關系圖Fig.7 Apparent transmissivity versus Reynolds number for samples

在眾多目前的研究中，常用非線性滲流項所占比例來界定線性與非線性流，計算方法如下：

(13)

工程應用中，常認為當這個比例小于10%時可以假定巖石節(jié)理中的水流屬于線性流，其非線性的部分可以被忽略。

將α代入到雷諾數(shù)計算公式可以得到臨界雷諾數(shù)的計算公式：

(14)

考慮α=0.1，得到：

(15)

通過計算可以得到實驗中3組巖石節(jié)理在不同法向荷載及不同水壓下的臨界雷諾數(shù)值，見表2。由表2可知，臨界雷諾數(shù)與法向荷載與節(jié)理粗糙度及施加的法相荷載之間存在函數(shù)關系。

由此，可以根據(jù)之前的假定計算節(jié)理的平均開度。選擇雷諾數(shù)值小于臨界雷諾數(shù)的工況，計算方法如下：

(16)

式中：J為滲流壓差；e為需要求得的平均開度。

3 錯動節(jié)理滲流模型

眾多國內(nèi)外學者考慮節(jié)理粗糙度的影響進行了立方定律的修正。如Lomiz 模型，在層流條件下，模型如下：

(17)

其中，λ=1+6.0(ε/e)1.5

式中：ε是節(jié)理相對粗糙度；e是水力開度。在紊流條件下，模型如下：

(18)

Louis (1969)[29]也提出了一種修正公式，計算如下：

(19)

其中，λ=1+8.8(ε/2e)1.5。

此外，Amadei[30]根據(jù)試驗結果認為λ=1+0.6(ε/e)1.2。

然而，上述研究都是針對巖石節(jié)理相對粗糙度展開的，其在表征巖石節(jié)理真實三維形貌上存在不足。此外，上述研究中的室內(nèi)實驗大多是在嚴格的層流條件或者紊流條件下展開的，與真實節(jié)理中的滲流流態(tài)不符。

因此，本文提出了一種考慮節(jié)理三維形貌特征的經(jīng)驗模型。由實驗結果可知，節(jié)理中滲流流速會隨著節(jié)理粗糙度的增大而減小。由于渦流的影響，節(jié)理中平均水力開度會隨著粗糙度的增大而減小。此外，流速會隨著平均開度和水壓的增大而增大。

由此，巖石節(jié)理中流速與節(jié)理開度之間的關系可用下式表示為：

(20)

(21)

分析可知，上式與Izbash模型形式上相似。在工程實際中，當開度與粗糙度的取值不變時，上式流量與水力梯度存在函數(shù)關系，可以簡化為Izbash模型。采用平均方差計算模型精度，公式如下：

(22)

計算得到其平均方差值為0.61%。說明其計算精度較高。

4 對滲流模型的對比討論

為了驗證公式(21)的合理性，本節(jié)將其與Forchheimer公式、Lomize模型以及Izbash經(jīng)驗模型進行對比分析。

Izbash經(jīng)驗模型如下：

-▽p=mQn

(23)

詳細對比如下：

(1)在使用參數(shù)上，公式(21)采用三維相貌參數(shù)， Lomize模型是基于二維相貌參數(shù)相對粗糙度，而Forchheimer模型以及Izbash模型沒有考慮節(jié)理相貌對滲流特性的影響。

(2)在模型形式上，公式(21)與Izbash模型在形式上一致，可以看作是Izbash模型在三維尺度上的擴展。兩者皆為基于室內(nèi)實驗的經(jīng)驗模型。更適用于高水頭作用下巖石節(jié)理中的非線性滲流規(guī)律。Forchheimer模型物理意義更明確，并得到了理論證明。

(3)在流態(tài)區(qū)分上，公式(21)與Izbash模型、Forchheimer模型都沒有嚴格的層流紊流的劃分。而Lomize模型對節(jié)理中滲流進行了層流和紊流的嚴格劃分。而事實上，在工程實際中巖石節(jié)理中的滲流無法進行嚴格的層流與紊流的劃分。

5 結 語

本文通過室內(nèi)實驗手段，進行了錯動節(jié)理中的滲透實驗研究，分析了節(jié)理中的非線性滲透規(guī)律，討論了臨界雷諾數(shù)及Forchheimer方程，并提出了錯動節(jié)理中的非線性滲流公式。主要的結論如下。

(1)法向荷載、水壓及形貌特征共同影響巖石錯動節(jié)理中的滲流特性。在巖石錯動節(jié)理中隨著水壓的增大，水壓與流速之間逐漸偏離線性規(guī)律而呈現(xiàn)非線性現(xiàn)象。在錯動節(jié)理滲流中，表觀滲透率不是一個常數(shù)，并且隨著雷諾數(shù)的增大而減小。

(2)定量分析了節(jié)理滲流中的線性項參數(shù)與非線性項參數(shù)，兩個參數(shù)均與法向荷載存在函數(shù)關系，當法向荷載達到一定數(shù)值時，變化不再明顯。

(3)隨著節(jié)理粗糙度的增大，線性項參數(shù)與非線性項參數(shù)的值變小。說明，在越是粗糙的巖石節(jié)理中，水流越容易出現(xiàn)渦流現(xiàn)象，導致節(jié)理中的滲流量變小。

(4)提出了一種考慮節(jié)理三維形貌特征的經(jīng)驗模型，考慮了三維形貌參數(shù)，可以看做是對Izbash經(jīng)驗模型的一種擴展，形式上簡單，具有重要的工程價值。