淺談類比法在數列中的重要運用

張謙

摘要：類比法是數學教學中的一種重要的教學方法，有著廣泛應用，也是新課程改革中要求重點培養學生的能力之一。以高中數學的數列章節的教學為例，無論是定義、通項，還是性質、求和的教學都貫穿著類比法。

關鍵詞：類比法；數列；等差；等比

類比法（Method of analogy） 也叫"比較類推法”，是指由一類事物所具有的某種性質，可以推測與其類似的事物也應具有這種性質的推理方法。這種方法在我們的高中數學中有著廣泛地運用，是高中生必須學會的一種學習方法，決定著學生學習能力的高低，學習效率的好壞，因此在許多知識點的教學中我們都融會貫通著類比法，下面我以人教版高中數學必修五《數列》這一章節的教學為例，簡單說明類比法的重要性。

一、類比法在等差數列和等比數列定義教學中的運用

等差數列的定義是通過觀察法推導出來的，一般先給出例題：

例：觀察下面幾個數列有什么共同特征？

（1）1、2、3、4、5…… （2）2、4、6、8、10……

（3）3、7、11、15、19…… （4）5、5、5、5、5……

通過教師引導，學生觀察得到結論：一般，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列。而在教學等比數列的定義時我們就會給出例子，讓同學們與等差相類比。

例：類比等差數列，觀察下面數列有什么共同特征？

（1）2、4、8、16、32…… （2） 、 、 、 、 ......

（3）10、100、1000、10000、100000 （4）5、5、5、5、5……

歸納：（1）通過類比可以得到等比數列的定義，只需將等差數列定義中的“差”轉化成“比”即可。

（2）類比相同之處的同時也要注意區別，那就是等差數列中的常數d可以為0，而等比數列中的常數q≠0.

這種概念教學中我們運用類比法有助于學生理解內涵、容易記憶，同時將比較類似的兩個概念加強區別。

二、類比法在等差數列和等比數列通項公式的推導及解題中的運用

等差數列和等比數列的通項公式在數列這一章的教學中非常重要，在解題中應用很廣。推導其公式都是從定義入手，例如推導等差數列的通項公式時，老師可以引導學生由定義得到：-=d、-=d……-=d，則（-）+（-）+……+（-）=（n-1）d，所以得-=（n-1）d ，即等差數列的通項公式是=+（n-1）d ，這種推導方法我們稱之為累加法。有了等差數列通項公式的推導鋪墊，在推導等比數列的通項公式時，就可以由學生自己類比得：=q、=q、=q……=q，則×××……×=，所以=，即等比數列的通項公式是=。同時，學生類比得出這種推導方法叫累乘法。推導公式運用類比法不僅讓學生了解了公式的推導，幫助他們記憶公式，還體會到等差數列與等比數列之間“加”和“乘”的轉換。

等差數列和等比數列的通項公式推導出來以后，學生就面臨著有關、、n 、d的計算問題。例如：已知等差數列中，+=4，+=10，求。這道題主要利用等差數列的通項公式得到有關和d的二元一次方程組，將兩式相加減消元得出和d，從而得到。這類等差數列的解方程組的題型比較簡單，學生容易上手，但碰到等比數列的解方程組學生往往會列式，不會消元，這時我們就要提醒學生注意等差數列中的“差”與等比數列中的“比”之間轉換。例如：若等比數列滿足+=20，+=40，求公比q.這道題與上面的例題類似，方法也一樣，但消元時需將所列的方程組兩式相比消去，得到關于q的方程解之。當然，如果將數列中的和聯立解決有關計算問題，學生會更加困難，尤其是等比數列的解方程，這說明我們在類比時不僅要歸納相同點，也可以通過比較不同之處而掌握解決問題的方法。例如我們在等比數列中有一個典型題目：已知=7，=21，求q.解決這道題主要是對的處理，如果用求和公式，就要主要討論q=1和q≠1，而用通項公式就要用數列的前n項和的定義將=21轉換成++=21再和=7聯立解答。這就說明在等差數列聯立解方程的基礎上我們解決類似問題要善于發現不同，然后有針對性的解答，有助于培養學生“舉一反三”的能力，提高學習效率。

類比法在等差數列和等比數列性質教學中的運用.

等差數列和等比數列擁有較多類似的性質，例如中項公式、下標性質、和的性質等，它們在運用時方法也基本相同，所以教學時基本都以等差數列為模板進行等比數列性質的學習。例如：已知等差數列中，=10，求.這題只給了一個等量關系式，無法聯立方程，可利用下標性質將=轉化為==9=90.由此我們可歸納：等差數列中，看到兩項相加就可以運用下標性質化簡，那么，讓學生類比猜想在等比數列中我們看到什么用下標性質呢？學生很快會說“乘”，加以具體實例學生既區別認識了等差和等比的下標性質，也清楚地明白運用下標性質的前提，有效地提高了教學效率。學生可能會發現有些題中既有“加”又有“乘”，該怎么辦呢？

例：已知數列是遞增的等差數列，且+=9，=8，求數列的通項公式。

變式：已知數列是遞增的等比數列，且+=9，=8，求數列的通項公式。

分析：這道題只有一字之差，即“差”與“比”，但卻決定了這是兩個不同類型的數列，也決定了解題時要先處理哪一個已知條件。例題是等差數列所以要先用下標性質將+=9轉化成+=9，然后與=8聯立解出和，再利用等差數列的通項公式求出和d，從而得到；而變式中因為數列是等比數列，所以先處理的就是=8，利用的是等比數列的下標性質，但整個解題方向完全相同。

通過上面我僅從《數列》這一章節的幾個方面的實例可以發現我們平時的學習與生活中處處充滿著類比，類比可以幫助我們掌握共同特性，也可以幫助區別特性，可以說，類比是探索問題、解決問題與發現新結果的一種卓有成效的思維方法。學生在數學的學習中應該學會運用這種獨特的思維方法，教師在教學過程中則應努力培養學生運用類比方法進行合情推理的能力，使他們的思維更具創造力。只有我們意識到類比的教育教學價值，通過類比的教學方法去展示數學的知識，才能讓學生拓展視野，以極大的熱情去研究、學習數學，認識到數學世界的和諧統一，才能真正實現學生由“學會”到“會學”的轉化。

參考文獻：

[1]康永強 等差數列與等比數列的乘積和 《甘肅高師學報》 第5卷第5期（2000）

[2]田志宏 類比法在數列中的應用 《科教文匯》2006（9）：49