基于主成分及密切值對(duì)比的班級(jí)學(xué)習(xí)情況分析

張鴻睿

（三峽大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南吉首 443000）

現(xiàn)在的教學(xué)工作者和教務(wù)管理者，面對(duì)學(xué)生的各種成績數(shù)據(jù)，大多數(shù)管理者只停留在單一的成績查詢上，導(dǎo)致許多數(shù)據(jù)資源的浪費(fèi)。如何準(zhǔn)確定量描述一個(gè)班的整體學(xué)習(xí)成績情況，科學(xué)合理地評(píng)價(jià)班級(jí)學(xué)生的成績情況和教學(xué)工作中存在的問題，成為了教育工作中普遍面臨的難題。

1 問題分析

班級(jí)整體成績情況排序可以由多個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，標(biāo)準(zhǔn)可以有：表示班級(jí)總體考試水平的成績均值；表示班級(jí)學(xué)習(xí)分化程度的成績標(biāo)準(zhǔn)差；表示班級(jí)每位同學(xué)在年級(jí)排名的平均排名的班級(jí)均排名等，為使所有指標(biāo)保持同向性，即指標(biāo)值越大班級(jí)整體情況越好，需對(duì)做取負(fù)處理或歸一化處理。而這些指標(biāo)中不可避免地存在一些聯(lián)系，為解決這一問題，可以選用主成分分析法以最少的信息丟失為前提，將眾多的原指標(biāo)綜合成較少幾個(gè)綜合指標(biāo)。而后驗(yàn)證主成分分析模型所得結(jié)果的準(zhǔn)確性采用基于熵權(quán)的改進(jìn)密切值模型從新計(jì)算班級(jí)排名。

2 模型建立

班級(jí)整體成績情況排序可以由多個(gè)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)綜合評(píng)價(jià)，在本題中班級(jí)整體成績的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)可以有：

X

成績均值，表示班級(jí)總體考試水平，均值越大班級(jí)整體情況越好；

X

成績標(biāo)準(zhǔn)差，表示班級(jí)學(xué)習(xí)分化程度，標(biāo)準(zhǔn)差越小班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)均排名，即班級(jí)每位同學(xué)在年級(jí)排名的平均排名，排名越靠前班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)占年級(jí)前50名人數(shù)，人數(shù)越多班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)占年級(jí)前100名人數(shù)，人數(shù)越多班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)占年級(jí)前150名人數(shù)，人數(shù)越多班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)優(yōu)秀率，即班級(jí)優(yōu)秀成績?nèi)藬?shù)占年級(jí)人數(shù)的比率，比率越大班級(jí)整體情況越好；

X

班級(jí)及格率，即班級(jí)及格成績?nèi)藬?shù)占年級(jí)人數(shù)的比率，比率越大班級(jí)整體情況越好。為使所有指標(biāo)保持同向性，即指標(biāo)值越大班級(jí)整體情況越好，需對(duì)

X

、

X

做取負(fù)處理。為處理這些兩兩指標(biāo)中存在一定聯(lián)系的綜合評(píng)價(jià)類問題，可以選用主成分分析法以最少的信息丟失為前提，將眾多的原指標(biāo)綜合成較少幾個(gè)綜合指標(biāo)。

2.1 主成分評(píng)價(jià)模型的建立

在實(shí)際生活中，每個(gè)指標(biāo)的量綱均不相同，所以在計(jì)算之前應(yīng)先消除量綱的影響，即需對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，做如下變換：

2.1.1 計(jì)算協(xié)方差矩陣

2.1.2 求出協(xié)方差矩陣的特征

λ

值及相應(yīng)的正交化單位特征向量

a

然后，根據(jù)主成分的方差（信息）貢獻(xiàn)率用來反映信息量的大小。其中，

α

的計(jì)算表達(dá)式如下：

2.1.3 選擇主成分

當(dāng)累計(jì)貢獻(xiàn)率大于85%時(shí)，就認(rèn)為能足夠反映原來變量的信息，對(duì)應(yīng)的

m

就是抽取的前

m

個(gè)主成分。

2.1.4 計(jì)算主成本荷載

2.1.5 計(jì)算主成分得分

計(jì)算成績樣本數(shù)據(jù)在

m

個(gè)主成分上的得分如下：

2.1.6 計(jì)算主成分權(quán)重

計(jì)算樣本在

m

個(gè)主成分上的權(quán)重：

2.1.7 計(jì)算總評(píng)分

根據(jù)上述各個(gè)樣本在

m

個(gè)主成分上的得分以及權(quán)重計(jì)算在綜合指標(biāo)下的總評(píng)分，得到結(jié)果如下：

最終，根據(jù)

Borda

數(shù)大小進(jìn)行排序便得到了各班近七次考試的綜合排名。

2.2 基于熵權(quán)改進(jìn)密切值模型的建立

由于主成分分析模型在處理時(shí)對(duì)多個(gè)主成分進(jìn)行加權(quán)綜合會(huì)降低評(píng)價(jià)函數(shù)區(qū)分的有效度，且該方法易受指標(biāo)間的信息重疊影響。為驗(yàn)證主成分分析模型所得結(jié)果的準(zhǔn)確性采用基于熵權(quán)的改進(jìn)密切值模型從新計(jì)算班級(jí)排名。

由于熵權(quán)值對(duì)樣本數(shù)量存在較高要求，即若樣本數(shù)量不夠就無法很好描述指標(biāo)離散性。為增加樣本數(shù)量將每個(gè)班7次考試的成績當(dāng)作7個(gè)班一次考試的成績，這樣樣本數(shù)量就達(dá)到了42個(gè)。具體步驟如下：

2.2.1 建立原始數(shù)據(jù)指標(biāo)矩陣

2.2.2 有量綱矩陣模型的規(guī)范化

由于初始矩陣中各評(píng)價(jià)指標(biāo)的量綱、數(shù)量級(jí)及指標(biāo)優(yōu)劣的取向存在較大差異，故需對(duì)初始矩陣數(shù)據(jù)做規(guī)范化處理。模型中采用改進(jìn)后的目標(biāo)差值率法進(jìn)行規(guī)范化處理公式如下：

2.2.3 構(gòu)造虛擬的最優(yōu)情況班級(jí)和最劣情況班級(jí)

2.2.4 用熵權(quán)值法確定各評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重

由此得到標(biāo)準(zhǔn)化矩陣：

根據(jù)斯梯林公式計(jì)算，可得第

j

項(xiàng)指標(biāo)的信息熵值

e

為：

其中，常數(shù)

k

與系統(tǒng)樣本數(shù)

m

有關(guān)，其表達(dá)式為：

第

j

項(xiàng)指標(biāo)的信息效用價(jià)值取決于該指標(biāo)的信息熵

e

與1的差值

h

，則第

j

項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重為：

2.2.5 計(jì)算密切值

則可得最優(yōu)密切值為：

2.2.6 改進(jìn)密切值法進(jìn)行班級(jí)整體成績?cè)u(píng)價(jià)原則

最后，由于所得結(jié)果是虛擬42個(gè)班成績情況，將其中每個(gè)班級(jí)的七次考試情況相加便得到該班級(jí)近期幾次考試總體情況。因此，總指標(biāo)值越小，班級(jí)總體成績?cè)胶茫粗讲睢?/p>

3 模型的求解

在實(shí)際生活中，每個(gè)指標(biāo)的量綱均不相同，所以在計(jì)算之前應(yīng)先消除量綱的影響，即需對(duì)原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，利用主成分分析模型求得各成分的權(quán)重計(jì)算班級(jí)每輪考試的總評(píng)分結(jié)果如表1。

表1 各班每次考試成績的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果

如1表可知，每輪考試的總評(píng)分越大，說明本次考試班級(jí)的成績?cè)絻?yōu)秀。同時(shí)，直觀的觀察到1班和6班在7次考試中的總評(píng)分都是大于零，相對(duì)于其他四個(gè)班級(jí)成績更優(yōu)秀。而2班和4班的總評(píng)分均小于零，相比下成績比較差。

根據(jù)上面每班的總評(píng)分對(duì)每輪考試進(jìn)行從大到小的排序得到每輪的班級(jí)排名。然后，利用決策論中的

Borda

數(shù)法來確定得到六個(gè)班級(jí)在七次考試中總評(píng)的

Borda

數(shù)。并進(jìn)行排序，得到了各班近七次考試的綜合排名，結(jié)果如表2。

表2 Borda數(shù)法的綜合排名結(jié)果

將班級(jí)本次考試年級(jí)排名后面的班級(jí)個(gè)數(shù)作為評(píng)分，然后累加七次考試評(píng)分得到

Borda

數(shù)，對(duì)其排序得到班級(jí)的整體排名。其中，6班和1班分別排在前二名，2班和4班分別排在最后兩名，與上文中各班每輪考試的總評(píng)分整體分析結(jié)果一致，故

Borda

數(shù)法得到的排名符合實(shí)際。

表3 各班級(jí)最優(yōu)密切值和排名

在上述的排名方法中，各個(gè)主成分的權(quán)重具有一定的主觀想法評(píng)價(jià)。為了消除主觀意向的影響并對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，利用最優(yōu)密切值來表示班級(jí)綜合評(píng)價(jià)，從而得到各個(gè)班級(jí)的總排名如表3。

4 結(jié)果分析

對(duì)于本題，利用主成分分析法得到權(quán)重計(jì)算總評(píng)分，然后用

Borda

數(shù)法得到班級(jí)排名。這種方法具有一定的主觀意識(shí)，為了更客觀得到班級(jí)的排名，利用每個(gè)班級(jí)的最優(yōu)密切值進(jìn)行排序，越小說明班級(jí)的成績?cè)絻?yōu)秀，從而得到班級(jí)的排名。兩種方法對(duì)比發(fā)現(xiàn)，各個(gè)班級(jí)近期成績排名結(jié)果一致，因此，最終排名第一位6班，最后一名為4班，各個(gè)班級(jí)排名符合客觀實(shí)際情況。