納皮爾的對數(shù)模型

王斌儒 甘肅有色冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院 劉延卿 內(nèi)蒙古通遼市第一中學(xué)

16世紀(jì)的歐洲大陸，資本主義蓬勃發(fā)展，在中世紀(jì)萬馬齊喑的科學(xué)技術(shù)也煥然一新。遠(yuǎn)洋航行、天文觀測、船舶制造、軍事創(chuàng)新的要求，源源不斷地為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了不竭的動(dòng)力，各種新思想新方法層出不窮，其中許多方法旨在簡化計(jì)算。

一種辦法是使用三角恒等式：

另一種辦法是使用由完全平方公式得到的恒等式：

上述方法在實(shí)際應(yīng)用中是不夠的，局限性很強(qiáng)。事實(shí)上，我們需要從乘法群到加法群的一個(gè)同構(gòu)映射將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算，而這正是納皮爾對數(shù)簡化計(jì)算的本質(zhì)。

1 納皮爾對數(shù)的起源

納皮爾最初的動(dòng)機(jī)是簡化三角學(xué)的計(jì)算，特別是在天文學(xué)中極為重要的球面三角問題。在納皮爾的時(shí)代，一個(gè)角的正弦并不是現(xiàn)在熟知的比值，也不是一個(gè)確定的數(shù)，而是角所對弦長的一半。

我們假設(shè)現(xiàn)在給定一個(gè)圓和圓心角，AB是圓內(nèi)任意一條弦，并且C為AB的中點(diǎn)，如圖 1所示：

圖 1

此時(shí) 在數(shù)值上就等于｜ ｜。我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)納皮爾時(shí)代正弦值是隨著半徑變化的，半徑越大，正弦值也就越大。

納皮爾由此出發(fā)著手建立正弦的對數(shù)表。納皮爾選擇半徑為107的圓，他的對數(shù)表由間隔一分的107的對數(shù)值組成。

2 等比數(shù)列與等差數(shù)列的對應(yīng)

表 1

容易看出等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的乘積對應(yīng)等差數(shù)列中兩項(xiàng)的和。如果等比數(shù)列足夠稠密，理論上可以用上表來計(jì)算任意兩個(gè)數(shù)的乘積（當(dāng)時(shí)主要是三角函數(shù)值的乘積）。

基于這個(gè)樸素的想法，納皮爾對數(shù)橫空出世了。

最終納皮爾選擇了 =1-10-7，這樣等比數(shù)列中的各項(xiàng)就緊緊挨在一起了。事實(shí)上，這樣導(dǎo)致項(xiàng)的間距過小，為了避免出現(xiàn)小數(shù)，加之當(dāng)時(shí)最精確的正弦表是7位有效數(shù)字，納皮爾將每一項(xiàng)都乘以107，就是說規(guī)定：

表 2

如果用 表示納皮爾的對數(shù)，就有

如果將表 2中的數(shù)都除以107，就得到表 3。

表 3

表 4

如果不計(jì)比例系數(shù)107，可以發(fā)現(xiàn)LN(ab)=LN(a)+LN(B)，也就是說納皮爾對數(shù)是從到的一個(gè)同構(gòu)映射，把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了加法運(yùn)算。

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

為了計(jì)算任意一個(gè)數(shù)的對數(shù)，需要對數(shù)函數(shù)的連續(xù)定義，而不是來自數(shù)列的離散定義，我們更加關(guān)心的是納皮爾連續(xù)的對數(shù)定義。

從等比數(shù)列到等差數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系是定義對數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵。納皮爾從運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)建立了模型。模型源自一個(gè)樸素的想法：用一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)代替等差數(shù)列，用一個(gè)速度成比例的點(diǎn)代替等比數(shù)列。納皮爾對數(shù)的定義，實(shí)際上是通過考慮兩個(gè)點(diǎn)沿著兩條直線的運(yùn)動(dòng)而給出的，因?yàn)榧{皮爾時(shí)代只有物理運(yùn)動(dòng)的直觀概念才能為連續(xù)變量的定量研究提供理論根據(jù)。直線上的動(dòng)點(diǎn)直觀上被看作是連續(xù)的，納皮爾把對數(shù)和動(dòng)點(diǎn)對應(yīng)起來，直觀上保證了對數(shù)的連續(xù)性。嚴(yán)格地講，動(dòng)點(diǎn)的速度是連續(xù)變化的，納皮爾時(shí)代沒有處理連續(xù)函數(shù)的數(shù)學(xué)工具，納皮爾模型的嚴(yán)格表述需要使用微積分。

下面給出納皮爾的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，見圖 2。假定線段AB的長度是定值 107。

圖 2

CD是一條無限延伸的直線。當(dāng)t=0時(shí)，令P、Q兩點(diǎn)分別從A、C出發(fā)。Q在CD上以速度107勻速運(yùn)動(dòng)。P在AB上的速度與PB的長度成正比，P的初速度也是107，容易知道P由A到B的速度從107減到 0。

假設(shè)t時(shí)刻，P到B的距離PB=X，Q到C的距離CQ=y。

納皮爾規(guī)定：y是x的對數(shù)。我們記作y=LN(x)

我們接下來建立起它和通常意義下對數(shù)的聯(lián)系。

P在A點(diǎn)時(shí)，我們有PB=107同時(shí)CQ=0，所以LN(107)=0。

我們通過解一階線性微分方程來看看納皮爾的函數(shù)y=LN(x)究竟是什么。

根據(jù)納皮爾的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，我們有

積分得y=-107lnx+c

根據(jù)初值條件t=0時(shí)，x=107，y=0，因此得 c=107ln107。

做一個(gè)簡單的變換，可以有我們更熟悉的形式。如果令

所以如果忽略因子107，我們可以再次得出本質(zhì)上納皮爾的對數(shù)是以 為底的。

我們只要對納皮爾的模型稍稍加以修正就很容易地導(dǎo)出自然對數(shù)。我們假定P的速度與AP的長度成正比，Q的速度仍為常數(shù)。同時(shí)規(guī)定t=0時(shí)，AP=1，CQ=0。可以得到和上面類似的一個(gè)一階線性微分方程，并且以自然對數(shù)y=lnx為解。

納皮爾從1594年萌生對數(shù)的初步想法，經(jīng)過20年的深入思考和精密計(jì)算，到1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》（Mirifici logarithmorum canonis descriptio），正式宣告了對數(shù)的發(fā)明。200年后，法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯毫不吝嗇地盛贊對數(shù)：通過減少體力勞動(dòng)，使天文學(xué)家的生命倍增。