基于量綱分析的爆炸沖擊波作用后鋼化玻璃碎片質量分布規律研究

鐘巍， 田宙， 壽列楓， 李偉昌， 何增， 浦錫鋒， 王仲琦

(1.西北核技術研究所， 陜西 西安 710024； 2.北京大學 數學科學學院， 北京 100871；3.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081)

0 引言

隨著暴恐襲擊的頻發以及燃氣爆炸等意外事故的日益增多，建筑玻璃在受到爆炸沖擊作用后的破壞性能成為近年來國內外的研究熱點。Linz等[1]利用數值模擬研究了夾層玻璃在受到沖擊波作用后的層裂性質，能夠為帶夾層玻璃建筑結構的建模和設計提供一種新的方法。Linz等[2]對夾層玻璃受到沖擊荷載作用后的破碎行為提出了一個解析解，從而可以為風險評估工程師和帶夾層玻璃幕墻建筑的設計者提供高效的方法。Zhu等[3]建立了由小塊夾層玻璃組合而成的面板或門窗的數值模型，通過數值模擬研究了受到爆炸沖擊作用后的動態響應行為。Chen等[4]利用有限元方法模擬了帶聚乙烯醇縮丁醛(PVB)夾層玻璃的沖擊破壞效應，通過數值模擬得到了玻璃在破壞過程中應力波的傳播特征，進而給出了玻璃受到爆炸沖擊作用后的破壞機理。王書鵬[5]將有限元方法與薄板振動理論相結合，研究了建筑玻璃在爆炸沖擊波作用下的破碎原因、破碎模式和碎片分布規律等。師燕超等[6]基于有限元顯式動力學分析軟件LS-DYNA提出了模擬爆炸荷載作用下玻璃裂紋產生的節點分離法，使用該方法對某現場爆炸試驗中玻璃板的破碎進行了數值模擬，研究了爆炸荷載作用下建筑玻璃的破碎情況。陳海杭等[7]對建筑玻璃幕墻的抗爆性能進行了研究綜述。

綜上所述，大量學者在爆炸沖擊波對建筑玻璃破壞效應方面卓有成效的研究成果可以為風險評估和建筑設計等提供很好的參考。然而，已有的絕大部分研究都集中在玻璃破壞模式、破壞狀態本身，極少有關于玻璃碎片對人員造成傷害的研究。事實上，建筑玻璃在受到沖擊波作用破壞后會產生大量飛散的玻璃碎片，將對建筑內人員造成以割裂、擦傷等為主的傷害[8-9]。碎片對人員造成傷害的程度主要取決于碎片的尺寸(形狀)、飛散速度和質量等。在已公開發表的文獻中沒有發現關于玻璃碎片質量分布規律預測公式方面的研究結果。因此，針對開展的沖擊波毀傷鋼化玻璃效應試驗，在本文中將給出玻璃碎片質量分布規律的研究結果。考慮到篇幅等多種因素的限制，玻璃碎片的尺寸、碎片飛散速度等的研究結果將另文給出。本文首先對試驗中收集的玻璃碎片質量分布數據進行統計和整理，然后利用量綱分析推導出玻璃碎片質量與飛散距離的無量綱函數關系式，最后結合試驗結果和無量綱函數關系式，給出預測玻璃碎片質量隨不同飛散距離分布的經驗公式，并通過與試驗結果的對比和相關系數及決定系數的計算分析驗證預測公式的合理性。

1 鋼化玻璃沖擊波毀傷效應試驗概況

試驗采用按制藥標準熔鑄的梯恩梯(TNT)裸藥柱，炸藥密度為1 640 kg/m3，分為5 kg和10 kg兩種質量。為了確保鋼化玻璃的正中心與炸藥的爆心位于同一水平面上，將TNT炸藥自由放置在一個塑料方凳上面，并確保藥柱中心與鋼化玻璃正中心距離地面的高度一致，試驗現場布局如圖1所示。圖1中R0為到爆心的距離。

試驗中使用的鋼化玻璃均按照建筑標準JGJ102—2003玻璃幕墻工程技術規范[10]加工制造，長和寬分別為1.6 m、1.2 m，玻璃表面壓應力α=69 MPa(按鋼化玻璃進一步的細分標準，本研究采用的玻璃屬于半鋼化玻璃：24 MPa≤α≤69 MPa)。3輪次試驗所使用的TNT炸藥質量及玻璃厚度如表1所示。

2 玻璃碎片質量分布試驗統計結果

為了研究鋼化玻璃受到爆炸沖擊波作用后可能造成的次級毀傷效應，在試驗現場開展了玻璃碎片收集與記錄工作，如圖2所示。參照文獻[11]中的碎片收集方法以及文獻[12]“彈體破碎性試驗”中“試驗結果整理和評定”的標準，本試驗中玻璃碎片的收集與記錄方法為：1)爆炸結束后，如果玻璃破碎，則進行碎片統計；2)現場觀察玻璃碎片的分布特點后，將玻璃碎片分布的區域劃分為若干區間，對每個區間內的玻璃碎片尺寸和質量進行人工統計；3)在統計時對于尺寸過小的碎片(指最大長度小于0.3 cm的碎片)不作統計；4)為了提高統計速率，現場統計每個區間的碎片時，先統計尺寸明顯較大(通常分布不均勻)的碎片，對于剩下的分布比較均勻的碎片，先將區間分成若干等份，只統計其中1等份的碎片情況，然后乘以等份數得到整個區間的碎片情況。盡管上述統計方法會存在一定的試驗誤差，但分析表明誤差在工程上可以接受的范圍以內。例如，對于試驗中10 mm厚的玻璃，玻璃密度為2.50 g/cm3，則其總質量為48 kg，試驗中5發試驗回收到碎片平均總質量為37.75 kg(見表2和表3)，平均回收率達到78.6%. 此處給出兩點補充說明：1)考慮到鋼化玻璃相對鋼質彈體或鑄鐵彈體而言在破碎時會產生更多的接近粉末的“碎片”，在試驗現場很難進行統計，因此，雖然本研究中碎片回收率無法達到文獻[12]中90%的比例，但對比文獻[11]中的結果，可以認為此時75%以上的回收率在工程估算中是有效的；2)本文研究只在第1輪試驗中對被沖擊波破壞的鋼化玻璃進行了玻璃碎片質量分布稱重統計，因為第2輪試驗時試驗場地緊張，開展試驗的時間受到限制，故沒有進行碎片統計工作，第3輪試驗采用的全部是帶PVB夾層的玻璃，玻璃破碎后不產生碎片飛散的問題，無需進行碎片統計。

表1 TNT炸藥質量和玻璃厚度

如圖3所示，取玻璃安裝平面作為參考平面，以參考平面為坐標原點建立坐標系，參考平面到爆點一側用x軸的負半軸表示，相反的一側用x軸的正半軸表示。記碎片分布區域中點坐標為R(簡稱為飛散距離)，并在后續分析中用該中點坐標來表示對應的碎片區域。

根據碎片質量現場稱量結果，整理得到了各發次試驗碎片質量在不同分布區域的統計數據，統計數據見表2、表3和表4，表中只給出了玻璃破壞時對應的試驗發次。

表2 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布情況1

表3 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布情況2

表4 6 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布情況

根據上述試驗統計結果，作出碎片質量關于飛散距離的分布圖，以1-4和1-10試驗為例，結果分別如圖4和圖5所示。由圖4和圖5可見，碎片質量與飛散距離R的關系整體上近似呈正態分布。以此觀察結果為基礎，利用量綱分析方法，下一節將推導出碎片質量隨不同飛散距離分布規律的半經驗預測公式。

3 玻璃碎片質量分布規律預測公式

3.1 量綱分析

“不同區域(用區域中點R表示)內玻璃碎片質量m的分布”問題中涉及的物理量及單位與量綱如表5所示，本文后續推導得到的無量綱化數學公式都是在表5所示量綱和單位條件下得到的，在應用時必須先確保公式中相關的物理量量綱和單位與表5中相符。由表5可知，存在函數關系式

m=f(R;Q,ρe,Ee,γe,R0;pa,ρa,γa;
dg,ρg,E,ν,Y,S,L,W).

(1)

顯然，上述物理量的基本量綱為L、M、T，不妨取Q、ρe、Ee作為基本量，根據量綱分析的基本原理和Π定理[13]，對(1)式無量綱化后可得

(2)

表5 玻璃碎片質量分布問題中相關物理量及其單位和量綱

對于第1輪試驗玻璃碎片質量分布規律問題，所使用的玻璃都是同一批次生產的，同樣，采用的炸藥也是同一批次熔鑄而成，且同一輪試驗空氣條件可視為相同，故存在

(ρe,Ee,γe;pa,ρa,γa;ρg,E,ν)=const.

(3)

由于試驗過程中沒有測量玻璃的屈服強度Y和抗拉強度S，需要消去(2)式中包含這兩個參量的項。本文采用的方法是將不同厚度的玻璃分開研究，于是對于同一種厚度的玻璃而言，Y和S可以視作不變的量，即有

(L,S)=const.

(4)

利用(3)式和(4)式，可將無量綱函數關系(2)式簡化為

(5)

(5)式即為基于量綱分析得到的玻璃碎片質量分布的定性關系式。

上述處理主要是由于缺乏更全面的試驗數據而采用的簡化策略，如果在類似的研究工作中能夠測量獲得更全面的試驗數據，包括不同輪次試驗玻璃、炸藥和空氣的參數等，則可以不進行上述簡化和忽略相關因素的步驟，直接將(2)式作為玻璃碎片質量分布的定性關系式，按照本文接下來提供的方法和思路開展類似的分析研究，得到更準確全面的玻璃碎片質量分布規律預測公式。本文在有限的條件下，旨在提供一種研究的方法與思路，并在滿足限制條件的情況下驗證該方法和思路的合理性和可行性。

3.2 半經驗預測公式的表達形式

如第2節所述，觀察試驗統計可知碎片質量與飛散距離關系近似呈正態分布，因此，參考正態分布函數的形式[14]，不妨假設上述函數的表達式為

(6)

式中：A1、A2、A3為待定系數；Rc為碎片質量最大值位置，其值根據試驗數據統計結果確定。Rc還可以通過試驗觀察、理論估算或者直接假定為未知系數通過數據擬合得到，而且結果和試驗值非常接近，但這樣處理其物理意義不夠明確。本文為了突出預測公式的物理意義，只對系數項進行擬合，有量綱意義的項不作擬合，直接采用試驗數據統計結果；(6)式中其他參數的意義見表5.

由于在已開展的所有試驗中，玻璃長度L是固定不變的，則(6)式可進一步簡化為

(7)

對于每一發試驗而言，(7)式中只有系數C1、C2

是需要確定的參數，m和R分別是因變量和自變量，其他參數均已知。根據試驗統計得到的關于m和R的數據已在表2、表3和表4中給出，利用最小二乘法進行數據擬合，可以得到(7)式對應每一發試驗的系數C1、C2，從而得到碎片質量分布關于飛散距離的函數表達式。對厚度相同的鋼化玻璃，若每一發實驗使用上述方法得到的系數C1、C2的值都很接近，則取其平均值代入(7)式中作為估算該厚度鋼化玻璃碎片質量分布的半經驗預測公式。

4 試驗結果分析

4.1 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布的預測公式與結果分析

對于10 mm厚鋼化玻璃，各發次試驗對應(7)式中的基本參數如表6所示，表中破壞模式1和破壞模式2是指在試驗中觀察到的兩種不同破壞模式：破壞模式1是指比例爆心距離比較大時，試驗觀察到此時玻璃碎片主要分布在玻璃安裝位置到炸藥放置點一側，分析認為這是由于玻璃受到沖擊波作用后由于負壓、玻璃自身反彈與振動等原因造成的破壞，如圖6所示；破壞模式2是指當比例爆心距離非常小時，試驗觀察到此時玻璃碎片主要分布在玻璃安裝位置到炸藥安置點方向相反的一側，分析認為這是由于玻璃受到沖擊波作用后在巨大的超壓作用下直接被破壞，如圖7所示。

表6 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式中的基本參數

將表6中的數據代入(7)式中，利用表2和表3中的試驗結果得到碎片質量m和對應的碎片分布區域中點坐標R的數據，使用最小二乘問題中經典的Levenberg-Marquardt方法[15]進行數據擬合，得到各發次試驗對應(7)式的系數C1和C2，進而確定各發次試驗對應(7)式的確切表達式，結果如表7所示，曲線擬合效果評價參數如表8所示。根據表7中得到的預測表達式，作出碎片質量分布隨分布區域中點坐標的函數曲線，將其與試驗統計結果對比如圖8～圖12所示。

由表8可知，1-4、1-6和1-8試驗對應的回歸分析決定系數和相關系數都達到了0.9以上，均方差也相對要小，F統計量較大。因此，上述3發試驗使用本文提出的半經驗預測公式計算得到的碎片質量隨分布區域中點坐標的分布規律與試驗統計結果吻合得很好，如圖8、圖9和圖11所示。

表7 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式系數擬合結果和預測公式表達式

表8 10 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式回歸分析評價參數

圖10表明，1-7試驗曲線與試驗數據的符合情況較前面2發試驗要差，表8中給出的1-7試驗的決定系數和相關系數均低于0.9，且均方差稍大而F統計量稍小可以證明上述結論。盡管決定系數和相關系數無法達到最理想的大于0.9的情況，但仍遠大于工程上可以接受的最小值0.6，因此，本文認為該發試驗的公式預測結果與試驗數據基本上是吻合的。

從圖12可以看出，1-14試驗預測曲線的整體包絡雖然看上去能將試驗數據包住，但曲線的變化趨勢與試驗數據符合得較差，上述現象與表8中1-14試驗對應的相關系數能夠達到0.891 5，但決定系數卻只有0.408 4(遠低于工程上可以接受的0.6)一致。造成上述符合效果較差的原因分析如下：首先，不同于其他4發試驗玻璃碎片往炸藥安置點方向飛散的情況(見圖6)，1-14試驗的玻璃碎片是朝相反的方向飛散的(見圖7)，因此，其破壞模式與其他4發試驗不相同；另外，最重要的，觀察圖7發現，1-14試驗的玻璃碎片在飛散時會先通過用于安裝玻璃的水泥房，試驗中測得水泥房在碎片飛散方向上的長度恰好是2.5 m左右，顯然，玻璃碎片在飛出水泥房時會有一大部分撞擊在水泥房上，然后掉落到地面，同時部分玻璃碎片由于撞擊而變得更碎，而過碎的玻璃碎片在試驗時沒有被統計，因此產生了圖12中所示的試驗數據分布特點，分布區域中點坐標2.5m處玻璃碎片質量最大，而相鄰區域內玻璃碎片質量先減小、后增大。顯然，本文的預測公式沒辦法考慮上述因素的影響，因此吻合效果較差。由于這種情況的試驗發次過少(只有1發)，且由于試驗設計的缺陷導致破壞情況受水泥房的影響較大，在本文后續內容中將不再分析該發試驗。

4.2 6 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布的預測公式與結果分析

對于6 mm厚鋼化玻璃，各發次試驗對應(7)式中的基本參數如表9所示。同理，將表9中的數據代入(7)式中，利用表4中的試驗結果得到碎片質量m和對應的碎片飛散距離R的數據，使用最小二乘法進行數據擬合，得到各發次試驗對應(7)式的系數C1和C2，進而確定各發次試驗對應(7)式的確切表達式，結果如表10所示，曲線擬合效果評價參數如表11所示。

根據表10中得到的預測公式，作出碎片質量分布與飛散區域中點坐標的函數曲線，其與試驗統計結果的對比如圖13和圖14所示。

圖13和圖14表明：預測公式給出的函數曲線與試驗統計結果在整體形狀上比較吻合，在表11中表現為相關系數在0.8左右；但在局部吻合情況不夠理想，具體表現為在圖中最大碎片質量位置右側試驗統計結果與預測曲線差別較大，因此，表11中給出的決定系數不是很好。盡管如此，表11的結果表明，決定系數基本上可以認為達到了工程上所能接受的最小值0.6，1-13試驗結果的決定系數略小于0.6.

表9 6 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式中的基本參數

表10 6 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式系數擬合結果和預測公式表達式

表11 6 mm厚鋼化玻璃碎片質量分布預測公式回歸分析評價參數

總體而言，從工程預估的角度來看，本文得到的玻璃碎片質量分布規律預測公式在所開展的試驗中可以看作是準確的。

4.3 綜合分析

觀察表7和表10可知：對于相同厚度的玻璃，相同的破壞模式下得到的系數C1和C2非常接近，不同破壞模式下的系數C1和C2差別較大；對于不同厚度的玻璃，相同的破壞模式下得到的系數C1和C2的差別也較大。

由于破壞模式2的情況只進行了一發試驗，且如前所述，用于安裝玻璃的水泥房會對統計帶來很大的影響，破壞模式2情況下統計的玻璃碎片本身誤差偏大，導致曲線擬合的決定系數低于曲線擬合時可以接受的最小決定系數值0.6，故本文僅給出破壞模式1對應的普適性玻璃碎片質量分布規律預測公式。對不同厚度玻璃的系數C1和C2分別求平均值后保留兩位小數，提出可供工程應用參考的玻璃碎片質量分布與碎片飛散距離變化規律的半經驗預測公式如(8)式和(9)式所示。

10 mm厚鋼化玻璃：

(8)

6 mm厚鋼化玻璃：

(9)

5 結論

本文基于試驗統計數據和量綱分析方法，研究了鋼化玻璃受到沖擊波作用破壞后玻璃碎片的質量分布規律，得出結論如下：

1)在所給定的試驗條件下，鋼化玻璃受到沖擊波作用破壞后其碎片質量分布可以表示為關于碎片飛散距離的正態分布函數，如本文(7)式所示。

2)對于不同厚度、相同長度和寬度的鋼化玻璃，在相同的破壞模式下，其正態分布函數中的常系數C1和C2不同，且玻璃越厚，C1和C2越大。

3)對于尺寸完全相同的鋼化玻璃，如果破壞模式不同，其正態分布函數中的常系數也不同。

4)對于尺寸相同的玻璃，即使爆炸沖擊波加載條件不同，只要破壞模式相同，其正態分布函數中的常系數C1和C2可以視為一致的。

因此，在工程應用特別是二次毀傷效應研究中，可以將上述碎片質量分布規律作為參考依據，但要注意公式的使用條件。