例說數列通項公式的求法

福建省泰寧第一中學 丁遠洪

如果數列{an}的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式。數列的通項公式是研究數列知識的基礎，求數列的通項公式是認識數列進而研究數列的關鍵。由于數列的類型多，每個數列的通項公式是不同的：有的數列只要認真觀察、聯想便可得到通項公式；有的數列實際上滿足等差數列或等比數列的定義，可用等差數列或等比數列的公式來求；還有的數列其通項公式與項數的規律必須從所給式子經過適當的變形，化成等差或等比數列的形式求解。近幾年高考數列題中，往往涉及求數列的通項公式，特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解往往是解決數列題的關鍵。在復習數列時，如果對數列通項公式的常用方法進行歸納和總結，那么可以達到事半功倍的效果。

以下是筆者總結出的五種求解數列通項公式的常用求法，希望能對大家有所幫助。

一、定義法

利用等差數列定義：an+1-an=d（常數）或等比數列定義（常數）求數列通項公式的方法叫定義法，這種方法要注意觀察所給數列的形式，或經過適當的變形，成為等差或等比數列的形式，即可利用等差或等比數列公式求解。

例1 已知 a1=1，-=2 且 an＞0，n∈N+，求數列的通項公式。

分析：此題主要考察等差數列的定義。初看此題，無從入手。但仔細觀察，可以發現{a2n}是等差數列，這里考察了學生對等差數列定義的本質認識。

例 2 已知 a1=2，點（an，an+1）在函數y=3x圖象上，求數列{an}的通項公式。

分析：此題比較基礎，考察了等比數列的定義。

解：∵點（an，an+1）在函數y=3x圖象上，

∴an+1=3an，∴

∴{an}是以a1=2為首項，q=3為公比的等比數列，∴an=a1qn-1=2×3n-1。

例3 已知等差數列{an}的前n項和為 Sn，且 a3=5，S15=225，數列{bn}是等比數列，b3=a2+a3，b2b5=128，求數列{an}和{bn}的通項公式。

分析：由等差數列的通項公式和前項和公式，列出方程組，可求出數列的首項和公差，再根據等比數列的通項公式列出方程組，求公比即可。

解：設等差數列{an}的公差為d，則

∴an=2n-1。

設等比數列{bn}的公比為q，則

∴bn=b3qn-3=2n。

點評：例1、例2直接應用了等差數列和等比數列的定義求解，但要適當變形以及觀察哪個數列是等差或等比數列。例3已知一個數列是等差（或等比）數列，只要求出首項和公差（或公比），即可求出通項。利用定義法求等差或等比數列的通項公式，要對基礎知識掌握牢固，才能靈活應用。

二、累加（乘）法

累加法：形如an+1-an=f（n），其中f（n）是等差或等比數列或其他可求和的數列；累乘法：形如其中 （fn）是可求積的。兩種形式都是給我們遞推關系，有時若數列沒有直接給出遞推公式，可找規律，推導出遞推公式，經過相應的變形手段，轉化成比較熟悉的等差數列或等比數列進行求解。

例4 已知數列{an}，a1=1，an=an-1+3n（n≥2），求 an。

解：由已知得 an-an-1=3n（n≥2），

an-1-an-2=3（n-1），

……

a3-a2=3×3，

a2-a1=3×2，

以上式子相加，得

又∵n=1時a1=1成立，

例5 已知數列{an}中，a1=1，an=2nan-1（n≥2），求 an。

分析：適當變形，用累乘法解決。

解：由已知得

以上式子相乘，

又∵n=1時a1=1成立，

三、公式法

若已知數列 {an}的前n項和Sn與an的關系，求數列{an}的通項公式an，可用公式求解。

例6 已知數列{an}的前n項和Sn，a1=1，an+1=2Sn+1。求{an}的通項公式。

分析：在實際教學中，用公式法求通項公式是一類基礎題，但是學生無從入手，原因是沒有把an與Sn聯系起來，而是孤立 an與 Sn。

解：由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1（n≥2），

又 ∵a1=1，a2=3，

∴{an}是以首項a1=1，公比q=3的等比數列，

∴an=3n-1。

四、待定系數法（構造法）

求遞推式如an+1=pan+q（p，q為常數）的數列通項，可用待定系數法轉化為我們熟知的等比數列求解，相當于換元法。

例7 已知數列 {an}滿足a1=1，且an+1=3an+2，求 an。

解：設 an+1+t=3（an+t），

則an+1=3an+2t，

∴t=1，

∴an+1+1=3（an+1），

∴{an+1}為等比數列，

∴an+1=（a1+1）3n-1=2×3n-1，

∴an=2×3n-1-1。

點評：求遞推式形如an+1=pan+q（p，q為常數）的數列通項，可用待定系數法構造新數列來求得，這也是近年高考考得較多的一種題型。

五、化歸法

想方設法將非常規問題轉化為我們熟悉的數列問題來求通項公式的方法即為化歸法。這種方法也是我們在解決數學問題時的一種基本思想。

例8 已知數列{an}滿足且當n≥2時，有

an-1-an-4an-1an=0，

兩邊同除以an-1an，

從實行新課標情況來看，數列題在高考中的比重更強調基礎，強調數列通項公式的求解。數列通項公式的求解將繼續成為數列命題的一個基本點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度,但不管怎么考，只有重知識，重基礎，重能力，才能在考試中取得好成績。