淺談代數不等式的基本性質的實際應用

胡映貴

代數不等式的基本性質是中學數學的重要內容，它可以滲透到中學數學的很多章節，是解決很多數學問題的有利工具，再加上它在實際問題中的廣泛應用性，決定了它將是常考不衰的高考熱點問題。根據有關資料顯示，在歷年高考試題中，直接或間接考查不等式知識約占總分的四分之一以上。代數不等式基本性質的學習對發展學生的數學思維，培養邏輯思維能力、推理能力起著非常重要的作用。不等式的基本性質試題不僅體現了“基礎與能力考查并重”的原則，還體現了轉化思想、分類討論思想、數形結合思想、最優化數學思想、函數與方程的思想、建立數學模型的思想等等。怎么把代數不等式的基本性質融入到實際解題中就是本文所研究的。

一、不等式基本性質的運用

同學們都知道，不等式的基本性質有以下三條：（1）不等式的兩邊加上（或減去）一個整式，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）一個正數，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數，不等號的方向改變 ，通過舉例，說說不等式基本性質的作用。

（一）比較大小

利用不等式比較大小，有兩種方法：第一，作差比較法。比較兩個實數的大小，或者比較兩個代數式的大小，我們可以拿一個實數減去另外一個實數，或者可以拿一個代數式減去另外一個代數式，如果差大于零，那么被減數或被減式大于減數或減式；如果差等于零，那么被減數或被減式等于減數或減式；如果差小于零，那么被減數或被減式小于減數或減式。第二，作商比較法。這一種方法適用于含有冪代數式大小的比較。拿一個代數式除以另外一個代數式，如果商大于1，那么被除式大于除式；如果商大于零小于1，那么被除式小于除式；不過此種方法有使用范圍，必須是兩個代數式同正同負，其他情形一般不適合第二種方法。

（二）確定范圍

利用不等式可以確定一些實際問題中的取值范圍。第一，在函數問題中，可以用不等式表示函數的定義域及值域。第二，在實際應用題中，可以用不等式表示可以取哪些值。如表示工資錢數，只能大于零。第三，在分類討論數學題目中，可以用不等式表示分類的具體情況。如可分為大于零，等于零，小于零這三種情況。第四，用不等式可以表示一些實際生活中的數學問題。如大于零表示盈利，等于零表示收支平衡，小于零表示虧損等等。

（三）用于構造一元一次不等式

例1 不等式______的解集是

解：答案不唯一，如，，，，，等等。

（四）用于找關系

例2 若，，試表示和之間的關系。

解：由不等式的性質1，不等式的兩邊都加上2，可得。由不等式的性質3，不等式的兩邊都乘以-1，可得。

因此可得。由不等式的性質1，兩邊都加上，得

故和之間的關系為。

（五）最值問題

例3 設，則的最大值與最小值之差為______。

解：由，得，。

原式

因為， 所以，的最大值為2，最小值為0。

所以原式的最大值為，最小值為其差值為1。

二、不等式性質的三個應用

（一 ）利用不等式性質證明不等式

利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式，解決此類問題一定要從充分理解的基礎上，記準不等式的性質并注意在解題中靈活準確地應用。

我們在中學學習的一些不等式的性質以及推論都可以作為證明不等式的主要依據，不過在利用過程中一定要注意不等式的使用范圍，切不可盲目利用不等式的性質及推論，否則就會出現錯誤。另外，在證明過程中大多數題目都是對不等式性質及推論的反用，及對不等式性質及推論的逆向應用。因此，在利用不等式性質證明不等式過程當中一定要熟練掌握性質及推論的雙向應用。

（二）利用不等式性質求范圍

利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），但這種轉化不是等價變形。在一個解題過程中多次使用這種轉化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務必小心謹慎，應先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過一次不等式關系的運算，求得待求的范圍，這是解這類題的最有效的方法。

（三）利用不等式性質，探求不等式成立的條件

不等式的性質，包括五個性質定理及三個推論，不等式的性質是解不等式和證明不等式的主要依據，只有正確的理解每條性質的條件和結論，注意條件的變化才能正確的加以運用，利用不等式的性質，尋求命題成立的條件是不等式性質的靈活運用。

三、總結

本文通過比較大小，確定范圍， 用于構造一元一次不等式， 用于找關系，最值問題，利用不等式性質證明不等式，利用不等式性質求范圍，利用不等式性質，探求不等式成立的條件九個方面逐一說明了代數不等式性質在實際問題中的滲透，但是，對于代數不等式性質的應用我們不能單純的，死搬硬套的去利用。也許有些方法，有些性質適用于某種題型，但是他不可能適用于任何一種題目；也許有些方法在理論上是萬能的，但是在實際應用當中可能非常繁瑣。所以，我們要具體題型具體對待，具體題目具體對待，選擇最合適，最簡便的方法來解決問題。這就需要我們在平時的學習和應用當中多做總結，多分析，多交流，多反思，多應用，多滲透。只有這樣我們才能游刃有余的利用代數不等式的性質解決我們遇到的實際問題。