基于特征值線性擬合誤差的信源數估計方法*

陳明建，龍國慶，黃中瑞

（國防科技大學電子對抗學院，合肥 230037）

0 引言

波達方向（DOA）估計一直是雷達、通信以及聲納等領域研究的重要內容之一［1］。由于具有優良的超高分辨特性，空間譜估計技術已成為DOA估計的經典方法。如基于子空間分解的多信號分類法（MUSIC）［2］、旋轉子空間不變法（ESPRIT）［3］以及子空間擬合法［4］。在空間譜估計技術中的大部分算法均需要知道入射信號數，因此，信號源數是陣列信號處理中的一個關鍵問題。典型的信源數估計方法包括基于AIC準則［5］和MDL準則［6-7］的信息論方法、基于特征值一步預測法［8］、貝葉斯預測密度法［9］等。其中信息論法實際上是給定一組觀測數據和一系列參數化的概率模型，然后選擇與觀測數據擬合最好的模型。由于需要對參數進行估計，所以基于AIC準則和MDL準則的信息論方法一般只適合于高斯白噪聲條件。基于特征值一步預測法、貝葉斯預測密度法也均假定陣元噪聲為高斯白噪聲，利用信號特征值明顯大于噪聲特征值的特點實現信源數估計。

在實際應用中白噪聲的假設并不是總是成立，如當陣元間通道存在幅相不一致或互偶時，實際的噪聲模型可能是空間非平穩，非均勻色噪聲。此時基于高斯白噪聲假設的信源估計方法性能下降甚至失效。為了克服色噪聲引起信源數估計誤差問題，近些年來蓋氏圓盤法（GDE）［10］、正則相關法［11］、基于對角加載的特征值校正方法［12］以及SORTE法［13-15］等相繼提出。GDE方法同時利用了特征值和特征向量信息，因此，在色噪聲條件下仍然可以正確估計信源數，但是它在低信噪比時性能較差，且調整因子的選擇影響算法性能。正則相關技術是利用空間分離的兩個子陣接收數據并且要求兩個子陣之間的噪聲不相關，那么可以通過合理的相關分析而克服色噪聲的影響，但缺點是對陣列幾何結構的嚴格限制，因此，實用性受到了極大的限制?；趯羌虞d的信源數估計方法一定程度上解決了噪聲特征值發射引起信源估計性能下降的問題，但是需要人為設置對角加載量，最優加載量無法準確獲得。SORTE法利用了特征值的方差信息構造信源估計判決函數，在白噪聲和色噪聲背景下均能有效實現信源數估計。

針對非均勻色噪聲背景下信源數估計問題，本文提出了一種基于特征值總體最小二乘線性估計誤差的信源數估計方法。該方法利用數據協方差矩陣特征值線性擬合誤差，并結合信息論的罰函數得到了信源數估計判決函數。該方法在色噪聲背景下能夠實現信源數一致估計，且在低信噪比、短快拍時仍然具有良好的估計性能。

1 信號模型

式中，符號E（·）表示統計期望值，符號（·）H表示共軛轉置，為K×K維信號的協方差矩陣，為K×K維噪聲的協方差矩陣。若噪聲為空時均不相關的非均勻色噪聲，則Q可表示為

2 典型信源數估計法

2.1 基于對角加載的MDL法

在理想白噪聲背景下噪聲特征值近似相等，MDL準則能有效實現信源數一致估計，但在空間非均勻色噪聲背景下噪聲特征值將變得發散，此時基于信息論準則信源數估計方法將失效。針對該問題，基于對角加載的修正采樣數據協方差矩陣可表示為：

2.2 蓋氏圓方法

蓋氏圓方法是對數據協方差矩陣R進行酉變換估計信號源個數。若對R進行分塊

其中，R'為R前M-1行和前M-1列組成的矩陣。

利用R'特征分解得到特征向量矩陣V構造酉變換矩陣T

酉變換矩陣T對協方差矩陣R進行如下變換

則GDE準則可描述為

式中，N是采樣快拍數，D（N）是與快拍數有關的調整因子。當k由小到大進行取值時，假設當k=kGDE時，GDE（k）第1次出現負數，則信源數為kGDE-1。

2.3 SORTE算法

SORTE算法是利用特征值二階統計量方差信息構造信源數估計判決函數，定義SORTE函數為

3 特征值線性擬合的信源數估計

3.1 色噪聲條件下特征值分布

圖1 數據協方差矩陣的特征值分布

由圖1可知，前3個特征值對應信號空間，后7個特征值對應噪聲空間，當SNR為10 dB時，信號特征值相差不大，而噪聲特征值近似相等，可以根據大特征值個數判斷信源個數；但當SNR為0 dB時，大特征值數目與信源數不相符，此時噪聲特征值出現了發散；隨著信噪比進一步降低，噪聲特征值發散程度進一步增加。

3.2 特征值的總體最小二乘線性擬合

為了分析數據協方差矩陣特征值分布情況，利用總體最小二乘法線性擬合法，分析噪聲特征值分布。總體最小二乘方法（TLS）也稱為最小距離平方和法，能夠同時考慮自變量和因變量誤差從而使得函數的解算結果不會因自變量和因變量的選擇不同而改變。假定線性方程數學表達式為：

所有觀測值到直線的距離平方和可表示為

本文采用正交總體最小二乘法計算線性擬合參數。由幾何及微積分可知擬合直線必須通過M個數據點的中心，才能使擬合誤差最小。其中，M為樣本點數，即陣元數。即可將直線方程轉化為，求出即為TLS的解。

解為

對于總體最小二乘的特征值擬合誤差可表示為

3.3 信源數估計

考慮到擬合誤差ξ（k）是單調不增函數，與信息論中似然函數的性質類似。利用MDL準則罰函數，構造判決函數，可以下式判決函數求解信源個數

4 仿真實驗

仿真條件：均勻線陣陣元數為M=10，陣元間距為半波長。3個獨立遠場窄帶信號入射到天線上，入射角度分別為［-10°，35°，60°］，噪聲為復高斯白噪聲，且與信號不相關。分別對MDL準則法、GDE法、對角加載 MDL法（簡寫為 LMDL）、SORTE法以及本文方法（記為TLS-MDL）在不同信噪比條件和不同快拍數條件下的信源估計性能比較。其中GDE法中D（N）=0.7，LMDL的對角加載量。每次實驗結果為200次Monte Carlo實驗統計均值。

實驗1白噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數關系。定義成功檢測概率為正確估計信源次數與實驗次數之比。假定陣元噪聲為理想的高斯白噪聲。圖2是采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR的關系曲線。圖3是SNR為0 dB時成功檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖2 白噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關系曲線

圖3 白噪聲背景下成功檢測概率與快拍數的關系曲線

由圖2可知，在高斯白噪聲條件下，所有的信源數估計方法的成功檢測概率隨SNR增加而提高，在一定SNR條件下均能實現信源數100%成功估計，但本文方法在低SNR條件下性能更優，SORTE法次之，基于對角加載的MDL算法性能在白噪聲背景下反而更差。這是由于特征值校正是以犧牲SNR為代價的，這與對角加載的物理意義是一致的，因為對角加載相當于向陣列注入白噪聲。

由圖3可知：GDE法雖然在小快拍時成功檢測概率達到了80%以上，但收斂速度較慢，這主要是由于GDE法調整參數D（N）與快拍數相關，若采用固定的調整參數，則算法性能有所下降；MDL法只有在快拍數較大時才能有較高的成功檢測概率；本文方法在快拍數為40時成功檢測概率接近100%，因此，在小快拍時本文方法性能更優。

實驗2色噪聲背景下成功檢測概率與信噪比、快拍數關系。假設噪聲為非均勻空間色噪聲，噪聲協方差矩陣Q同上文中的3.1節設置。下頁圖4為采樣快拍數為200時成功檢測概率與SNR的關系曲線。圖5為信噪比為0 dB時成功檢測概率與快拍數的關系曲線。

圖4 色噪聲背景下成功檢測概率與SNR的關系曲線

圖5 色噪聲背景下成功檢測概率與快拍數的關系曲線

由圖4、圖5可知，在非均勻色噪聲條件下，MDL算法將失效，而對角加載的MDL能夠一定程度上克服噪聲特征值發射的影響，解決了傳統MDL算法無法適用于色噪聲環境的問題。GDE法由于綜合利用了特征值和特征向量信息，因此，對噪聲模型沒有特定的限制；在SNR小于-14 dB時，雖然SORTE法成功估計概率略高于本文方法，但總體檢測概率較低；在SNR等于-10 dB時，本文方法成功檢測概率要遠超過其他類方法，且算法的收斂性更快。因此，相比于其他類方法，本文方法在低信噪比、小快拍條件信源數估計性能更優。

5 結論

針對實際應用環境中普遍存在非均勻空間色噪聲背景下的信源數估計問題，本文提出了基于特征值最小二乘線性擬合誤差的信源數估計方法。該方法通過對數據協方差矩陣的降序特征值進行最小距離平方和的線性擬合，利用擬合誤差與擬合點的單調不增特點，并結合MDL準則懲罰因子構造判決函數實現信源數估計。仿真結果表明：該方法在色噪聲背景下能夠實現信源數的一致估計，尤其是在低信噪比、小快拍條件下信源數估計性能要優于其他類方法。