靜電場中的幾類圖象的應用

貴州 胡朝平

在近年高考中，靜電場中運用圖象分析問題是命題的熱點之一，在分析電場的運動情況、力學問題與功能特性常用到v-t、v-x、φ-x、E-x、Ep-x等圖象，有時幾種圖象綜合運用，也是考查能力的方法之一，為了更好地把握該問題，幫助學生在沖刺階段提升能力，下面以示例分析并總結規律。

一、v - t圖象

【例1】如圖1甲所示，Q1、Q2為兩個固定的點電荷，其中Q1帶負電，a、b、c三點在它們連線的延長線上。現有一帶負電的粒子以一定的初速度沿直線從a點開始向遠處運動經過b、c兩點(粒子只受電場力作用)，粒子經過a、b、c三點時的速度分別為va、vb、vc，其速度—時間圖象如圖1乙所示。以下說法中正確的是

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圖1

A．Q2一定帶正電

B．Q2的電量一定小于Q1的電量

C．b點的電場強度最大

D．粒子由a點運動到c點運動過程中，粒子的電勢能先增大后減小

【答案】ABD

【例2】如圖2甲所示，有一絕緣的豎直圓環，圓環上分布著正電荷。一光滑細桿沿垂直圓環平面的軸線穿過圓環，細桿上套有一質量為m=10 g的帶正電的小球，小球所帶電荷量q=5.0×10-4C,讓小球從C點由靜止釋放,其沿細桿由C經B向A運動的v-t圖象如圖2乙所示,且已知小球運動到B點時，速度圖象的切線斜率最大(圖中標出了該切線)下列說法正確的是

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圖2

A．由C到A的過程中，小球的電勢能先減小后增大

B．在O點右側桿上，B點場強最大，場強大小為E=1.2 V/m

C．沿著C到A的方向，電勢先降低后升高

D．C、B兩點間的電勢差UCB=0.9 V

【答案】BD

【規律】速度—時間圖線上各點的切線斜率表示瞬時加速度，根據圖線找到速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化)，確定電荷所受電場力的方向與電場力的大小變化情況，進而確定電場的方向、電勢的高低及電勢能的變化。

二、v - x圖象

【例3】如圖3甲所示，兩個點電荷Q1、Q2固定在x軸上，其中Q1位于原點O，a、b是它們連線延長線上的兩點。現有一帶正電的粒子q以一定的初速度沿x軸從a點開始經b點向遠處運動(粒子只受電場力作用)，設粒子經過a、b兩點時的速度分別為va、vb，其速度隨坐標x變化的圖象如圖3乙所示，則以下判斷正確的是

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圖3

A．b點的場強一定為零

B．Q2帶負電且電荷量小于Q1

C．a點的電勢比b點的電勢高

D．粒子在a點的電勢能比在b點的電勢能小

【解析】由v-x圖象可知，帶電粒子在由a到b過程做加速度運動，經b點后做減速運動，可見粒子在b點的速度最大，加速度為0，則b點的場強一定為零，根據從a點開始經b點向遠處先做加速運動后做減速運動知，Q1帶負電，Q2帶正電，A正確，B錯誤；a點的動能比b點的動能小，a點的電勢能比b點的電勢能大，且運動電荷為正電荷，所以a點的電勢比b點的電勢高，C正確，D錯誤。

【答案】AC

【規律】由速度v隨坐標x變化的圖象中找到速度的變化情況，再根據速度變化、斜率變化(即加速度大小的變化)，確定電荷所受電場力的方向，進而確定場源電荷的電性、電勢的高低及電勢能的變化。

三、φ - x圖象

【例4】在x軸上存在與x軸平行的電場，x軸上各點的電勢隨x點位置變化情況如圖4所示。圖中-x1～x1之間為曲線，且關于縱軸對稱，其余均為直線，也關于縱軸對稱。下列關于該電場的論述正確的是

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圖4

A．x軸上各點的場強大小相等

B．從-x1到x1場強的大小先減小后增大

C．一個帶正電的粒子在x1點的電勢能大于在-x1點的電勢能

D．一個帶正電的粒子在-x1點的電勢能大于在-x2點的電勢能

【解析】φ-x圖象的斜率大小等于電場強度，故x軸上各點的電場強度不同，故A錯誤；從-x1到x1，圖線斜率先減小后增大，故場強先減小后增大，故B正確；由圖可知，-x1點和x1點電勢相等，則一個帶正電的粒子在x1點的電勢能等于在-x1點的電勢能，同理，一個帶正電的粒子在-x1點的電勢能小于在-x2點的電勢能，故CD錯誤。

【答案】B

【例5】兩電荷量分別為q1和q2的點電荷固定在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖5所示，其中C為ND段電勢最低的點，則下列說法正確的是

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圖5

A．q1、q2為等量異種電荷

B．N、C兩點間場強方向沿x軸負方向

C．N、D兩點間的電場強度大小沿x軸正方向先減小后增大

D．將一正點電荷從N點移到D點，電勢能先增大后減小

【解析】由圖知，q1左側和q2右側電勢隨距離增大而降低，則可判斷兩者均為正電荷，A錯誤；N、C間的電場方向沿x軸正方向，C點場強為0，B錯誤；根據N→D間圖線的斜率大小先減小后增大可知，場強先減小到零后反向增大，C正確；正電荷從N移到D，由Ep=qφ知，電勢能先減小后增大，D錯誤。

【答案】C

【規律】1.電場強度的大小等于φ-x圖線的斜率大小，電場強度為零處，φ-x圖線存在極值，其切線的斜率為零。

2.在φ-x圖象中可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據電勢大小關系確定電場強度的方向。

3.在φ-x圖象中分析電荷移動時電勢能的變化，可用W=qU，分析W的正負，然后作出判斷。

四、E - x圖象

【例6】x軸上O點右側各點的電場方向與x軸方向一致，O點左側各點的電場方向與x軸方向相反，若規定向右的方向為正方向，x軸上各點的電場強度E隨x變化的圖象如圖6所示，該圖象關于O點對稱，x1和-x1為x軸上的兩點。下列說法正確的是

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圖6

A．O點的電勢最低

B．x1和-x1兩點的電勢相等

C．電子在x1處的電勢能大于在-x1處的電勢能

D．電子從x1處由靜止釋放后，若向O點運動，則到達O點時速度最大

【解析】作出電場線，根據順著電場線電勢降低知，O點電勢最高，故A錯誤；從圖線看出，電場強度關于原點O對稱，則x軸上關于O點對稱位置的電勢相等，電子在x1和-x1兩點處的電勢能相等，故B正確，C錯誤；電子從x1處由靜止釋放后，若向O點運動，到達O點時電場力做功最多，故動能最大，速度最大，故D正確。

【答案】BD

【例7】空間有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨x變化的圖象如圖7所示，帶電粒子在此空間只受電場力作用。下列說法中正確的是

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圖7

A．在-x1處釋放一帶負電的粒子，它將沿x軸在-x1與x1之間做往返運動

B．帶負電的粒子以一定的速度由-x1處沿x軸正方向運動到x1處，它在x1處的速度等于在-x1處的速度

C．帶正電的粒子以一定的速度由-x1處沿x軸正方向運動的過程中，它的動能先增大后減小

D．帶正電的粒子在x1處的電勢能比在x2處的電勢能小、與在x3處的電勢能相等

【解析】在-x1處釋放一帶負電粒子，開始時所受電場力沿+x軸方向，向右做加速運動，在x>0范圍內，所受電場力沿-x軸方向，向右做減速運動，根據對稱性可知，將剛好運動到x1處，則它將沿x軸在-x1與x1之間做往返運動，選項A正確；帶負電的粒子以一定的速度由-x1處沿x軸正方向運動到x1處，它在x1處的速度等于在-x1處的速度，選項B正確；帶正電的粒子以一定的速度由-x1處沿x軸正方向運動的過程中，它的動能先減小后增大，選項C錯誤；從x1處到x3處，電場強度方向沿x軸正方向，帶正電的粒子從x1處到x3處，電場力一直做正功，電勢能減小，所以帶正電的粒子在x1處的電勢能比x2處的電勢能大、比x3處的電勢能大，選項D錯誤。

【答案】AB

【規律】1.在給定了電場的E-x圖象后，可以由圖線確定場強的變化情況，電勢的變化情況，E-x圖線與x軸所圍圖形“面積”表示電勢差。在與粒子運動相結合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。

2.在這類題目中，還可以由E-x圖象假設某一種符合E-x圖線的電場，利用這種已知電場的電場線分布、等勢面分布或場源電荷來處理相關問題。

五、Ep - x圖象

【例8】兩個點電荷Q1、Q2固定于x軸上,將一帶正電的試探電荷從足夠遠處沿x軸負方向移近Q2(位于坐標原點O),在移動過程中,試探電荷的電勢能隨位置的變化關系如圖8所示,則下列判斷正確的是

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圖8

A.M點電勢為零,N點場強為零

B.M點場強為零,N點電勢為零

C.Q1帶負電,Q2帶正電,且Q2電荷量較小

D.Q1帶正電,Q2帶負電,且Q2電荷量較小

【答案】AC

【例9】一帶負電的粒子只在電場力作用下沿x軸正方向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關系如圖9所示，其中0～x2段是關于直線x=x1對稱的曲線，x2～x3段是直線，則下列說法正確的是

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圖9

A.x1處電場強度最小，但不為零

B.粒子在0～x2段做勻變速運動，x2～x3段做勻速直線運動

C.在0、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關系為φ3>φ2=φ0>φ1

D.x2～x3段的電場強度大小方向均不變

【答案】D

六、幾種圖象的綜合應用

【例10】如圖10所示,以等量同種點電荷的連線中點為原點,兩點電荷連線的中垂線為x軸,E表示電場強度,φ表示電勢,根據你已經學過的知識判斷,在下列E-x圖象和φ-x圖象中,可能正確的是

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圖10

【解析】在兩電荷連線的中點,由于兩個電荷在此處產生的場強大小相等、方向相反,所以該處場強為零,在無窮遠處場強也為零,所以兩點電荷連線的中點到無窮遠處的場強是先增大后減小,且場強關于電荷連線對稱,故A正確,B錯誤;兩點電荷連線的中垂線上場強方向從中點指向無窮遠,且電勢逐漸降低,故C錯誤,D正確。

【答案】AD

【例11】一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動。取該直線為x軸，起始點O為坐標原點，其電勢能Ep與位移x的關系如圖11所示。下列圖象中合理的是

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圖11

【答案】D