基于殼梁組合單元預應力混凝土梁非線性響應

汪 鋒， 陳艾榮， 張 劍

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2. 南京航空航天大學 航空宇航學院，江蘇 南京 210016)

橋梁是公路交通的咽喉，其使用功能的優劣直接影響整條線路的暢通[1-2].以鋼筋混凝土或預應力混凝土修建的各類橋梁占我國現役橋梁的絕大多數，其中T型截面梁具有構造簡潔，并且適應現代化施工方法的要求，施工與使用過程中穩定性好，在預應力混凝土橋梁中被廣泛采用.隨著鋼筋混凝土非線性有限元理論的逐漸成熟和完善[3-6]，也有越來越多關于T梁的研究成果出現：文獻[7]采用具有假定彎矩-曲率關系的分層梁單元對T梁進行了非線性分析.文獻[8]對當時運行約10年的滬寧高速上某錫澄運河大橋引橋(預應力混凝土簡支多梁式T梁橋)進行極限狀態試驗研究，其橋梁極限狀態(破壞性)試驗研究屬于現場實橋試驗破壞性研究，試驗對象為目前公路橋梁中應用比較廣泛的橋型，具有相當的代表性；關于實橋破壞性試驗研究本身，在國內尚屬空白；而對預應力混凝土簡支多梁式梁橋這類橋梁的現場實橋極限狀態試驗研究，目前在世界范圍內也屬首例.文獻[9]結合該座預應力混凝土多T梁橋實橋破壞性試驗資料，基于實體退化殼單元，研究了多T梁橋極限承載力的計算方法.文獻[10]采用不同單元對T梁進行模擬，即分別采用梁單元和分層板單元模擬T梁的梁肋和翼緣板，并對T梁進行了相應分析.文獻[11]進行了預應力混凝土T梁的極限承載力等力學性能的預測評估，利用混合殼單元建立了T梁有限元計算模型，并應用非線性理論對T梁進行了分析，其中T梁中預應力鋼筋采用桿單元模型.文獻[12]對二根跨徑25 m的裝配式后張法預應力混凝土簡支梁靜載試驗，對裂縫發展模式等進行統計分析.文獻[13]通過對秦沈客運專線整體多片式T梁橋的結構空間有限元分析，進行主梁橫向分析系數、主梁正應力分析、橋面板的作用分析，論述了整體多片式T梁的橋面橫向應力及橫截面的框架效應.此外，還有學者構造不同單元分析T梁結構行為[14-17].在鋼筋混凝土非線性有限元分析中，組合式模型介于分離式和整體式之間，在單元分析時，先分別求得混凝土和鋼筋對組合單元剛度矩陣的貢獻，再組成一個復合的單元，這種模型能在一定程度上反映鋼筋和混凝土的相互作用，其有限元離散工作量和計算規模都不大，在實際鋼筋混凝土結構中便于采用，如文獻[18]對平面問題的組合式模型和鋼筋層對體單元剛度矩陣貢獻的組合式模型進行了研究；文獻[19]研究了基于體單元和梁單元的組合式模型，并用此組合式單元對鋼筋混凝土結構彈性階段進行了分析.

為此，本文基于分層殼單元和梁單元計算模式，推導預應力混凝土T梁的非線性殼梁組合單元，并建立預應力混凝土T梁的非線性有限元模型.結合已有的試驗成果，考證所建立的預應力混凝土T梁的非線性殼梁組合單元模型的正確性，并對其受力性能進行研究.

1 預應力混凝土T梁的殼梁組合單元

δk=[ukvkwkβ1kβ2k]T

(1)

式中：δk為實體退化殼元節點k的節點位移列陣，uk、vk、wk為節點k在整體坐標系中的線位移.

a 退化殼單元坐標系

b 節點轉角位移

Fig.1DescriptionofCoordinatesystemofthedegenerateshellelementandangulardisplacementofthenode

位移場通過形函數插值可表示為[12]

(2)

(3)

(4)

式中：u、v、w為整體坐標系下x、y、z方向的位移;n為殼元節點數;Ni為節點i的形函數;hi為節點i處殼元厚度;νx,1i為節點i的節點坐標系ν1與x軸夾角余弦值(其余類推).

基于實體退化殼得到的分層殼單元具有良好的數值穩定性[20-21].同時文獻[11]中利用大變形桿單元模擬預應力筋，利用節點線位移協調推導了一種桿殼組合單元，已對相應結構進行了全過程分析，表明在預應力混凝土梁中，預應力鋼筋是梁內主要受力筋，其在梁體中考慮用組合單元處理.本文利用空間梁單元模擬預應力鋼筋，根據節點線位移和轉角位移協調性，推導非線性殼梁組合單元.殼梁組合單元如圖2所示，其中預應力鋼筋用空間梁單元模擬如圖3所示，預應力鋼筋單元節點用A和B表示.圖3中uA、vA、wA為節點A在整體坐標系下x、y、z方向的線位移，θxA、θyA、θzA為節點A在整體坐標系下繞x、y、z軸的轉角位移，節點B的位移變量依此類推.

圖2 預應力混凝土梁的單元模型Fig.2 Element model of the prestressed concrete beam

轉角位移場通過形函數插值由式(5)～(7)表示如下：

(5)

(6)

(7)

式中：θx、θy、θz為繞整體坐標系x、y、z方向的轉角位移場.

利用位移插值關系式(2)～(7)，則預應力鋼筋單元的起點A和終點B線位移和轉角位移可用退化單元的節點位移表示為

圖3 預應力鋼筋的空間梁單元Fig.3 Spacial beam element of the prestressed reinforcement

(8)

(9)

δS=RδC

(10)

應用虛功原理[13]，推得預應力筋單元對組合單元剛度矩陣的貢獻如下:

(11)

(12)

式中：Ke為組合單元剛度矩陣；m為混凝土層數，KCk為第k層混凝土的剛度矩陣；KS為普通鋼筋層的剛度矩陣.

2 預應力混凝土T梁的非線性效應

2.1 混凝土的非線性描述

對于混凝土的材料非線性，考慮其屈服、強化、拉伸剛化和壓碎過程.本文選用Owen混凝土雙參數屈服準則和Hinton壓碎準則.Owen混凝土雙參數屈服準則表達式為

f(I1,J2)=(αI1+3βJ2)1/2=σ0

(13)

式中：I1為應力張量第一不變量；J2為應力偏量第二不變量；σ0為等效應力;α、β為材料參數，α取1.355，β取0.355.

Hinton壓碎準則表達式為

(14)

2.2 鋼筋的非線性描述

本文假定普通鋼筋和預應力鋼筋均為力學性能是單向的理想彈塑性材料，以模擬其材料非線性特性.普通鋼筋采用殼元中等效厚度的層單元考慮[13].假定每一鋼筋層的力學性能是單向的，只能承受沿鋼筋方向的軸向力.預應力效應的準確模擬對結構分析至關重要，本文預應力鋼筋采用空間梁單元考慮[5].沿梁單元局部坐標的軸向方向，輸入估算得到的有效預應力作為初始預應力，并將其處理為等效節點荷載施加于預應力混凝土梁進行結構分析.

3 非線性分析的收斂準則

收斂準則一般分為：力系收斂準則和位移收斂準則.在預應力混凝土結構非線性分析中，不平衡力常可形成一些平衡力系，使得解不能單調收斂，因此采用位移收斂準則，取

(15)

式中：δi為第i增量步的非線性方程組迭代時的收斂解，即預應力混凝土T梁第i增量步整體位移向量；δi+1為第i+1增量步的非線性方程組迭代時的收斂解；ε為收斂容差(可取為5%).

4 算例分析

4.1 試驗梁資料

為研究預應力混凝土T梁的非線性受力性能，交通部第二勘查設計院進行了二根裝配式后張法全預應力混凝土簡支T梁的試驗[12].預應力混凝土T梁尺寸如圖4所示(圖中,p為荷載).采用40號混凝土，預應力鋼筋采用24Φ5的冷拉碳素鋼絲，極限抗拉強度1 600 MPa，控制張拉應力1 200 MPa.混凝土抗壓強度36 MPa，抗拉強度3.35 MPa.混凝土彈性模量36 GPa，預應力鋼筋彈性模量220 GPa.6根預應力鋼筋沿T梁縱向位置坐標以及普通鋼筋等構造詳見文獻[12].

a I-I截面b 試驗加載圖c II-II截面

圖4預應力鋼筋混凝土T梁的構造及加載方式(單位：m)

Fig.4ConfigurationandloadingtypeoftheprestressedreinforcedconcreteTbeam(unit:m)

4.2 荷載撓度曲線及剛度折減規律

為進行預應力混凝土試驗T梁非線性受力性能分析，建立非線性力學分析模型，共分176個單元，759個節點，其中殼梁組合單元48個，分層殼單元128個.對普通鋼筋和混凝土均采用分層殼單元模擬，對預應力鋼筋用殼梁組合單元模擬.由試驗方法測得二根試驗梁的極限承載力為1 104 kN和1 125.8 kN.利用本文的殼梁組合單元方法，計算得預應力混凝土T梁的極限承載力為1 100 kN.梁體1/4跨和跨中梁底的荷載-撓度曲線分別如圖5和圖6所示，典型加載步下梁的裂縫發展模式如圖7所示.

圖5 1/4跨荷載撓度曲線Fig.5 loaddeflection curve of the 1/4 span

圖6 跨中荷載撓度曲線Fig.6 loaddeflection curve of the half span

a 荷載步13時

b 荷載步17時

圖7典型加載步下預應力混凝土T梁的裂縫發展圖

Fig.7CrackdevelopmentdiagramoftheprestressedconcreteTbeamattypicalloadingstep

由圖5和圖6的計算結果知，本文方法與試驗結果吻合程度良好，說明非線性殼梁組合單元計算方法為正確.由圖7可知，本文所得混凝土簡支梁梁的裂縫發展規律與已有資料相符[9、11].本文定義“剛度折減系數” ，主要描述在不同加載階段，梁體剛度的變化情況.剛度折減系數的表達式為

(16)

式中：β為梁體剛度折減系數；pt為t時刻的加載量；st為t時刻的梁跨中撓度值；pt/st為t時刻的梁割線剛度;p0/s0為梁的初始割線剛度.由圖6計算結果可知跨中剛度變化規律(剛度折減系數)見表1.

表1中，剛度折減系數18.19=(1-10.95/13.55)×100%.由表1可知，在加載初期，T梁處于彈性階段，剛度未出現明顯折減.其后隨著加載量增大，T梁剛度折減系數越來越大，表明其繼續承受荷載的能力越來越小.本文對預應力筋采用了梁單元處理，也可以采用層單元和桿單元模擬，這在相關成果中已得到了驗證[20-21].

表1 預應力混凝土T梁跨中的剛度折減Tab.1 Stiffness reduction in the half span of the prestressed concrete T beam

4.3 預應力筋的應力重分布規律

預應力混凝土T梁典型截面的梁底預應力鋼筋的應力-荷載曲線如圖8所示.由圖8計算結果可知，接近破壞時，跨中截面的預應力筋已達1 547.02 MPa.跨中預應力筋的應力增長速度最快，1/4跨預應力筋的應力增長速度次之，1/8跨預應力筋的應力增長緩慢，而支座處預應力筋的應力-荷載曲線基本保持水平.

本文提出“應力重分布系數”來描述不同加載階段應力增量對相應荷載增量的變化率與彈性階段的應力增量對相應荷載增量的變化率之比值，分析應力的變化速度.應力重分布系數表達式為

(17)

式中：η為應力重分布系數；Δpt為t-1至t時段的荷載增量;Δσt為與荷載增量Δpt為t-1至t時段的應力增量;Δp0為彈性階段的荷載增量;Δσ0為彈性階段的應力增量.由圖8可得跨中預應力筋的應力重分布規律(應力增長率和應力重分布系數)見表2.

圖8 梁底預應力筋的應力荷載曲線Fig.8 Stressload curve of the prestressed tendons at the bottom of the beam

荷載步荷載p/kN應力σ/MPa荷載增量Δp/kN應力增量Δσ/MPa應力增長率Δσ/Δp重分布系數所處階段00.01 0009585.61 181.55585.6181.550.31113765.61 321.18180.0139.630.782.5015855.61 401.4790.080.290.892.8817945.81 456.5490.255.070.611.97191 035.81 503.8790.047.330.531.70211 100.01 547.0264.243.150.672.17彈性非線性

表2中，90.20=945.8-855.6；55.07=1 456.54-1 401.47；0.61=55.07/90.2；1.97=0.61/0.31.由表2可知，隨著荷載增大，預應力筋的應力增長率和重分布系數都發生一定變化，其比彈性階段相比都有增大.在加載過程中混凝土出現裂縫及壓碎后，所施加的荷載逐漸轉為由預應力鋼筋來承擔，故與彈性階段相比，其應力增長速度較大.

5 結語

本文基于分層殼單元和梁單元計算模式，對預應力鋼筋采用殼梁組合單元模擬，對普通鋼筋和混凝土采用分層殼單元模擬，推導了殼梁組合單元并對預應力混凝土T梁的受力性能進行了分析.結合試驗梁數據分析表明：本文推演的非線性殼梁組合單元用于此類結構分析是合適的，且所采用的Owen準則等能較為有效地描述混凝土T梁的材料非線性；預應力筋的空間預應力效應可采用空間梁單元進行較為準確地模擬；隨著加載量增大，預應力混凝土T梁剛度折減系數增大，預應力鋼筋的應力增長率較彈性階段增大，直至結構失效破壞.