典型胚胎電子系統結構與性能的數學描述方法

王濤， 蔡金燕， 孟亞峰， 朱賽

(陸軍工程大學石家莊校區 電子與光學工程系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

隨著信息技術的不斷發展，電子系統不斷向著復雜化、智能化和集成化的方向發展。同時，電子系統開始廣泛應用于航空航天、深海探測和強電磁環境等領域，這些都對電子系統的可靠性提出了更高的要求。基于冗余容錯技術提高電子系統可靠性的方法存在硬件資源消耗大、容錯對象有限和環境適應能力差等不足。胚胎電子系統是一種模仿多細胞生物生長和發育等過程而設計的新型仿生硬件[1-2]，具有故障自檢測和自修復能力。胚胎電子系統的提出，為復雜未知環境高可靠性電子系統的設計提供了一種新思路。

經過二十多年的發展，胚胎電子系統研究取得了很大的進步。在胚胎電子系統結構與自修復方式方面，提出了經典二維胚胎電子系統及自修復方法[3]、蜂窩狀胚胎電子系統及自修復方法[4]、自適應可重構多細胞胚胎電子系統及自修復方法[5]、原核胚胎電子系統及自修復方法[6-7]、總線胚胎電子系統及自修復方法[8-9]、基于膜計算理論的仿生胚胎電子系統及自修復方法[10]、具有多種連接方式的胚胎電子系統及自修復方法[11]、基于片上通信網絡(OCN)的電子脫氧核糖核酸(eDNA)胚胎電子系統及自修復方法[12]、RISA胚胎電子系統[13]、SABRE胚胎電子系統[14]、三維空間胚胎電子系統及自修復方法[15]、基于功能分解的新型總線胚胎電子系統及自修復方法[16]、基于圖論的多層胚胎電子系統及自修復方法[17]等，這些成果極大豐富了胚胎電子系統技術的理論研究，為實際工程應用打下了堅實基礎。

在胚胎電子系統故障檢測研究方面，Samie等[18]研究了細胞內的BIST故障檢測方法，Ortega-Sanchez[19]研究了基于雙模冗余的電子細胞內功能單元故障檢測，Bradley等[20]基于人工免疫研究了基因存儲單元故障檢測，并研究了細胞內互聯資源的自檢測[21]。在胚胎電子陣列層面，李丹陽等[22]提出了基于雙模冗余的電子系統在線故障檢測方法，郝國鋒等[23]研究了芯片級故障定位和自修復方法。此外，王敏等[24]研究了三維胚胎電子陣列在線自診斷與容錯設計。

目前，胚胎電子系統主要處于理論研究實驗階段，研究集中在系統的結構設計、故障自檢測方法、故障自修復策略及小規模應用實驗等方面。為了更加直觀和準確地描述胚胎電子系統，本文從數學角度開展胚胎電子系統研究，提出了典型胚胎電子系統結構和性能的數學描述方法，并研究了該數學描述模型在電子系統中的應用：分析胚胎電子系統的結構特點和自修復方式，分別建立胚胎電子系統的功能函數、性能函數和狀態函數，得到電子系統結構和性能的描述方法。利用電子系統的數學描述方法，研究胚胎電子系統的功能判斷、性能評估和狀態分析，同時研究胚胎電子系統結構設計優化、自修復策略選擇、可靠性建模分析及預防性維修策略。胚胎電子系統結構與性能的數學描述方法，為研究胚胎電子系統提供了一種新方法。

1 胚胎電子系統

胚胎電子系統是一種模仿多細胞生物的生物特性而設計的新型硬件，具有與多細胞生物相類似的故障自檢測、故障自修復能力，從而使電路具有高可靠性。

1.1 胚胎電子系統結構

胚胎電子系統是由若干電子細胞通過導線相連而構成的系統[25]，其結構如圖1所示。

胚胎電子系統最基本的組成單元是電子細胞，根據細胞功能的不同，電子細胞分為工作細胞和空閑細胞兩種。系統中電子細胞的結構均相同，其基本結構如圖2所示。

電子細胞主要由地址單元、基因配置存儲單元、輸入輸出單元、功能單元、控制單元和故障檢測單元組成。電子細胞各個單元的功能參考文獻[25]，此處不再贅述。

1.2 故障自修復

胚胎電子系統故障自修復的本質是空閑細胞代替故障的工作細胞完成相應的電路功能，從而保證胚胎電子系統在發生故障后仍能夠正常工作，提高電路的可靠性和環境適應能力。根據胚胎電子系統的結構特點，主要有列(行)移除自修復和細胞移除自修復兩種故障自修復方式。

1.2.1 列(行)移除自修復

列(行)移除自修復[4]，即胚胎電子系統中某個工作細胞發生故障，故障工作細胞所在列(行)的電子細胞全部成為“透明”狀態，僅充當導線作用。該列(行)電子細胞的功能由相鄰電子細胞列(行)代替完成。列移除自修復的過程如圖3所示。

列(行)移除故障自修復方式原理簡單，容易實現，但是在故障修復過程浪費了大量的正常電子細胞。系統的規模越大，故障自修復浪費的電子細胞數目越多。

1.2.2 細胞移除自修復

為提高故障自修復過程中電子細胞的利用率，文獻[25]提出了細胞移除故障自修復方式。細胞移除故障自修復的原理為：如果胚胎電子系統中某個工作電子細胞發生故障，僅故障細胞變為“透明”狀態，充當導線作用。故障電子細胞的功能由相鄰電子細胞完成，細胞移除故障自修復的過程如圖4所示。

細胞移除自修復能夠提高電子細胞的利用率，但是仍存在電子細胞的浪費，電子細胞間的連接更加復雜，相對于列(行)移除自修復實現更加復雜。系統的規模越大，自修復的實現越復雜，浪費的電子細胞數目越多。

2 胚胎電子系統數學描述

胚胎電子系統主要由電子細胞和導線構成，系統中導線主要出現短路或開路等硬故障，胚胎電子系統難以實現導線故障修復。目前，集成芯片廣泛應用于信息裝備系統、航空航天、深海探測和強電磁環境等領域，芯片容易受到外部環境擾動而發生單粒子翻轉等軟故障或其他故障，導致電路功能失效，影響極大且維修成本極高。胚胎電子系統故障自修復技術主要是針對于集成芯片內部除電子細胞間連接故障外的其他故障。因此，在描述胚胎電子系統時，主要考慮電子細胞，未考慮導線。

胚胎電子系統結構和性能的數學描述主要是建立胚胎電子系統的功能函數、性能函數和狀態函數。

2.1 電子細胞數學描述

電子細胞中，設地址單元為x1，基因配置存儲單元為x2，輸入輸出單元為x3，功能單元為x4，控制單元為x5，檢測單元為x6，導線為x7. 其中xi=1，表示該單元正常工作(1≤i≤7)；xi=0，表示該單元出現故障。系統中電子細胞的結構均相同，電子細胞的數學描述與電子細胞在系統中的具體位置無關，電子細胞內各個單元的重要性均相同，因此定義系統中任意電子細胞的功能函數fc為

(1)

fc=1表示電子細胞正常工作，否則電子細胞出現故障。

2.2 胚胎電子系統功能函數

設胚胎電子系統的規模為M×N，即電子系統的行數為M、列數為N. 工作電子系統規模為m×n，即工作電子系統的行數為m(m≤M)、列數為n(n≤N)。

胚胎電子系統可以簡化為矩陣形式進行表示，胚胎電子系統表示為XM×N，工作電子系統表示為Xm×n.

(2)

式中：fjk表示電子系統中處于第j行第k列電子細胞的功能函數，1≤j≤M,1≤k≤N.Xm×n為XM×N的一部分。fjk=0表示該電子細胞出現了故障，fjk=1表示該電子細胞工作正常。

2.2.1 列移除自修復胚胎電子系統功能函數

胚胎電子系統的列移除自修復和行移除自修復原理相同，以列移除自修復為例進行分析。列移除自修復胚胎電子系統中，設電子細胞列的功能函數為Fk，有

(3)

Fk=1表示第k列電子細胞正常工作，否則第k列電子細胞存在故障。

因此，列移除自修復胚胎電子系統的功能函數Fc為

(4)

式中：μkc為工作細胞列的系數；γkc為空閑細胞列的系數；kc為電子細胞列的列數。系統開始工作階段，μ1=μ2=…=μn=1，γn+1=γn+2=…=γN=0. 當系統故障次數T≤N-n時，系統發生T次故障，則μ1,μ2,…,μn中T個故障工作細胞列系數變為0，γn+1,γn+2,…,γN中前T個空閑細胞列系數變為1，保證系統的功能不變，即Fc=n. 當故障次數TN-n，即系統故障的次數大于系統備份的空閑細胞列數目時，系統無法完成故障自修復，系統功能將失效，即Fcn.

2.2.2 細胞移除自修復胚胎電子系統功能函數

細胞移除自修復胚胎電子系統中，當N=n時，細胞移除自修復即行移除自修復，電子系統的功能函數與2.2.1節相同。當nN時，電子系統中用于故障自修復的備份空閑細胞數目為M×(N-n)，細胞移除自修復胚胎電子系統的功能函數Fe為

(5)

式中：μke為工作細胞的系數；γke為空閑細胞的系數；ke為電子細胞的數目。系統開始工作階段，μ1=μ2=…=μm×n=1，γm×n+1=γm×n+2=…=γm×n+M×(N-n)=0. 當系統故障次數T≤M×(N-n)時，系統發生T次故障，則μ1,μ2,…,μm×n中T個故障工作細胞系數變為0，γm×n+1,γm×n+2,…,γm×n+M×(N-n)中T個備份空閑細胞系數變為1，保證系統的功能不變，即Fe=m×n. 當故障次數TM×(N-n)時，系統故障的次數大于系統備份的空閑細胞數目，系統將無法完成故障自修復，系統的功能將失效，即Fem×n.

2.3 胚胎電子系統性能函數

胚胎電子系統的故障自修復能力和硬件資源消耗是衡量電子系統性能的兩個重要指標，因此胚胎電子系統的性能函數主要由自修復能力函數P(T)和硬件資源消耗函數H兩部分組成。

2.3.1 列移除自修復胚胎電子系統性能函數

胚胎電子系統的故障自修復能力主要由系統能夠故障自修復的次數決定，因此列移除故障自修復胚胎電子系統的自修復能力函數Pc(T)為

Pc(T)=N-n-T.

(6)

系統完成1次故障自修復消耗1列空閑細胞，電子系統配置空閑細胞列越多，故障自修復能力越大。為了定量描述電子系統的硬件消耗，以系統消耗電路最基本單元—MOS場效應管的數目衡量硬件消耗，系統的硬件消耗主要由電子細胞和細胞間連線產生，細胞間連線不能用MOS場效應管消耗數目來衡量，因此建模過程不考慮。

電子細胞內功能單元主要由1個D觸發器、1個2選1數據選擇器、1個4-LUT和4個16選1的數據選擇器構成。參考文獻[26]，1個4-LUT消耗MOS場效應管數目為178，16選1的數據選擇器消耗MOS場效應管數目為188，D觸發器消耗24個MOS場效應管，2選1數據選擇器消耗20個MOS場效應管，因此功能單元消耗MOS場效應管數目約為974.

輸入輸出單元主要由8個16選1數據選擇器構成，16選1數據選擇器消耗MOS場效應管數目為188，輸入輸出單元MOS場效應管消耗數目約為1 504.

控制單元主要由狀態機組成，電子細胞主要有工作、空閑和透明3種狀態，存儲1個狀態需要2位信息。狀態機主要的資源消耗來自于狀態信息的存儲，D觸發器型寄存器消耗MOS場效應管數目為24，因此控制單元消耗MOS場效應管數目約為144.

地址單元主要由行地址產生器和列地址產生器構成，地址產生器包括1個加1加法器和1個2選1數據選擇器。行地址的地址信息位為「log2N?，列地址的信息位為「log2M?，1個1位全加器消耗MOS場效應管數目為56. 行地址產生器中全加器與數據選擇器的位數均為「log2N?，1個「log2N?位的全加器由「log2N?個1位的全加器串聯構成，1個「log2N?位的2選1數據選擇器由「log2N?個1位2選1數據選擇器構成。因此，行地址產生器消耗MOS場效應管數目為76×「log2N?。同理，列地址產生器消耗MOS場效應管的數目為76×「log2M?。電子細胞內地址單元消耗MOS場效應管數目約為76×(「log2M?+「log2N?)。

故障檢測單元采用雙模冗余設計，主要由1個4-LUT和1個2輸入的異或門構成。4-LUT需要消耗MOS場效應管數目為178，2輸入異或門消耗MOS場效應管數目為9[27]. 因此，故障檢測單元消耗MOS場效應管數目約為187.

列移除自修復策略下，每個細胞都需要存儲該行所有工作細胞的配置基因。一個工作細胞共有65位配置基因[11]，每個電子細胞需要存儲65×n位基因，采用D觸發器型寄存器存儲基因。因此，基因配置存儲單元消耗MOS場效應管數目約為65×n×24.

電子細胞的硬件消耗為細胞內各個單元的硬件消耗之和，因此列移除故障自修復胚胎電子系統的硬件消耗函數Hc為

Hc=M×N×[65×24×n+76×(「log2M?+
「log2N?)+2 809].

(7)

2.3.2 細胞移除自修復胚胎電子系統性能函數

細胞移除自修復胚胎電子系統中，系統的自修復能力由用于故障自修復的備份空閑電子細胞數目決定，因此細胞移除自修復胚胎電子系統的自修復能力函數Pe(T)為

(8)

系統完成1次故障自修復需要消耗1個空閑細胞，系統備份的空閑細胞數目越多，故障自修復能力越大。

細胞移除自修復胚胎電子系統中，每個電子細胞需要存儲65×m×n位配置基因，采用D觸發器型寄存器進行基因存儲。因此，基因配置存儲單元消耗MOS場效應管數目約為65×m×n×24. 細胞移除自修復胚胎電子系統的硬件消耗函數He為

He=M×N×[65×m×n×24+76×(「log2M?+
「log2N?)×56+2 809].

(9)

2.4 胚胎電子系統狀態函數

在胚胎電子系統中，隨著電子系統工作時間的增加，系統中會出現工作細胞故障。系統將利用空閑細胞修復出現故障的工作細胞，從而保證系統的正常工作，但是自修復過程中電子系統的工作狀態已經發生了改變。胚胎電子系統的故障時間和故障位置不可預知，但是電子系統具有故障自檢測功能，能夠記錄系統的故障次數。根據胚胎電子系統發生故障的次數，可將電子系統工作過程劃分為多個工作狀態，建立胚胎電子系統工作狀態關于系統故障次數的函數。

2.4.1 列移除自修復胚胎電子系統的狀態函數

列移除自修復胚胎電子系統中，以系統中可實現故障自修復的剩余空閑細胞列數目作為狀態劃分的標準，系統備份空閑細胞列的數目為N-n，系統工作狀態劃分如表1所示。

表1 列移除自修復胚胎電子系統工作狀態

由表1可知，胚胎電子系統工作狀態集Xc={sc0,sc1,…,sc(N-n),0}，狀態0表示系統失效，隨著故障次數T的增加，系統狀態函數Sc(T)為

(10)

2.4.2 細胞移除自修復胚胎電子系統狀態函數

細胞移除自修復胚胎電子系統中，以系統中可實現故障自修復的剩余空閑細胞數目作為系統狀態劃分的標準，系統可實現故障自修復的空閑細胞總數為M×(N-n)，系統工作狀態劃分如表2所示。

表2 細胞移除自修復胚胎電子系統工作狀態

由表2可知，胚胎電子系統的工作狀態集Xe={se0,se1,…,se(M×(N-n)),0}，狀態0表示系統失效，隨著故障次數T的增加，系統的狀態函數Se(T)為

(11)

2.5 胚胎電子系統數學描述函數驗證

胚胎電子系統結構與性能的數學描述主要有功能函數、性能函數和狀態函數，除了性能函數中的硬件消耗函數外，其他函數均是根據電子系統的自修復過程而設計的。胚胎電子的硬件消耗函數是一種定量描述系統硬件消耗的方法，電子系統的硬件消耗是電子系統的固有屬性，僅與電子系統的設計相關。電子系統自修復過程對應著系統細胞的重構過程，數學描述函數的驗證，本質是對自修復過程的驗證。

胚胎電子系統的研究大多處于理論階段，缺乏相應硬件研究，因此硬件實驗難以實現。文獻[28]設計實現了一款胚胎電子系統電路軟件EDA，用于胚胎電子系統電路的仿真實現。選取北卡羅來納州微電子中心發布的z4ml測試電路作為實驗對象，以列移除自修復過程為例進行驗證，基于EDA軟件實現z4ml電路布局，結果如圖5所示。

胚胎電子系統的規模為5×7，工作電子系統的規模為5×4，系統備份空閑細胞列為3. 對工作細胞(5,2)注入故障，胚胎電子系統列移除自修復完成后，電路布局如圖6所示。

圖6中第2列工作細胞及其右側的工作細胞均后移1列，第2列工作細胞變為透明細胞，此時電路正常工作，將故障細胞(5,2)成功移除。列移除胚胎電子系統中，修復1次故障，消耗1列空閑細胞。胚胎電子系統的最大修復次數為電子細胞備份空閑細胞列的數目。列移除自修復胚胎電子系統的修復過程與胚胎電子系統數學描述的分析過程一致，因此列移除胚胎電子系統結構與性能的數學描述函數能夠有效地描述胚胎電子系統。同理，可以驗證細胞移除胚胎電子系統數學描述函數的有效性和正確性。

3 胚胎電子系統數學描述方法應用

胚胎電子系統結構與性能的數學描述方法將胚胎電子系統研究由電路領域轉化為數學領域，能夠簡化胚胎電子系統的研究。本文利用系統的數學描述方法研究胚胎電子系統的功能判斷、性能評估和工作狀態分析，指導胚胎電子系統的結構設計，指導胚胎電子系統的自修復方式選擇，對胚胎電子系統的可靠性進行分析建模，并研究胚胎電子系統的預防性維修決策。

3.1 胚胎電子系統數學描述與分析

設胚胎電子系統的規模為M×N=15×15，工作系統的規模為m×n=12×10. 下面通過電子系統的數學描述方法對系統進行描述和分析。

3.1.1 系統功能判斷

功能函數主要用于判斷系統能否正常工作，在工作過程中建立系統的功能函數，根據系統的故障次數衡量系統功能函數的值，從而判斷系統能否正常工作。

對于列移除故障自修復胚胎電子系統，根據2.2.1節的分析可知，系統的功能函數為Fc為

(12)

式中：Fkc為系統中電子細胞列的功能函數，1≤kc≤15. 胚胎電子系統開始工作階段，所有的電子細胞列均能夠正常工作，即F1=F2=…=F15=1，且μ1=μ2=…=μ10=1，γ11=γ12=…=γ15=0. 系統中故障次數不超過5次，發生1次故障，對應工作細胞列系數μkc從1變為0，同時，系統1個空閑細胞列系數γkc從0變為1，功能函數Fc=10，系統繼續正常工作。當系統中工作細胞故障次數大于5時，空閑細胞列被完全使用，系統的功能函數Fc10，胚胎電子系統功能將失效。

細胞移除自修復胚胎電子系統中，根據2.2.2節的分析可知，系統的功能函數為Fe為

(13)

式中：fke為系統中電子細胞的功能函數，1≤ke≤195. 電子系統開始工作階段，系統所有的電子細胞均能夠正常工作，即f1=f2=…=f225=1，且μ1=μ2=…=μ120=1，γ121=γ122=…=γ195=0. 當系統中故障次數不超過75次時，發生1次故障，對應工作細胞系數μke從1變為0，同時，系統1個空閑細胞系數γke從0變為1，功能函數Fe=120，系統繼續正常工作。當胚胎電子系統故障次數大于75次時，空閑細胞被完全使用，系統的功能函數Fe120，胚胎電子系統功能將失效。

3.1.2 系統性能評估

胚胎電子系統的自修復能力和硬件消耗是衡量系統性能的兩個重要指標，利用自修復能力函數來評估系統的自修復能力，利用硬件消耗函數來評估系統的硬件資源消耗。

列移除自修復胚胎電子系統中，系統的自修復函數Pc(T)為

Pc(T)=5-T.

(14)

由(14)式可得系統的故障自修復能力變化如圖7所示。由(7)式計算可知，列移除自修復胚胎電子系統的硬件消耗Hc約為4.278 9×106個MOS場效應管。

細胞移除自修復胚胎電子系統中，系統的自修復函數Pe(T)為

Pe(T)=75-T.

(15)

由(15)式可得系統的故障自修復能力變化如圖7所示。由(9)式計算可知，細胞移除自修復胚胎電子系統的硬件消耗He約為4.288 9×107個MOS場效應管。

圖7為兩種自修復方式下胚胎電子系統自修復能力的變化。由圖7可見，隨著系統故障次數的增加，系統自修復次數線性減少，最后變為0. 電子系統工作規模確定后，系統內空閑細胞列和空閑細胞數目相應確定，分別為5和75. 隨著系統內故障的發生，系統內空閑細胞列或空閑細胞不斷被消耗。在列移除自修復方式下，系統發生5次故障后，系統自修復能力降為0，如果再次故障，系統功能將失效。同理，細胞移除自修復方式下，系統發生75次故障后，系統自修復能力降為0，如果再次故障，系統功能將失效。

3.1.3 系統工作狀態分析

在列移除自修復胚胎電子系統中，系統工作的狀態集Xc={sc0,sc1,…,sc5,0}，系統共有7個狀態，系統的狀態函數Sc(T)為

(16)

在列移除自修復胚胎電子系統中，當系統中故障次數不大于5次時，系統均能正常工作。電子系統工作過程中，工作狀態的變化規律如(16)式所示，當系統故障次數大于5次，系統將失效，處于狀態0.

在細胞移除自修復胚胎電子系統中，系統工作的狀態集Xe={se0,se1,…,se75,0}，系統共有77個狀態，系統的狀態函數Se(T)為

(17)

細胞移除自修復胚胎電子系統中，當系統中故障次數不大于75次時，系統均能正常工作。電子系統工作過程中，工作狀態變化規律如(17)式所示，當系統故障次數大于75次時，系統將失效，處于狀態0.

3.2 胚胎電子系統結構優化設計

自修復能力和硬件消耗是衡量系統性能的兩個重要指標，胚胎電子系統結構設計過程中，利用系統的自修復函數和硬件消耗函數對系統的性能進行評估，從而優化系統的結構設計。已知工作電子系統的規模固定為m×n，即m和n的值固定，系統中總的電子細胞數目固定為M×N，系統中空閑細胞數目為M×N-m×n，通過改變空閑細胞的備份方式，可以改變系統的性能。

3.2.1 列移除自修復胚胎電子系統

在列移除自修復胚胎電子系統中，系統的自修復能力函數Pc(T)如(6)式所示。工作系統的列數n確定，系統的自修復能力僅與系統的列數N相關。

系統的硬件消耗函數Hc如(7)式所示，式中n確定，M×N為定值，系統行列數M和N的改變，會導致系統硬件消耗有少量的改變，但是改變量相對于系統的硬件消耗可忽略不計。固定規模列移除自修復的胚胎電子系統設計過程中，系統只進行行空閑細胞配置。

3.2.2 細胞移除自修復胚胎電子系統

細胞移除自修復的胚胎電子系統中，系統的自修復函數Pe(T)如(8)式所示，式中M×N為定值，n確定，系統行數M越大，系統的自修復能力越低，反之，系統的自修復能力越高。

系統的硬件消耗函數He如(9)式所示，式中M×N為定值，m×n為定值。系統行列數M和N的改變，會使系統的硬件消耗有微小的變化，但是變化量相對于系統的硬件消耗可忽略不計。因此，固定規模細胞移除自修復的胚胎電子系統中，電子系統應選擇最少的行數，即M=m，從而使系統獲得最大的自修復能力。

設胚胎電子系統中工作系統布局為m×n=10×10，系統中總的電子細胞數目為400，即M×N=400，則Mmin=10，Mmax=40，因為胚胎電子系統的行列數均為整數，所以取M為10、16、20、25、40.M從Mmin增加到Mmax的過程中，兩種不同自修復方式下，胚胎電子系統的理論最大自修復能力變化如圖8所示，電子系統的硬件消耗變化如圖9所示。

圖8和圖9中“列移除”表示列移除自修復胚胎電子系統，“細胞移除”表示細胞移除自修復胚胎電子系統。圖8中，胚胎電子系統行數M從10增加到40的過程中，列移除自修復和細胞移除自修復胚胎電子系統的理論最大自修復次數均近似呈線性減少。圖9中，胚胎電子系統行數M從10增加到40的過程中，系統的硬件消耗先減小、后增加，而后再減小、后增加，但是硬件消耗的變化量相對于系統的硬件消耗幾乎可以忽略不計，因此系統的硬件消耗變化近似呈直線。

列移除自修復和細胞移除自修復的胚胎電子系統中，隨著系統行數M的增加，系統理論最大自修復次數不斷減少，而系統的硬件消耗幾乎不變化。因此在列移除自修復和細胞移除自修復的胚胎電子系統中，選擇最小的系統列數，即M=m=10，系統可以獲得最大的理論自修復次數。

3.3 胚胎電子系統自修復方式選擇

胚胎電子系統在設計過程中，系統的可靠性和硬件消耗都有相應的限制。系統選擇不同的故障自修復方式，將直接影響到系統的可靠性和硬件資源消耗。根據系統設計要求，選擇不同的自修復方式，使系統的性能滿足設計要求。

胚胎電子系統的規模為M×N，工作系統的布局固定為m×n，采用列移除故障自修復方法，胚胎電子系統的最大自修復能力Pc為

Pc=N-n，

(18)

此時系統的硬件消耗函數Hc如(7)式所示。

采用細胞移除自修復方法，胚胎電子系統的最大自修復能力Pe為

(19)

此時系統的硬件消耗函數He如(9)式所示。

胚胎電子系統規模和工作系統規模確定后，根據系統的性能函數計算系統的自修復能力和硬件消耗，然后根據系統硬件消耗和可靠性的設計要求，選擇合適的自修復方式。

設胚胎電子系統的布局M×N=30×30，工作系統布局m×n=20×20，系統的設計要求為：1) 系統的自修復次數大于20；2) 系統的硬件消耗小于1.0×108個MOS場效應管。

胚胎電子系統的自修復能力和硬件消耗如表3所示。

根據表3中的數據，在設計要求1下，胚胎電子系統應選擇細胞移除自修復方式；在設計要求2下，系統應選擇列移除自修復方式。

表3 胚胎電子系統自修復能力和硬件消耗

3.4 胚胎電子系統可靠性分析

根據胚胎電子系統狀態函數可知，系統在正常工作的過程中存在多種狀態，這符合多態系統的基本定義。多態系統理論能準確定義部件的多態性，能夠透徹地分析部件性能的變化對系統性能和可靠性的影響，以及系統失效的漸變過程，在復雜系統可靠性分析和優化設計領域有廣闊的應用前景。

參考文獻[29-30]中利用通用生成函數(UGF)對多態系統可靠性分析的方法，對胚胎電子系統的可靠性進行分析。胚胎電子系統的規模為M×N，工作系統的規模為m×n. 設電子細胞退化過程服從指數分布，電子細胞的失效率為λ. 列移除自修復胚胎電子系統中，工作細胞列的可靠度pc(t)=e-mλt，系統的工作狀態及對應的狀態概率如表4所示。

表4 列移除自修復胚胎電子系統工作狀態

由表4可知，胚胎電子系統共有N-n+2個工作狀態，其中狀態0為系統的故障狀態，即系統內可正常工作電子細胞列數目小于n，則pc0(t)為

(20)

狀態1表示系統內可正常工作的電子細胞列數目剛好等于n，則pc1(t)為

(21)

狀態α(1≤α≤N-n+1)表示系統內可正常工作細胞列的數目為n+α-1，則pcα(t)為

(22)

狀態N-n+1表示系統內所有電子細胞列均可以正常工作，則pc(N-n+1)(t)為

(23)

為保證系統能夠正常工作，系統的工作狀態必須大于0，因此系統可靠度為系統大于0的各個工作狀態對應概率之和，系統的可靠度Rc(t)為

(24)

可靠度的本質是一個概率，為了能夠從時間角度給出系統可靠性的評價指標，采用平均故障前時間(MTTF)作為系統可靠性的衡量指標，列移除自修復胚胎電子系統的MTTF可用Tc表示為

(25)

表5 細胞移除自修復胚胎電子系統工作狀態

由表5可知，經過處理后，系統共有M-m+2個狀態，其中狀態0為系統的故障狀態，即系統內可正常工作電子細胞行的數目小于m，則pr0(t)為

(26)

狀態1表示系統內可正常工作電子細胞的行數目剛好等于m，則pr1(t)為

(27)

狀態α(1≤α≤M-m+1)表示系統內可正常工作的細胞行為m+α-1，則prα(t)為

(28)

狀態M-m+1表示系統內所有電子細胞行均可以正常工作，則pr(M-m+1)(t)為

(29)

因此，細胞移除自修復胚胎電子系統的可靠度Rr(t)為

(30)

同理，細胞移除自修復胚胎電子系統的MTTF可用Tr表示為

(31)

胚胎電子系統可靠性模型驗證的最好方法是通過加速退化實驗得到電路的退化曲線，與胚胎電子系統基于多態系統可靠性理論建立的可靠性模型獲得的數據進行對比，從而對胚胎電子系統可靠性模型進行驗證。但是，胚胎電子系統的研究主要還處于理論研究階段，尚缺少較為成熟的專用硬件，因此采用加速退化實驗方法獲得胚胎電子系統的可靠性曲線難以實現。

目前，n/k系統可靠性理論被廣泛應用于分析胚胎電子系統的可靠性，因此選擇基于n/k系統可靠性理論的胚胎電子系統可靠性模型來對基于多態系統理論的胚胎電子系統可靠性模型進行驗證。選擇不同規模的胚胎電子系統，分別采用兩種可靠性模型對胚胎電子系統的可靠性進行分析，對比兩種可靠性模型下胚胎電子系統的可靠性數據，從而對基于多態系統理論胚胎電子系統可靠性模型進行驗證。

分別選取5組規模的胚胎電子系統，系統規模如表6所示，分別采用兩種可靠性模型對胚胎電子系統的可靠性進行分析，行移除自修復胚胎電子系統的可靠度曲線如圖10所示，細胞移除自修復胚胎電子系統的可靠度曲線如圖11所示。

表6 5種不同規模的胚胎電子系統

圖10所示為行移除自修復胚胎電子系統的可靠度曲線，“n/k”表示基于n/k系統可靠性模型的胚胎電子系統可靠度曲線，“多態”表示基于多態系統可靠性模型的胚胎電子系統可靠度曲線。由圖10可見，5種規模胚胎電子系統的可靠度變化規律幾乎一致，電子系統的可靠度均隨著系統工作時間的增加而下降，電子系統的可靠度均從1下降為0. 5種規模胚胎電子系統使用兩種系統可靠性模型得到的系統可靠性曲線幾乎完全重合，表明基于多態系統理論的胚胎電子系統可靠性模型能夠準確描述胚胎電子系統的可靠度變化。

行移除故障自修復胚胎電子系統中，電子細胞失效的概率相同，電子系統中每行電子細胞數目越多，該行電子細胞出現故障的概率就高，由表6和圖10可知，電子系統規模越大，系統的可靠性下降越快。

圖11為細胞移除自修復胚胎電子系統的可靠度曲線。由圖11可見，電子系統的可靠度均隨著系統工作時間的增加而下降，電子系統的可靠度均從1下降為0. 5種規模胚胎電子系統使用兩種可靠性模型獲得的電子系統可靠度曲線幾乎完全重合，表明基于多態系統理論的胚胎電子系統可靠性模型能夠準確描述胚胎電子系統的可靠度變化。

3.5 胚胎電子系統預防性維修

預防性維修是指通過對產品的系統檢查、設備測試和更換以防止功能故障發生，使其保持規定狀態所進行的全部活動。胚胎電子系統具有一定的故障自修復能力，但是自修復能力是有限的。為了保證胚胎電子系統長時間處于正常工作狀態，必須研究胚胎電子系統的預防性維修。

胚胎電子系統具有故障自檢測能力，系統工作過程出現故障的次數為T，出現T次故障系統已經工作的時間為tT. 假設電子細胞的退化過程服從指數分布，電子細胞的失效率為λ，電子細胞的可靠度為e-λt.

利用系統自修復能力函數，可以得到系統自修復能力。系統自修復能力剛好等于0時，利用系統的可靠性分析模型，計算系統此時的MTTF. 根據胚胎電子系統的MTTF值，確定系統預防性維修的時間。

列移除自修復胚胎電子系統的自修復能力函數Pc(T)如(6)式所示。當T=N-n時系統的自修復能力為0，系統仍能正常工作，系統此時的MTTF可用Ec表示為

(32)

細胞移除自修復胚胎電子系統自修復能力函數Pe(T)如(8)式所示。當T=M×N-M×n時系統的自修復能力為0，系統仍能正常工作，系統此時的MTTF可用Er表示為

(33)

胚胎電子系統的規模M×N=10×10，m×n=5×5，λ=5×10-6/h. 在列移除故障自修復方式下，電子系統工作5×104h出現第5次故障，此時系統仍能夠正常工作，但是不具有自修復能力，由(32)式可知胚胎電子系統此時的MTTF為Ec=1.024×103h，因此胚胎電子系統在1.024×103h內應該進行電子細胞更換，從而保證電子系統能夠繼續正常工作。

同理，在細胞移除故障自修復方式下，電子系統在1.6×105h出現第50次故障，此時系統仍能夠正常工作，但是不具有自修復能力，由(33)式可知胚胎電子系統此時的MTTF為Er=1.481×103h，因此胚胎電子系統在1.481×103h內應該進行胚胎電子細胞更換，從而保證電子系統能夠繼續正常工作。

4 結論

本文分析了胚胎電子系統結構特點、工作原理和自修復方式，建立了胚胎電子系統功能函數、性能函數和狀態函數，提出了一種典型胚胎電子系統結構與性能的數學描述方法，從數學角度對胚胎電子系統進行了深入研究。

研究電子系統結構與性能描述方法中的功能函數，得到了胚胎電子系統功能判斷的方法，能夠準確判斷系統的工作狀態；研究電子系統的性能函數，得到了胚胎電子系統的結構設計準則、故障自修復方式選擇方法和預防性維修的時間，能夠更好指導電子系統設計；研究系統狀態函數，基于多態系統理論對胚胎電子系統的可靠性進行了分析和建模，提供了一種可靠性分析新方法。

仿真與分析結果表明，提出的典型胚胎電子系統結構與性能數學描述方法能夠有效地描述胚胎電子系統，并能夠用于研究胚胎電子系統的功能判斷、結構優化設計、自修復方式選擇、可靠性建模分析和預防性維修決策，為胚胎電子系統的研究提供了一種新方法。

在未來研究中，將考慮電子細胞內部和電子細胞間的導線連接，提高系統的功能函數和性能函數描述的準確性。引入自修復過程復雜度指標，完善系統的性能函數描述。