三維測量系統中基于圓錐擬合的旋轉臺軸線標定新方法

傅屈晨，謝 核，賀崢嶸，彭 真，王國林，李文龍

（1.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北 武漢430012；2.中國航發南方工業有限公司，湖南 株洲410000）

航空葉片作為工況惡劣的關鍵性零部件，表面精度和尺寸精度對其服役性能有著巨大影響，因而對其進行精確測量與質量檢測顯得尤為關鍵。傳統的三坐標測量法可以一次裝夾完成測量，不涉及標定問題。然而其作為接觸式測量方法，存在測量速度慢等問題。目前主流的非接觸式測量方法有基于相機光學、結構光、激光等，這些方法都具有較高的效率，但是因為一次只能從單個方向測量零件，需要對多視角數據進行拼接。常用的拼接方法有兩類：（1）附加標記物，在被測物體上粘貼標記或固定定位球，利用物體幾何特征進行匹配[1]；（2）對固定零件的工作臺進行標定。由于第一種方法基于測量數據的重合部分進行拼接，零件本身的特征對測量結果影響較大[2]。所以為了準確測量葉片，對旋轉臺的精確標定是十分必要的。徐永安[1]等人在轉臺上固定一個標定球，測量已知旋轉度數的三個位置的球，通過球心擬合的圓心估算出轉軸位置，其利用精度為0.050 mm的測量機得到了0.070 mm的標定精度。解則曉[3]等人則選擇將旋轉次數設置為六次，進一步提高了標定精度。Meiling Da[2]和胡民政[4]等人利用雙球標的方式得到了轉臺的軸線方向，他們對標定的數學模型進行了簡化，假設轉臺軸線方向與水平面垂直。Jingbo Zhou[5]等人在轉臺旋轉的同時，對固定在其上的材料進行銑削，通過對所得圓柱的測量得到軸線。Bin Sun[6]和Bing Li[6]在航空葉片測量中考慮了探頭的傾斜并建立了誤差模型。Meiling Da[2]等人則認為相比系統總誤差，對旋轉臺軸線誤差進行分析的意義更為重大[2]。

本文考慮轉臺軸線與水平面不垂直的情況，提出了一種基于圓錐擬合的旋轉臺軸線高精度標定新方法，將標準陶瓷圓柱固定在轉臺上，每次轉動△θ角，對不同位置的圓柱進行測量，并獲得軸線。將軸線擬合成虛擬圓錐，圓錐的軸線即為轉臺軸線。該方法存在以下兩個亮點。第一，傳統圓球標定物只存在圓心一個特征點，而本文采用的圓柱標定物能獲得更多軸線方向的信息，可有效提高標定數據的準確性；第二，圓錐擬合既標定了旋轉臺原點位置又標定了其軸線方向，將傳統的旋轉臺標定的3個位置參數改進為6個位姿參數，修正了轉臺軸線誤差，進一步提高了標定精度。

1 旋轉臺標定數學模型

1.1 坐標系的建立

如圖1所示，該三維測量系統運動結構由三軸平移臺和旋轉臺構成。以機器零點OW為原點建立世界坐標系{W}，以大理石平面為xW-yW平面（通過水平儀調節大理石平面與水平面平行）。在轉臺初始位置建立與轉臺固接的坐標系{R0}，轉臺軸線與轉臺平面的交點OR在世界坐標系W中的坐標為OR（x0R，y0R，z0R），轉臺軸線單位方向向量為 s（u，v，w）。在轉動 θ角度之后坐標系變為{Rθ}。根據從世界坐標系{W}到轉臺坐標系{Rθ}的齊次變換[9]，三維測點p滿足：

式中 sθ＝ sinθ，c=cosθ，此時只需標定 OR（x0R，y0R，z0R）三個參數。若軸線不垂直于水平面xW-yW，則

其中Versθ＝1-cosθ，此時還需標定軸線方向s（u，v，w）。因此為準確得到測點，需要轉臺標定 s（u，v，w）和OR（x0R，y0R，z0R）六個參數。

1.2 基于圓錐擬合的轉臺標定

首先將標定圓柱固定在轉臺上，轉臺每轉過△θ度時，在坐標系{W}中測量標定圓柱，通過圓柱擬合得到其軸線，轉臺轉動一周，可得n=360/△θ個位置的圓柱軸線（如圖2），為獲取轉臺軸線基點OR和方向s（如圖3）的具體數值，需先對所有軸線進行圓錐擬合。設圓錐頂點坐標（xM，yM，zM），母線與軸線 s夾角γ，則圓錐上一點（xi，yi，zi）滿足方程：

將公式（4）化為二次曲面通式并加入殘差項E得誤差方程式（5）：

通過對誤差E進行最小二乘法可求解二次曲面通式（5）中的參數 A-J：

t=cosγ2；A ＝ μ2-t；B ＝ v2-t

圖3 圓錐擬合示意圖

圖2 圓柱軸線提取示意圖

雖然此方法對多數情況下圓錐擬合效果較好，但在轉臺標定中因為圓錐半頂角γ過小，且軸線與zw軸近乎平行，方程系數之間巨大差異會導致求解出現病態情況，此方法將不適用。需將二次方程標準化[7]（如圖4）。

圖4 圓錐標準化示意圖

其中，X ＝ [xi，yi，zi]T，由公式（7）構造出轉移矩陣K，對其進行奇異值分解：

其中 L 表示為可 diag（λ1，λ2，λ3），定義矩陣 R 的第三列為R3，則標定參數表示為：

2 仿真測試

2.1 完整圓錐擬合

根據轉臺直徑，擬合出直徑為160 mm的部分圓錐面，將曲面離散化生成10萬點云數據（如圖5）。轉臺平面zw坐標為-2.663 mm.圓錐擬合得到轉臺軸線方向誤差為0 rad，位置誤差為0 mm，均優于圓柱擬合（如圖6）。由表1可知當圓錐點云完整時，圓錐擬合與圓柱擬合方法誤差均較小。

圖5 圓錐點云

圖6 圓錐擬合

表1 擬合誤差分析統計表I

2.2 不完整圓錐擬合

由于實際用來擬合圓錐的是不同位置圓柱的軸線，取八段對稱位置的點云模仿實際數據（如圖7），但沒有引入任何噪音。由表可以看出圓錐出現了較小的位置誤差，但由于點云保持對稱性，方向誤差仍然為0 rad，優于圓柱擬合效果（如圖8）。由表2可知當圓錐點云不完整時，圓錐擬合與圓柱擬合方法誤差均增大。

圖7 不完整點云

圖8 圓錐擬合

表2 擬合誤差分析統計表II

2.3 加入高斯噪音

在擬合實際數據時，噪音是無法避免的，噪音的引入會導致較大的形狀誤差，從而導致較大的標定誤差。為了進一步模擬實際測得數據，分別給完整點云和不完整點云加入標準差為0.001 mm～0.02 mm的高斯噪音，如表3所示。可見隨著噪音的增大圓柱擬合圓錐擬合的精度都隨之下降，但圓錐擬合誤差在位置和方向始終比圓柱擬合低一個數量級以上。

表3 擬合誤差分析統計表III

3 實驗

3.1 旋轉臺標定實驗

三維測量系統由三維移動平臺，轉臺和點激光測頭組成。測頭精度為0.010 mm，最大測量角度170°，測量頻率1 000 Hz.移動平臺x軸重復定位精度為0.012 mm，y軸0.010 mm，z軸0.018 mm.行程由光電限位開關決定（287.00 mm，287.00 mm，437.00 mm）。通過對八個位置圓柱的測量并對其軸線進行圓錐擬合（如圖9），標定獲得轉臺軸線方向為 s（0.000 1，-0.001 1，1），基點為 O（R126.453 9 mm，254.054 6 mm，0 mm）（如圖 10）。圓柱擬合所得參數為 s（0，0，1），OR（126.583 5 mm，254.019 8 mm，0 mm）。

圖9 陶瓷圓柱測量

圖10 軸線標定

3.2 測量實驗

為了評估測量效果，本文采用華中科技大學數字制造裝備與技術國家重點實驗室自主開發的i－Cloud3D三維檢測軟件，該軟件具備點云精簡、光順、匹配與誤差三維誤差分析等功能。

如圖11為待測圓柱面的模型點云圖。對圓柱面進行測量時，轉臺的單次旋轉角為45°，將葉片點云通過標定參數進行拼接，標準偏差為0.032 mm（如圖12）。圓柱的擬合標準偏差為0.042 mm（如圖13），局部放大后可見待擬合的圓柱點云出現明顯分層現象（如圖 14）。

圖11 圓柱點云

圖12 圓錐擬合標定

圖13 圓柱擬合標定

圖14 點云分層

對兩種型號的葉片模型進行測量。葉片1長寬高為（1 190 mm×580 mm×1 940 mm），點云數量為298 179（如圖15）；葉片2長寬高為（1 064 mm × 630 mm × 1 900 mm），點云數量為 228 533（如圖 16）。為減小測量誤差，實際測量時要盡量將被測物體置于轉臺中心，從而旋轉產生的偏差會減小[1]（如圖17）。

圖15 葉片1點云

圖16 葉片2點云

圖17 葉片測量

轉臺的單次旋轉角取180°.將葉片點云通過標定參數拼接，可得葉片模型標準偏差分別為0.082 mm（如圖 18）和 0.087 mm（如圖 19）。經實驗驗證，圓柱擬合的標定誤差明顯大于圓錐擬合。同時因為圓錐錐度過小，頂點往往離底面基點距離極遠，需要迭代算法來確定最佳擬合。

圖18 葉片1擬合誤差圖

圖19 葉片2擬合誤差圖

4 結束語

本文考慮旋轉臺軸線方向不與水平面垂直的情況，提出了一種基于圓錐擬合的轉臺標定新方法。使用標準陶瓷圓柱對轉臺軸線進行了精確標定。利用三軸重復定位精度為0.024 mm的三維點坐標測量系統獲得了轉臺軸線基點位置標準偏差為0.032 mm的標定結果。標定與測量實驗表明，與圓柱擬合相比，該標定方法精度更高。