在操作體驗(yàn)中理解概念

李蘭瑛

【教學(xué)背景分析】

一、教材分析

“什么是面積”是北師大版三年級(jí)下冊(cè)第四單元“面積”的起始課。本節(jié)課的內(nèi)容是幫助學(xué)生初步建立面積的概念。

學(xué)生在此之前一直在研究一維空間的“線”，也就是長(zhǎng)度概念，本節(jié)課是第一次認(rèn)識(shí)二維空間的“面”，就是面積概念，后續(xù)還要研究有關(guān)面積的計(jì)算，以及應(yīng)用面積的概念解決實(shí)際問(wèn)題。從一維的長(zhǎng)度到二維的面積是“由線到面”的一次質(zhì)的飛躍。

教材結(jié)合四個(gè)具體實(shí)例，初步感知面積的含義。然后通過(guò)實(shí)踐操作比較兩個(gè)圖形面積的大小及策略的多樣性。學(xué)生初步感知在多種方法中用正方形進(jìn)行測(cè)量和比較的優(yōu)點(diǎn)，從而為后面學(xué)習(xí)面積單位做好鋪墊。

比對(duì)了人教版、蘇教版、北師大版等版本的數(shù)學(xué)教材，發(fā)現(xiàn)多數(shù)教材都是先認(rèn)識(shí)面，再來(lái)理解面積。重視比較兩個(gè)圖形面積大小的實(shí)踐操作，讓學(xué)生體會(huì)比較面積大小策略的多樣性，在度量的活動(dòng)中幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在比較的策略上北師大版教材凸顯了鼓勵(lì)學(xué)生用多種策略去比較面積大小的理念。除了直觀看以外，還分為直接比較——重疊，間接比較——無(wú)論是用圓片、小正方形還是畫格子，目的是找到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，用一個(gè)“單位”去量，從而理解度量的含義。

到底什么是面積呢？

我們知道，幾何學(xué)起源于圖形大小的度量。根據(jù)圖形的維數(shù)，把度量一維圖形大小的數(shù)稱為長(zhǎng)度，而將二維圖形的大小用面積來(lái)表示。

面積概念本身來(lái)講是包括形和數(shù)。

首先一定和面有關(guān)，任何物體都存在它固有的“面”，有平面、曲面，有的物體不只有一個(gè)面，露在外面的所有面的總和，也就是我們說(shuō)的物體的表面。

面的大小就是面積。面是怎么產(chǎn)生的？用牛頓的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)看：“任何一種幾何的量都可以認(rèn)為是運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生。”點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。古希臘觀點(diǎn)認(rèn)為：要尋找制約萬(wàn)物的最微小元素。由于線動(dòng)成面，面的大小與線的長(zhǎng)度和線運(yùn)動(dòng)的距離有關(guān)。線的長(zhǎng)度不斷變化時(shí)，可以求出平均值，仍然看作線長(zhǎng)×運(yùn)動(dòng)的距離。如果在第一次面對(duì)二維空間時(shí)，學(xué)生頭腦中建立起了這樣的運(yùn)動(dòng)觀，平面圖形面積的計(jì)算也就尋找到了最本質(zhì)的思想方法。后續(xù)學(xué)習(xí)的“體”，就可以這樣理解了。如果能夠把面積、體積這些看似孤立的數(shù)學(xué)知識(shí)利用它們的共性串在一起，建立知識(shí)間的聯(lián)系，從而形成整體，這樣學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解則會(huì)更加靈動(dòng)、豐厚。

教材中對(duì)于面積是這樣定義的：“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積。”它們的大小需要通過(guò)測(cè)量得到。面積是一個(gè)測(cè)量的結(jié)果，它本身是一個(gè)量。

因此面積核心的意義應(yīng)該是面的大小。它包含著一個(gè)面的大小的定量。

二、學(xué)習(xí)者分析

調(diào)研對(duì)象：北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校小學(xué)部三年級(jí)（5）班。

調(diào)研情況：

1.你覺(jué)得什么是面積？（舉例說(shuō)明）

部分學(xué)生對(duì)面積有以下的認(rèn)識(shí)：“一個(gè)圖形的面。”“只有平面上有面積，不平的面就沒(méi)有面積。如拳頭、鉛筆上就沒(méi)有。”“實(shí)心的有面積，空心就沒(méi)有”“側(cè)面就沒(méi)有面積了，如桌子就只有桌面上有面積，側(cè)面就沒(méi)有。”可以看出，學(xué)生看到的都是物體上的面，但是對(duì)于物體表面的認(rèn)識(shí)，對(duì)于物體表面的大小關(guān)注不多。

2. 你能把下面圖形的面積表示出來(lái)嗎？

3. 下面哪個(gè)圖形比較大？你有幾種比較的方法？寫出比較的過(guò)程。

調(diào)研結(jié)果分析：

1.學(xué)生對(duì)于面積的認(rèn)識(shí)是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，一個(gè)不斷完善與豐富的過(guò)程。三年級(jí)學(xué)生處于具體到抽象的過(guò)渡時(shí)期，對(duì)于面積的理解還處于模糊、片面的階段。

2.學(xué)生已經(jīng)具有了豐富的對(duì)于面的大小的直觀感知。對(duì)于面積相差較大的圖形，比如桌面與黑板面，學(xué)生能直接判斷它們的大小。對(duì)于面積相近的圖形，學(xué)生會(huì)采用重疊、畫小正方形等方法來(lái)比較圖形的大小。

3.學(xué)生已經(jīng)建立了周長(zhǎng)的概念，周長(zhǎng)對(duì)于學(xué)生認(rèn)識(shí)面積具有負(fù)遷移。在一個(gè)平面圖形中，“邊”屬于強(qiáng)刺激源，“面”屬于弱刺激源，加之長(zhǎng)度的學(xué)習(xí)在先，學(xué)生在學(xué)習(xí)面積時(shí)，在潛意識(shí)中會(huì)受到周長(zhǎng)的影響，會(huì)覺(jué)得周長(zhǎng)長(zhǎng)的圖形面積似乎更大些。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.結(jié)合具體實(shí)例和觀察、操作體驗(yàn)，理解面積的意義。

2.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷比較兩個(gè)圖形面積大小的過(guò)程，體驗(yàn)比較策略的多樣性，豐富度量面積的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

【教學(xué)過(guò)程】

一、在操作體驗(yàn)中，感知面積的意義

（一）在“涂面”“刷面”的活動(dòng)中，體會(huì)封閉圖形的大小

活動(dòng)一：涂一涂

師：同學(xué)們，喜歡畫畫嗎？老師這里有幾幅畫，想看看嗎？請(qǐng)你仔細(xì)觀察，這些畫是怎么畫的？（動(dòng)態(tài)演示一筆畫圖形的形成過(guò)程）

生：由一個(gè)點(diǎn)出發(fā)又回到這個(gè)點(diǎn)，一筆畫成的。

師（追問(wèn)）：首尾相接一筆畫成的圖形是什么圖形？（封閉圖形）

師：你們想畫一個(gè)嗎？拿出彩筆在白紙上畫一個(gè)，并給它涂滿顏色，開(kāi)始吧！（學(xué)生畫完后貼到黑板上）

師：一起看看黑板上的這些圖形，任選兩個(gè)比一比，誰(shuí)的面比較大？誰(shuí)的面比較小？

師：看來(lái)，同學(xué)們通過(guò)直接觀察就能比較出誰(shuí)大、誰(shuí)小。（板書：觀察）

活動(dòng)二：刷一刷

師：大家看，他們?cè)诟墒裁矗?/p>

師：仔細(xì)觀察，怎么刷？（動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)刷墻的過(guò)程）

師：老師也想試一試，注意看，如果沿著一個(gè)方向，刷一下，就能形成一個(gè)面。看近似像什么圖形？為了看得更清楚，我把邊線描重些，大家看我從這點(diǎn)出發(fā)，最后又回到這個(gè)點(diǎn)。（師邊說(shuō)邊操作）

師：剛才老師是沿著這個(gè)方向刷的，還能怎么刷？（橫刷、斜刷、轉(zhuǎn)圈刷……）想體驗(yàn)一下嗎？一會(huì)大家就利用粉筆在小黑板上刷出一個(gè)面來(lái)。要求只刷一下，描出邊線，刷得不清楚也沒(méi)關(guān)系，不要來(lái)回涂抹。能做到嗎？開(kāi)始吧！（師巡視，讓學(xué)生將完成的圖形貼到黑板上）

師：一起看黑板，有近似的長(zhǎng)方形、有近似的圓形……比較一下這些圖形的面，誰(shuí)大？誰(shuí)小？

師（手指著一個(gè)長(zhǎng)方形）：如果還是刷一下，要想刷出一個(gè)比這個(gè)長(zhǎng)方形更大的長(zhǎng)方形，想象一下，可以怎么刷？

師：剛才我們經(jīng)歷了涂面、刷面的活動(dòng)，現(xiàn)在你體會(huì)到什么是面積了嗎？ （師板書：封閉圖形的大小）

（二）在“摸面”的活動(dòng)中，感受物體表面的大小

師：伸出手掌來(lái)，摸摸手掌面的大小。和同桌比一比，誰(shuí)的手掌面積大？老師和你們比呢？ 摸摸桌面，用手掌去量量桌面，有幾個(gè)手掌面大？

師：這是大家熟悉的粉筆盒，它的表面有多大？誰(shuí)來(lái)摸一摸？

師：大家看，這是什么？（出示橘子）橘子的表面有多大呢？摸一摸，感受一下。

師（追問(wèn)）：到底多大呀？怎么能看得清楚？（剝開(kāi)2個(gè)橘子，一大一小）想象一下剝開(kāi)的橘子皮會(huì)有多大。我們把兩個(gè)橘子表面的面積摞在一起比一比，誰(shuí)大？誰(shuí)小？

師：看來(lái)無(wú)論物體的表面是平的、曲的，還是由多個(gè)面組成的，它們都有自己的大小。通過(guò)剛才的活動(dòng)，你感受到什么是面積？誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)？

生：物體表面的大小，就是這個(gè)物體的面積。（師板書：物體表面）

二、在比較中，進(jìn)一步體會(huì)面積的意義

師：在剛才的活動(dòng)中，我發(fā)現(xiàn)無(wú)論是比較封閉圖形的大小，還是比較物體表面的大小，同學(xué)們通過(guò)直接觀察一眼就看出來(lái)了，既然大家的眼力這么好，請(qǐng)你判斷一下這兩個(gè)圖形的面積誰(shuí)大？誰(shuí)小？誰(shuí)愿意說(shuō)說(shuō)？（師邊說(shuō)邊演示課件，學(xué)生爭(zhēng)議）

師：到底誰(shuí)說(shuō)得對(duì)呢？看來(lái)直接觀察確實(shí)不好比較，老師想了個(gè)辦法。注意看（動(dòng)態(tài)演示）用割補(bǔ)的辦法，轉(zhuǎn)化成近似的正方形和長(zhǎng)方形。

師：現(xiàn)在能看出來(lái)了嗎？誰(shuí)的面積大？（學(xué)生繼續(xù)爭(zhēng)議）

師：還是看不出來(lái)？這樣吧！老師給大家準(zhǔn)備了一些材料，四人一組，先商量一下比較的辦法，再開(kāi)始操作。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，你們比較的方法？

（1）小組匯報(bào)——直接比較

生：剪拼法。（板書：重疊）

（2）小組匯報(bào)——間接比較

生：自選單位測(cè)量面積（小正方形、扣子、方格紙）

師：現(xiàn)在你對(duì)面積有什么新的體會(huì)？用這些小的面量大的面，面積的大小可以測(cè)量出來(lái)。（板書：測(cè)量）

生：只要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)就可以比較面積的大小。

師：剛才大家通過(guò)測(cè)量比較出湖南的面積比湖北大。事實(shí)確實(shí)如此，湖南省面積為21.18萬(wàn)平方千米，湖北省面積為18.59萬(wàn)平方千米。

三、在歸納梳理中，概括面積的概念

師：今天我們通過(guò)一系列的活動(dòng)體會(huì)了面積的意義，現(xiàn)在誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)你對(duì)面積的理解，什么是面積？ （完善板書）

四、在辨析中，深化面積的意義

師（播放電影片段）：這個(gè)電影片段再現(xiàn)了200多年前美國(guó)的一段歷史，反映了當(dāng)時(shí)的農(nóng)場(chǎng)主劃分土地的事。在規(guī)定時(shí)間里，騎馬出去跑一圈，馬跑過(guò)的地方就釘上木樁插上旗子做上標(biāo)記。這樣圈出來(lái)的土地就歸他們自己所有了。感受一下跑馬圈地的場(chǎng)景。

師：請(qǐng)看這幾塊土地，都是馬跑了3千米圈出來(lái)的，你要是農(nóng)場(chǎng)主，選哪塊？為什么？

生：甲土地，因?yàn)樗拿娣e大。

師：看來(lái)都跑了3千米，圈出的面積卻有大有小。

師：有一匹馬，它在規(guī)定時(shí)間里跑了5千米。跑得更遠(yuǎn)了，圈出的土地會(huì)不會(huì)更大？為什么？怎樣圈更大？感興趣的同學(xué)下課后可以繼續(xù)思考。

五、全課總結(jié)

今天這節(jié)課有什么收獲？還有困惑的問(wèn)題嗎？

【課后反思】

如何在認(rèn)識(shí)面積時(shí)能夠把握概念的本質(zhì)，對(duì)面積有一個(gè)清晰的、完整的認(rèn)識(shí)呢？本節(jié)課通過(guò)設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，逐步讓學(xué)生對(duì)面積的理解，從模糊變得清晰，從片面變得完善，從錯(cuò)誤變得正確，從零散變得結(jié)構(gòu)化。通過(guò)學(xué)生親力親為的活動(dòng)體驗(yàn)，力求給學(xué)生充分感知、操作、體驗(yàn)、思考的機(jī)會(huì)，使學(xué)生豐富對(duì)面積的感性認(rèn)識(shí)，讓活動(dòng)成為發(fā)展學(xué)生空間觀念的載體，讓學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)中生成豐富的表象，從而建立起面積的概念，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

我們看到生活中很多熟悉的物體表面或封閉圖形的大小都是靜態(tài)的面積，但是它的大小是怎么形成的，就要更深刻地去認(rèn)識(shí)。這些面是怎么形成的？歸根結(jié)底是牛頓的發(fā)現(xiàn)——“線動(dòng)成面”。

本節(jié)課設(shè)計(jì)的核心活動(dòng)就是讓學(xué)生用粉筆橫刷、豎刷、斜刷、轉(zhuǎn)圈刷，形成學(xué)生熟悉的平面圖形。讓學(xué)生體會(huì)到熟悉的平面圖形都可以由一條線的移動(dòng)形成面。一條線沿著一定的方向連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)形成的軌跡，才形成面。線長(zhǎng)則面大，移動(dòng)的距離長(zhǎng)則面大，這就是動(dòng)態(tài)的面積。而且面的大小不再是在一個(gè)方向上的變化，而是可長(zhǎng)可廣的。這就是我們說(shuō)的學(xué)生的認(rèn)識(shí)從一維延伸到二維。這在學(xué)生看來(lái)是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、圓甚至是邊運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度也變化的三角形。這些都與后續(xù)的圖形學(xué)習(xí)接軌。這些由靜而動(dòng)的體驗(yàn)、觀察、思考，使面積的含義深深地烙在了學(xué)生的頭腦中。

因此，在教學(xué)中要給學(xué)生充分的時(shí)間去感知“面”，發(fā)展學(xué)生對(duì)面的感覺(jué)；要幫助學(xué)生體會(huì)面是有大小之分的，發(fā)展學(xué)生的量感。要讓學(xué)生感悟到面的形成過(guò)程是“線動(dòng)成面”。

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由淺入深地和學(xué)生共同經(jīng)歷“操作感知—形成表象—建立概念”的過(guò)程，通過(guò)層層遞進(jìn)的體驗(yàn)和反思活動(dòng)，幫助學(xué)生逐步豐富和建構(gòu)對(duì)“面積”本質(zhì)意義的理解。

（北航實(shí)驗(yàn)學(xué)校小學(xué)部 100191）