基坑土層等效m值反演分析

曹 凈， 楊澤帥， 胡 睿， 劉海明

(昆明理工大學建筑工程學院， 云南 昆明 650500)

0 引言

目前，基坑支護結構的設計方法有彈性地基梁法、等值梁法和有限元法等[1]。由于彈性地基梁法考慮了支護結構與土體的變形協調，并且計算模式明確、過程簡單[2]，在實際工程中得到廣泛的應用。但是，目前，工程勘察報告尚不能正確提供各類土層的水平向基床系數[3]，而大量工程實踐和計算分析均表明，基坑土層水平反力系數的比例系數m值對支護結構的變形和內力影響較大， 甚至影響著基坑支護方案的選擇[4]。在具體設計過程中，設計單位通過查閱地勘報告獲得m值；若地勘報告中未給出m值，則參考規程和工程經驗確定m值。但大多數規程給出的取值范圍較大，且每個地區的土體性質存在差異，因此，m值的選取存在很大的隨意性[5]。m值的重要性及其難以確定性組成了一個共存且矛盾的問題，是工程設計人員面臨的一項難題。

近些年來，國內外許多學者對土層水平反力系數的比例系數m值進行了反演分析研究。文獻[6]將光纖測試技術引入基坑監測系統中，得到了施工動態位移反分析技術；文獻[7-8]提出基于非參數回歸的土層參數反分析算法，利用均勻試驗和非參數回歸方法構建響應面，并結合可變容差法對土層參數進行反演；文獻[9]通過有限元軟件進行二次開發得出空間m法，并結合空間m法及位移反分析算法得出圍護結構變形性狀及開挖的空間效應；文獻[10]由單純形法反演得到的優化位移與實測位移基本接近，驗證了反分析法的可靠性。文獻[6，9，10]在進行m值反演分析時，直接描述土體力學參數和位移之間的非線性關系，沒有考慮土體的物理本構關系，導致缺乏對現象的物理解釋。

本文綜合上述研究成果，分析提出一個綜合考慮土體重度、基坑開挖深度、水平土層反力系數和抗剪強度指標的基坑土層等效m值計算公式，并利用水平位移實測數據和非參數回歸方法反演確定系數Δ1、Δ2，以修正所提的等效m值計算公式，最后以昆明某工程實例驗證該方法的可行性。

1 基本假設

為獲得合理且計算較為方便的基坑土層等效m值公式，作如下假設：

1)假設支護結構底端嵌入坑底土體足夠深，當基坑處于彈性抗力狀態時，近似地認為支護結構底端的位移量為0，土壓力分布大小接近于靜止土壓力強度；當基坑處于被動極限狀態時，支護結構底端產生微小位移。

2)假設嵌固段內土體為同一層土，基坑開挖面附近支護結構的水平位移量為s0。

2 基坑土層等效m 值分析

在基坑設計和施工過程中，對支護結構的位移有嚴格的控制要求，基坑被動區的土體是不允許達到被動極限狀態的，其受力狀態實際上處于彈性抗力狀態。隨著基坑的開挖，由于上部土體的卸荷作用，基坑開挖面附近的土體已處于超固結狀態，故基坑開挖面的初始土反力系數A0≠0，但由于位移限制的要求，基坑開挖面土體沒能達到被動極限狀態，即0

A0=2ctan(45°+φ/2)Δ1/s0。

(1)

式中：A0為初始土反力系數，kN/m3；Δ1為水平反力系數的折減系數，0<Δ1<1；s0為開挖面附近支護結構的水平位移量，m；c為被動區土體黏聚力，kPa；φ為內摩擦角。

根據m法，基坑被動區土層水平反力系數

ks=mz+A0=mz+2ctan(45°+φ/2)Δ1/s0。

(2)

式中：m為基坑被動區土層水平反力系數的比例系數，kN/m4；z為基坑開挖面以下某計算點至開挖面的垂直距離，m。

基坑被動區土層水平反力系數的分布如圖1所示，其中，基坑開挖深度為h，嵌固段深度為d。

圖1 被動區土層水平反力系數分布

Fig. 1 Distribution of horizontal counter-force coefficient in passive zone

當基坑被動區土層處于彈性抗力狀態時，σx為由靜止土壓力和位移引起的擠壓應力組成的水平應力(即土反力)，

σx=k0γz+[mz+2ctan(45°+φ/2)Δ1/s0]δ(z)。

(3)

式中：δ(z)為彈性狀態時，計算深度z所對應的支護結構水平位移量，m；γ為土的容重，kN/m3;k0為靜止土壓力系數，可依據經驗公式取k0=1-sinφ′(式中φ′為有效內摩擦角)。

式(3)在基坑嵌固段深度范圍內滿足： 當z=0時，基坑開挖面的土反力σx=2ctan(45°+φ/2)Δ1；當z=d時，支護結構底端土反力σx=k0γd。

文獻[11-12]基于位移土壓力的概念，提出被動區土體反力系數為極限被動土壓力和靜止土壓力之差與極限被動土壓力引起的支護結構水平位移量之比。若被動區土體達到極限被動狀態時，

σp=k0σz+ksδp(z)。

(4)

式中：δp(z)為被動極限狀態時，計算深度z所對應的支護結構水平位移量，m；σp為被動土壓力強度，kPa；σz為計算深度z處的豎向有效自重力，kPa。

水平反力系數

(5)

由朗肯土壓力理論得到

(6)

并由此得到被動區水平方向土反力

(7)

將式(7)化簡得

(8)

與式(3)進行對比，兩式在形式上較為一致，說明由假設得到的式(3)有一定的理論依據。因m法的特點是將被動區土層水平反力系數ks視為隨深度呈線性增加的分布模式。式(6)是以基坑嵌固段內土體達到被動極限狀態時的位移量相同為前提，若滿足條件，說明此時基坑支護結構是經過整體平移達到了被動極限狀態，但顯然實際工程中很難滿足此條件。由式(3)和式(7)對比可知： 基坑土層m值的取值與土體重度、內摩擦角、土層水平反力系數和被動極限狀態時的位移相關；被動區土層水平反力系數ks除了與上述幾個參數相關，還與土體黏聚力相關。但式(5)的前提是基坑達到被動極限狀態，且m法中m值表示的是ks隨深度線性增加的斜率。若知道z=d時所對應的δp(z=d)，則可進一步確定：

(9)

實際基坑因位移控制要求處于彈性抗力狀態，故需要在式(9)不等號右側乘以小于1的水平反力系數的折減系數，得到

(10)

式(10)的m值計算公式量綱是一一對應的，這也說明由假設及分析所得m值計算公式是合理的。

基坑開挖卸荷是一個動態的過程，隨著開挖深度的增加，土體抵抗變形的能力將有所降低。通過文獻[4，6]對基坑土層m值的反演結果進行分析，表明：m值在基坑開挖過程中并非是固定的，而是隨著基坑開挖深度的增加逐漸減小，即基坑被動區土層m值與基坑開挖深度有關。為此，假設支護結構底端z=d時達到被動極限狀態，則位移量

δp(z=d)=Δ2h。

(11)

式中：h為基坑開挖深度，m；Δ2是一個遠小于1的經驗系數。

假設基坑達到被動極限狀態模式時(如圖2所示)，基坑開挖面附近的土體最先受到擠壓，先達到被動極限狀態。隨著轉角增大，自上而下各點土體依次進入被動極限狀態[13]，而此時基坑支護結構底端的水平位移量較小[14]，可考慮其趨近于0但不為0。

由文獻[15]中被動極限狀態時的位移經驗公式可大致確定Δ2∈(0，0.01)，基坑被動區土層等效m值為

(12)

式中k0為靜止土壓力系數，k0=1-sinφ′(式中φ′為土體有效內摩擦角，無條件試驗時φ′=φ+c[16])。

圖2 基坑內側土體達到被動極限狀態模式示意

Fig. 2 Illustration of inner surface of foundation pit in passive limit state

式(12)表明隨著基坑開挖深度的增加，基坑土層等效m值相應地降低。實際使用中需將式(12)相關的土層參數按厚度進行加權平均，而公式中系數Δ1、Δ2則需要經過反演分析確定。確定了系數Δ1、Δ2后，可根據基坑開挖深度計算出相應工況的基坑土層等效m值。因此，在建立基坑支護結構的力學計算模型時，被動區土層水平反力系數

(13)

故所建立的基坑支護力學計算模型中包含了與被動區土層水平反力系數ks有關的系數Δ1、Δ2，并將其視為待反演參數，通過直接反演確定其值。

3 反演分析模型的建立

3.1 均勻試驗

均勻試驗是在試驗參數范圍內通過均勻散布試驗樣本點的方式，以較少的試驗次數獲得更多的試驗信息，其最大的特點是試驗水平相同的條件下，使用均勻試驗方法的試驗次數比使用正交試驗方法的試驗次數更少[7]。對于有k個因素X1，X2,…,Xk的試驗，采用均勻試驗的步驟如下：

1)確定k個因素中每個參數可能的最小、最大值，例如Ximin，Ximax分別為第i個因素的最小值和最大值，i=1,2,…,n，進而確定其范圍[Ximin，Ximax]。

2)將每個參數分為k個水平，一般為等分，即

(14)

式中：i為因素序號(i=1,2,…,n)；j為水平序號(j=1,2,…,k)。

3)根據因素個數n和所劃分的水平數目k選擇均勻表Un(kn)，再由均勻表確定試驗組配。

3.2 非參數回歸分析

獲得輸入數據樣本及其對應的輸出樣本后，需要建立兩者之間的響應面關系。本文采用ACE(alternating conditional expectation)擬合技術對其進行回歸分析，先不設定響應面函數的形式，而是尋找輸入數據x1,x2,…,xn的映射值φ1(x1),φ2(x2),…,φn(xn)和輸出數據y的映射值θ(y),使其滿足

(15)

式中：i=(1,2,…,n)；ε′為反映擬合精度的擬合誤差。

從而可以確定響應面函數

y=θ-1[φ1(x1)+φ2(x2)+…+φn(xn)]+ε′。

(16)

式中θ-1[·]為θ[·]的逆函數。

如果確定了φ1(x1),φ2(x2),…,φn(xn)和θ(y)，響應面函數關系也就確定了。利用統計數學軟件S-Plus中提供的ACE數據包，直接獲得各輸入數據與輸出數據的映射值，從而完成輸入數據樣本與輸出樣本之間的響應面關系。

3.3 插值計算

通過式(15)得到所有數據的映射值，再逐一擬合映射值進一步求解θ-1[·]，從而建立響應面關系得到式(16)的顯式函數形式。若由均勻試驗得到的輸入因素X1,X2,…,Xk中，每個因素在其計算區間內均有n個計算點，并且是均勻分布的，就可以生成比較密的插值點。對于在計算區間內的任意輸入參數xi, 通過響應面關系進行插值運算即可得到其輸出的映射值yi。

φi(xi)=interp(Xi,φi(Xi)，xi) (i=1,2,3,…,k)，

(17)

(18)

其輸出映射值yi=interp(θ(Y)，Y,θ(yi))。

(19)

式(17)—(19)中：φi(xi)為與該試驗向量相應的變換值； interp(A,B,a)表示a關于向量組(A,B)的插值結果；Xi=[xi1,xi2,…,xin]是由均勻試驗確定變量xi的各個水平組成的試驗向量；φi(Xi)=[φi(xi1,xi2，…,xin)]；Y為試驗輸出結果向量；θ(y)為其映射值。

3.4 約束條件

在待反演參數可能的取值范圍內，通過Monte Carlo模擬枚舉出大量樣本組合，利用已建立的高效響應面，將計算出的變形值與實測變形值進行對比，篩選出與實測值差異在一定范圍內的計算變形值所對應的待反演參數組合。例如，以某工況下的實測水平位移監測數據s為依據，設定一定的容差ε，使位移監測范圍為[s-ε,s+ε]作為約束條件(篩子)，通過逐步縮小容差ε對比計算變形值和實測變形值，篩選出滿足約束條件的計算變形值所對應的待反演參數組合。

4 算例

昆明市某淺埋公路隧道工程隧道段采用水中圍堰明挖法施工，基坑圍護結構寬32.9 m，基坑開挖深度最深達14.32 m。

所選剖面基坑深度為13.1 m，采用φ850 mm@600 mm的SMW工法樁，支護樁長29.9 m，型鋼為700 mm×300 mm×13 mm×24 mm H型鋼。支撐形式為3排對撐，第1排為鋼筋混凝土支撐，其水平間距為9 m；第2、3排為鋼管支撐，水平間距為3 m，對應施加預應力分別為1 425、1 124 kN。基坑土層力學參數和施工工況分別見表1和表2，基坑支護剖面如圖3所示。

表1 基坑土層力學參數表

表2 基坑施工工況

圖3 基坑支護剖面 (單位： mm)

因基坑開挖工況的施工用時較短，且測點附近的支護樁變形易受鄰近節段土方開挖的影響，支護樁的變形速率并不穩定；而支撐工況的施工是在開挖工況完成后24 h內，且需要間隔一定的時間段才開始下一開挖工況，在此期間，支護樁受外界影響較小，變形速率基本趨于穩定。因此，以基坑支護樁變形數據較穩定的支撐工況(工況4)的監測數據為依據，進行反演分析，工況6則作為驗證工況。

本文中待反演參數為Δ1和Δ2，首先對每個待反演參數的區間范圍進行假定，詳見表3。將上述基坑中每個參數分為20個水平，采用MATLAB自編程序得到均勻表U20(202)，進而得到20組參數的輸入樣本。

表3 待反演參數Δ1、Δ2 的初始范圍

本文采用MATLAB軟件，基于平面桿系結構的彈性支點法編制基坑支護結構力學計算程序，其中，主動區土體荷載根據《建筑基坑支護技術規程》[17]中相關規定計算，被動區土層反力系數按式(13)計算。由文獻[4,8]得出，坑底以下1倍基坑開挖深度范圍內的反演結果相對有效，故分別將不同輸入樣本組代入基坑力學計算模型中，計算出7、9、11 m深度處的水平位移值，并將其作為輸出樣本，輸入和輸出數據樣本見表4。

表4 輸入和輸出數據樣本

獲得了輸入和輸出數據樣本后，利用統計學軟件S-Plus中ACE回歸的數據包，得出輸入樣本和9、11、7 m處水平位移值之間的高效響應面。因第1組輸入數據Δ1偏小，為了避免對結果產生影響，將其剔除。對剩余19組試驗逐一進行回歸，其擬合系數均高達0.99，見表5。

表5 映射值

根據已經建立的響應面進行插值運算，利用Monte Carlo模擬技術枚舉出10 000個參數樣本進行篩選，并計算出10 000個參數樣本的支護樁樁身變形值。

在基坑工況4條件下，以支護樁樁頂以下7、9、11 m處的水平位移監測結果作為約束條件，篩選出滿足約束條件的計算水平位移值所對應的Δ1和Δ2的組合。其中，約束條件的取值區間為[μ-ε，μ+ε]，μ為實測水平位移的均值；ε為容差范圍，分別取4σ、3σ、2σ和1.5σ，具體數值見表6。通過不斷地縮小容差范圍對待反演參數進行篩選，篩分原理見圖4。

表6特征點處基坑水平位移的均值與標準差

Table 6 Means and standard deviations of horizontal displacement of foundation pit

約束條件位移/mm7 m處9 m處11 m處μ20.2617.7812.914σ1.561.601.603σ1.171.201.202σ0.780.800.80 1.5σ0.590.600.60

圖4 篩分原理

隨著容差ε由4σ縮小到1.5σ，得出的篩分結果區間總體趨勢在逐漸縮小，反演結果逐漸相對穩定，見表7。因此，將容差1.5σ作為篩分的最終結果。

基坑達到被動極限狀態時，被動區深度范圍內各點土體所需的位移量并不相等，在開挖面附近的土體受到擠壓最先達到屈服強度。隨著轉角增大，自上而下各點土體依次進入被動極限狀態，到支護樁底端時位移量為0.28‰h～0.32‰h(h為基坑開挖深度)。將直接反演得到的Δ1、Δ2取值范圍代入式(12)，得到該基坑工況4基坑土層等效m值范圍為[1.91，2.46] MN/m4(其中土體容重γ、內摩擦角φ和土體水平反力系數k0按厚度取加權平均值)。依據土體抗剪強度指標的標準值，通過《建筑基坑支護技術規程》[17]中4.1.6條的公式計算得到該項目中每層土的m值工程設計值，見表8。而基坑土層等效m值是將基坑被動區等效為同一層土，并且考慮了開挖面附近的初始土反力系數A0，為驗證本文的反演結果，將反演得到的Δ1、Δ2參數代入工況6的力學模型中進行分析。

表7 不同容差的反演篩分結果

注： 表中所列數據為參數區間。

表8 基坑土層參數工程設計值

5 反演參數的驗證

通過工況4反演確定系數Δ1、Δ2后，根據工況6的基坑開挖深度，利用式(12)計算出工況6的等效m值為[1.29,1.66] MN/m4(其中土體容重γ，內摩擦角φ和土體水平反力系數k0同樣按厚度取加權平均值)，將其代入基坑工況6的力學計算模型中，得到基坑支護樁計算水平位移曲線，并與實測水平位移曲線進行對比，如圖5所示。其中，水平位移曲線尾部表示的并非支護樁底部的水平位移，而是測斜管水平位移，支護樁底部比測斜管底長約8 m。通過對比發現，基坑工況6條件下計算變形曲線和實測變形曲線比較接近，證明了本文所述反分析方法的可行性。

工況6的驗證結果表明： 基坑被動區土層等效m值直接與支護結構位移相關，經反演分析確定系數Δ1∈[0.252，0.284]，系數Δ2∈[0.28‰，0.32‰]。在地質條件相近及周邊環境相似的實際工程中，結合地區經驗確定取其下限值或上限值，然后根據式(1)和式(12)計算出基坑開挖面處的初始土反力系數A0和基坑土層等效m值并進行分析。對于基坑開挖面處的水平位移s0，為了限制基坑施工中不產生過大變形可取s0=10 mm。

圖5 基坑工況6計算變形曲線和實測變形曲線對比圖

Fig. 5 Comparison between calculated deformations according to condition 6 and measured ones

6 結論與討論

本文以現場實測數據為依據，利用均勻試驗和ACE非參數回歸相結合的方法對系數Δ1和Δ2進行回歸分析，以修正所推導的基坑土層等效m值計算公式，并利用該計算公式對基坑工況6進行驗證分析，提出了基坑土層m值取值的新方法。

1)本文在假定和簡化的基礎上，對平面桿系結構彈性支點法中的m值進行了分析，提出了一個綜合考慮土體容重γ，基坑開挖深度h，土體水平反力系數k0和抗剪強度指標的等效m值計算公式。隨著基坑開挖深度h的增加，m值相應的降低，較為符合基坑的實際受力變形特點，為m值的取值提供了一條新途徑。

2)因基坑開挖是一個卸荷過程，本文考慮了因基坑開挖的卸荷作用，開挖面處產生的初始土反力系數A0反演成果更符合實際情況。

3)反演成果縮小了規程及指南給定的m值取值區間，計算精度也相應地提高。所得到的等效m值計算公式考慮了基坑開挖深度的影響，可根據基坑開挖深度不斷地修正基坑土層等效m值以實現基坑動態控制。

本文基坑土層m值的計算公式前提是嵌固段為同一土層，當基坑支護結構嵌固段土層豎向分布且性質差異較大時，則需要進一步考慮多層土的等效m值。文中對等效m值公式的推導及反演分析僅限于基坑工程，在其他工程如邊坡工程、樁基工程設計中，m值也是一個不可忽視的設計參數，應該對其進行理論及反演分析研究，積累更多經驗以便得到一個考慮更為周全的m值計算公式。