基于伴隨方法的艦船推進器優化設計

王睿，熊鷹

1 中國人民解放軍91404部隊，河北 秦皇島 066001

2 海軍工程大學 艦船與海洋學院，湖北 武漢 430033

0 引 言

目前，船舶螺旋槳的優化設計大多基于智能優化算法[1-4]，但其優化效率與設計變量的數目息息相關。對于多目標、多參數的優化設計問題，智能優化算法的效率往往比較低。因此，智能優化算法應用于螺旋槳的優化設計需要耗費大量的計算時間[5-8]。為了解決好此矛盾，將空氣動力學中迅速發展起來的伴隨方法引入到螺旋槳的優化設計中[9]。伴隨方法通過伴隨方程實現敏感導數的計算，得到目標函數與設計變量的敏感導數關系，具有極高的優化設計效率[10-11]。伴隨方法最早于1974年應用于流體力學問題[12]，隨后在機翼、飛行器及渦輪機械的優化設計方面得到廣泛應用[13-15]。盡管伴隨方法的研究已逐漸深入，但在船舶螺旋槳的優化設計中還未涉及。

為了探究伴隨方法在螺旋槳優化設計的實際效果，本文將開展基于面元法的伴隨方法研究，詳細探討伴隨方法應用于螺旋槳優化設計中的求解方程和數值處理， 以為螺旋槳的優化設計建立高效可行的數值方法。

1 基于面元法建立伴隨方程

勢流方法和黏性流方法均可應用于分析船舶螺旋槳水動力問題。其中，基于勢流的面元法未對幾何模型作任何假設，計算結果比較精確；而黏性流方法大多基于商用軟件，難以進行數值程序的修改和擴充，故而選擇基于面元法建立伴隨方程。面元法通過在物面上布置奇點來模擬流體流經槳葉的運動狀態。通過拉普拉斯方程和格林函數得到螺旋槳表面任一場點p的速度勢為[16-17]

式中：q為控制點；SB為螺旋槳的邊界；SW為螺旋槳尾渦面的邊界；nq為控制點外法向；Rpq為場點與控制點之間的距離；φp與 φq分別為場點與控制點的速度勢； Δφq為螺旋槳尾渦面偶極子強度。

針對螺旋槳水動力性能的優化，目標函數I可以表示為流動特征量U和設計變量x之間的函數。由于面元法計算中，通過等壓庫塔條件，尾渦面速度勢與槳葉面速度勢可以相互求解，因此，選擇尾渦面速度勢或者槳葉面速度勢作為流動特征量是可以等效的，在這里流動特征量選為尾渦面速度勢Δφ，設計變量x即為螺旋槳的幾何參數，故目標函數可以寫為

目標函數可以是螺旋槳的推力、扭矩、最大負壓系數和噪聲等；設計變量x可以是弦長、螺距和側斜角度等。通過等壓庫塔條件，可建立速度勢與幾何變量間的關系：

式中：pU為隨邊葉背壓力；pL為隨邊葉面壓力；壓差Δp可 通過雅克比矩陣建立與Δφ間的關系。引入伴隨變量λ，則敏感導數的求解式可寫為：

其中，λT滿足式（5）：

式（5）即為伴隨方程。求解完成控制方程式（1）后，基于式（3），微小改變x和Δφ，即得到N與x，Δφ間的偏導數。基于式（1），微小改變x和Δφ ，即得到I與x，Δφ之間的偏導數。于是，求解一次伴隨方程式（5），得到伴隨變量λ的值，代入敏感導數求解式（4）即得到了敏感導數結果。可以看出，建立伴隨方程后，敏感導數的求解不再需要重復求解控制方程，只需要求解一次控制方程式（1）和一次伴隨方程式（5），即可完成敏感導數的求解，這對于設計變量較多的優化問題，具有極大優勢。

2 敏感導數計算結果對比

為檢驗伴隨方法的敏感導數計算精度，以DTMB4381螺旋槳為對象，運用伴隨方法和傳統方法分別計算推力、扭矩、效率與螺距分布、拱弧分布之間的敏感導數，并對比計算結果。傳統的敏感導數計算是每改變一次設計變量x，求解一次控制方程式（1），得到ΔI與 Δx的比值，即為敏感導數。若采用中心差分的方法，則每改變一次設計變量x，需要求解2次控制方程。在本次計算中，采用的面元法計算結果與實驗值對比具有較好的一致性[18]，伴隨方法及傳統方法計算敏感導數均采用中心差分的數值處理，計算對比結果如圖1所示。圖1中：KT為推力系數；KQ為扭矩系數；η0為敞水效率；P/D為螺距比；fmax/C為拱弧比弦長；r/R為螺旋槳徑向位置。以dKT/d(P/D)表示推力系數與螺距比之間的敏感導數關系，其他敏感導數的意義與此式類似。

圖1 DTMB 4381槳螺距及拱弧敏感導數對比Fig.1 Sensitive derivative comparison of pitch ratio and camber ratio of DTMB 4381 propeller

圖1給出了敏感導數沿螺旋槳徑向分布，對比結果可知，伴隨方法及傳統方法的敏感導數計算結果具有較好的一致性，但在葉梢位置處的有一定差別。分析認為，面元法的計算模型在葉梢位置處的精度有限，微小改變螺旋槳幾何時，敏感導數計算結果存在一定的差值，但變化曲線的突變點并不影響徑向參數對螺旋槳性能影響的變化方向，若要消除葉梢處的曲線突變點，可通過調整葉梢處網格疏密及徑向參數的變化值大小來處理，限于本文研究的主題，在此不再詳細探討。進一步分析可知，伴隨方法在敏感導數計算中，需同時對Δφ與x的數值進行微小擾動，可在一定范圍內平衡數值誤差，從而使計算結果更加穩定，對幾何參數的改變更加敏感。而傳統方法只改變幾何變量x，敏感導數計算結果對幾何參數的敏感性較差。對比兩者敏感導數的計算時間，就本文計算中選取的10個徑向位置而言，伴隨方法的敏感導數計算時間約為傳統求解方法的1/10。因此，伴隨方法的效率優勢明顯，尤其對于設計變量較多的狀況，計算時間會大大減少。

3 螺旋槳優化設計

伴隨方法求解敏感導數的最終目的是指導螺旋槳的設計，根據敏感導數結果迅速找到幾何參數與螺旋槳性能之間的定量關系。選擇文獻[18]的螺旋槳HG01作為研究對象，文獻[18]基于ISIGHT平臺，結合實驗設計方法和粒子群算法對螺旋槳進行了優化設計，設計過程中保持推力不變，提高螺旋槳的效率和最大負壓系數。研究中首先對此螺旋槳進行敏感導數的分析，因文獻[18]只改變螺距比及拱弧比，為了對比研究，本文也只對螺距比及拱弧比進行優化。敏感導數計算結果如圖2所示。

圖2 HG01槳徑向參數敏感導數對比結果Fig.2 Comparison of sensitive derivative of HG01 propeller's radial parameters

從圖2可以看出，螺距由葉根到葉梢，對螺旋槳的推力、扭矩的影響效果逐漸變大，而對效率的影響效果是先增大后減小。由葉根到葉梢，拱弧對于螺旋槳的推力、扭矩及效率的影響效果均逐漸增大。但螺距對效率的影響是負相關的，拱弧對效率的影響呈正相關。根據螺距和拱弧對推力、扭矩以及效率的影響，選擇適當的變化方式，改變螺旋槳螺距及拱弧的徑向分布。由于螺距在0.7R處，對效率的影響最大，靠近葉根與葉梢對效率的影響逐漸變小，且呈負相關。為了維持推力不變，同時提高效率和改善空泡性能。選擇減小螺距，增大拱弧。螺距在0.7R處減小幅度最大，靠近葉根及葉梢端的減小幅度逐漸減小。拱弧由葉根到葉梢均增大，從葉根到葉梢增大的幅度逐漸變大。

根據優化過程中以敏感導數的定量結果作為參考，按照各個幾何參數的1%進行逐步迭代修正。先調整螺旋槳的徑向幾何參數，再調整螺旋槳葉剖面幾何，來達到改善螺旋槳空泡性能的目的，同時需要滿足螺旋槳的敞水性能保持不變。如式（6）所示，下標加0表示優化前數值。

式中，自變量為螺旋槳徑向參數和尾渦面速度勢徑向值。

最終優化得到的螺旋槳螺距及拱弧的對比如圖3所示。另外，基于ISIGHT優化平臺的粒子群方法（PSO）得到的螺距及拱弧對比如圖4所示。

圖3 伴隨方法優化前后幾何參數對比結果Fig.3 Comparison of parameters before and after optimization with the adjoint method

圖4 ISIGHT優化平臺的粒子群算法優化前后幾何參數對比結果Fig.4 Comparison of parameters before and after optimization with the PSO algorithm of ISIGHT

由圖3和圖4可以看出，伴隨方法與粒子群優化方法對于螺旋槳螺距及拱弧的改變方式是完全不同的，但根據敏感導數分析結果可知，粒子群優化方法對螺旋槳螺距和拱弧的改變方式也是可行的途徑之一，但不是提高效率、優化空泡性能及同時保持推力不變的最佳途徑。為了對比伴隨方法及粒子群方法的優化效果，對伴隨方法及粒子群算法優化得到的推力、扭矩系數和敞水效率以及最大負壓系數進行了對比，對比結果如表1所示。表中“+”表示增加，“?”表示降低。計算用的是同一臺計算機，CPU為4核Intel Core 2 Quad CPU Q6600 @ 2.4 GHz。

表1 優化結果對比Table 1 The comparison of optimization results

由表1可以看出，比較伴隨方法與粒子群方法的優化結果，在優化效率上伴隨方法的增大幅度略高，在最大負壓系數的減小幅度上，伴隨方法的減小幅度較大。另外在計算時間上，粒子群方法所需要的時間比伴隨方法的時間消耗多一個數量級。因此，伴隨方法在螺旋槳的優化設計中具有巨大優勢。

4 結 論

本文主要基于面元法開展伴隨方法的研究，運用伴隨方法分析敏感導數，并應用于螺旋槳的優化設計。根據數值對比結果和設計結果得到以下結論：

1）伴隨方法敏感導數計算比傳統方法穩定，且計算效率要高。就本文選取的10個徑向位置，伴隨方法的敏感導數計算時間約是傳統方法的1/10。

2）伴隨方法計算得到的敏感導數結果為螺旋槳優化設計提供方向。由于伴隨方法高效的敏感導數計算，得到了螺旋槳性能與幾何參數之間的定量關系，使得優化設計時對各個位置處的幾何參數改變更具針對性，從而大大提高了螺旋槳的優化設計效率。

3）伴隨優化方法與粒子群方法的對比表明，伴隨方法優化得到的結果更好，優化效率更高。