基于主成分分析法與量變質變判別模式的汛期分期

唐 莉，張永波，祝雪萍，王權威

(太原理工大學水利科學與工程學院，山西太原030024)

0 引 言

合理確定汛期分期不僅是分期設計洪水和分期汛限水位的基礎，對洪泛區管理、水庫防洪及實現洪水安全利用等也都具有重要意義[1]。汛期具有隨機性、確定性、模糊性等變化規律[2]，目前常用的汛期分期方法有[3- 5]：數理統計法、Fisher最優分割法、模糊集分析法、變點分析法、分形分析法等。這些方法存在考慮因素單一，或計算繁瑣、理論依據薄弱、閾值選取主觀性強等缺陷，不能簡便合理地進行汛期分期[6]。汛期分期是一個可變集，并且非汛期過渡到汛期再逐漸過渡到非汛期以及前汛期過渡到主汛期再到后汛期，符合唯物辯證法哲學規律。即，具有量變到質變的過渡性[7]。本文采用以可變集理論為基礎，且數學概念清晰、理論性強的量變質變判別模式，結合主成分分析法對李仙江流域進行多類型指標下的汛期分期，并將多種方法分期結果進行了對比分析。

1 主成分分析法

汛期分期是基于多種指標的有序聚類分析，各指標對樣本的重要性有所不同，本文采用主成分分析法計算各指標權重。具體步驟如下：

(1)構造樣本陣X，對樣本陣X進行標準化得到標準化陣

(1)

(2)計算標準化陣Y的相關系數矩陣

(2)

(3)計算特征值λi與特征向量ei。對于λi(i=1，2，…，m)由|λIm-R|=0求出，并對其進行排序，即λ1≥λ2≥…≥λm≥0；同時根據每一個特征值λi求出其特征向量ei。

(4)計算主成分Fi貢獻率Ci及累計貢獻率Ai。即

(3)

(4)

當λk對應的Ci≥85%時，則其有k(k≤m)個與λ1，λ2，…，λk對應的主成分。

(5)計算主成分載荷

通過式(5)得到lij，再由式(6)得到各主成分的線性模型

Fi=e1iX1+e2iX2+…emiXm(i=1，2，…，k)

(6)

(6)綜合得分模型為

其中，ai反映了各指標變量在主成分中的綜合重要性。

(7)各指標變量的權重為

(8)

在構造好樣本陣X后，可用PASS軟件分析得到主成分貢獻率、累計貢獻率與主成分載荷(即成分荷載)。

2 量變質變判別模式的汛期分期原理與步驟

2.1 對立差異函數

令

(9)

D:U→[-1，1]u|→D(u)∈[-1，1]

(10)

圖1 對立差異函數示意

2.2 模式原理與步驟

(1)構建n個指標特征值矩陣

其中，xim為時序m指標i的特征值。

(2)確定時序研究對象ut指標i的特征值xim落入汛前期與主汛期或主汛期與后汛期相對隸屬度為1的標準值區間矩陣[Ni1，Ni2]，已知矩陣X，可得標準區間矩陣Y=(Nih)，其中i=1，2，3…n;h=1，2則

Ni1=(minxim，maxxim)，Ni2=(maxxim，minxim)

(11)

式中，maxxim，minxim分別為時序集xim的最大、最小特征值。

(3)計算xim落入[Ni1，Ni2]區間的相對隸屬度

μA(μt)=(xim-Ni1)/(Ni2-Ni1)

(12)

(4)根據主成分分析法確定各指標的權重wi。

(5)計算ut綜合相對隸屬度

(13)

式中，α為優化準則參數；P為距離參數。α=1為最小一乘方優化準則，α=2為最小二乘方優化；考慮到α=2對距離具有放大或縮小效應，在汛期分期應用中選取α=1。若采用優化準則參數α=1，距離參數為海明距離，即P=1；則式(13)變為

(14)

若汛期分期為非線性系統，可采用歐氏距離，即P=2，式(13)變為

(15)

(16)

3 實例應用

李仙江流域國境內的流域面積為19 309 km2，屬云南省西南縱谷區南部，位于我國云貴高原西南邊緣、橫斷山脈南段，屬南亞熱帶高原季風氣候，受地形、季風、低緯度的影響，具有復雜多變的氣候特征。降水年內分配極不均勻，流域的多年平均汛期為6～11月。

3.1 基本資料及指標選取

選取汛期6月～11月為分期的研究論域，以旬為基本單位，將整個論域劃分為18個旬。以流域內多年汛期逐日降雨資料為基本資料，取能反映水庫控制流域汛期內暴雨變化特征的5個因子作為影響因子，即多年旬平均雨量、旬最大1 d雨量(mm)、旬最大3 d雨量(mm)、旬最大7 d雨量(mm)。洪水指標選?。貉嗄暄骄髁?m3/s)[9]。為了對不同類型指標對分期結果的影響進行對比，本文分研究考慮綜合指標的汛期分期、研究僅考慮降雨指標的汛期分期和研究僅考慮洪水指標的汛期分期3種情況分析。

3.2 綜合因素分析

根據汛期劃分指標特征值，得到從汛前期過渡到主汛期和從主汛期過渡到后汛期的暴雨指標指標特征值矩陣X1(具體略)；根據矩陣X1和式(11)可得從汛前期過渡到主汛期和從主汛期過渡到后汛期暴雨指標的兩個標準區間矩陣

用SPSS軟件對標準化的樣本數據進行主成分分析，可得表1及表2。

表1 解釋的總方差

表2 成分1多年旬平均指標矩陣

由表1可知，主成分1特征累積方差貢獻率≥85%。因此，第1個主成分能夠反映各指標的大部分信息。

綜合得分模型F=0.470X1+0.472X2+0.474X3+0.473X4+0.328X5。

各指標的權重ω=(ω1，ω2，ω3，ω4，ω5)=(0.212，0.213，0.214，0.213，0.148)。

應用式(12)與矩陣Y11和Y12，可得從汛前期過渡到主汛期和從主汛期過渡到后汛期各降雨指標的相對隸屬度矩陣U1t(略)；采用主成分分析法所得權重，根據式(13)可得到在線性模型和非線性模型下的相對優屬度。

當α=1，P=1時v1(u1t)=(0.21 0.03 0.73

0.84 0.96 0.93 0.84 0.81 0.70 0.64 0.52

0.44 0.46 0.29 0.39 0.15 0.05 0)；

當α=1，P=2時v1(u1t)=(0.30 0.08 0.70

0.79 0.90 0.91 0.84 0.81 0.70 0.64 0.53

0.44 0.45 0.29 0.39 0.15 0.05 0)；

0.82 0.93 0.92 0.84 0.81 0.70 0.64 0.53

0.44 0.45 0.29 0.39 0.15 0.05 0)。

0.43 0.63 0.86 0.84 0.68 0.62 0.40 0.28

0.05 -0.11 -0.09 -0.42 -0.22 -0.69

-0.90 -1]。

應用量變與質變判別模式對基于綜合指標的汛期演變過程分析如下：

3.3 降雨與洪水因素分析

0.85 0.64 0.59 0.37 0.30 0.08 -0.10

-0.32 -0.18 0.15 0.46 0.71 1 0.77 0.52

0.25 0.06 -0.04 -0.09 -0.12 -0.20

-0.41 -0.49 -59)。

3.4 結果比較和分析

基于不同指標的對立差異度時程變化狀況比較見圖2。

圖2 基于不同指標的對立差異度時程變化狀況

結合各項指標對立差異度與圖2可知：

(1)依據綜合指標。前汛期、主汛期與后汛期可分別定為6月1日到6月22日、6月23日到9月17日、9月18日到11月30日。

(2)依據降雨指標。前汛期、主汛期與后汛期可分別定為6月1日到6月21日、6月21日到9月18日、9月19日到11月30日

(3)依據洪水指標。前汛期、主汛期與后汛期可分別定為6月1日到6月30日、7月1日到9月20日、9月21日到11月30日。

表3給出基于暴雨因子、洪水因子、綜合因子以及基于數理統計法、模糊集合分析法、Fisher最優分割法對研究流域汛期分期結果的比較。

圖2與表3顯示：

(1)基于洪水指標的分期滯后于基于暴雨指標的分期，而基于綜合指標的分期基本介于兩者之間，9月中旬～10月上旬出現分歧。其原因可能是本文資料有限，所選洪水因素指標單一，存在小幅誤差?？傮w上體現了洪水是暴雨與地表下墊面等多種因素綜合作用的反映，洪水要滯后于暴雨，這與實際情況是相符的，一定程度上反映了汛期分期的物理背景。

表3 基于不同指標的汛期分析結果

(2)本文基于研究結果與數理統計法、模糊集合分析法、Fisher最優分割法的比較說明了本文的分析成果可靠。

4 結論與建議

(1)汛期分期結果與分期指標有密切關系，實際應用的應綜合考慮多種指標，讓分期結果更客觀；另外，也可以利用不同指標的分期結果，提供防洪安全或挖掘洪水資源潛力。

(2)本文采用的方法分期結果能反映指標的物理意義，有較強的理論背景，數學概念清楚；計算方便，結果直觀，分期合理。

(3)我國南北方汛期時序具有明顯的差異性，北方采用Fisher最優分割的結果多為三段式，然而南方采用Fisher最優分割的結果可為四段式，本文采用的理論方法視汛期為三段式，具有一定局限性，本研究根據對立差異度的意義，提出基于量變質變模型的過渡期劃分標準，雖與Fisher最優分割法[9]結果表現出較高的一致性，但也需要在今后的研究中不斷地驗證與完善。