為理解而教
——《認(rèn)識(shí)公頃和平方千米》教學(xué)案例與思考

牛獻(xiàn)禮（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版四年級(jí)上冊(cè)第34、35頁(yè)。

【教學(xué)思考】

什么是“理解”？各家說(shuō)法不盡相同，但都強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：把新的知識(shí)納入到已有的知識(shí)體系之中。學(xué)生在建立一個(gè)新概念時(shí)，如果能用舊知來(lái)解釋新知，在新舊知識(shí)間建立聯(lián)系，從而在心理上組織起有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，那才是真正的理解。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)新知的理解，應(yīng)努力引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解釋新現(xiàn)象、新問(wèn)題”的過(guò)程。下面以《認(rèn)識(shí)公頃和平方千米》的教學(xué)為例加以說(shuō)明。

調(diào)研發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“公頃”和“平方千米”的認(rèn)知并非一片空白，但在應(yīng)用時(shí)卻問(wèn)題百出：一是因直觀體驗(yàn)少而容易遺忘；二是不能正確把握面積單位的大小概念，分不清“平方千米”和“公頃”哪個(gè)是高級(jí)單位；三是習(xí)慣性地將“公頃”和“平方米”之間的進(jìn)率記作100。產(chǎn)生上述問(wèn)題的原因，歸結(jié)起來(lái)是因?yàn)槠椒嚼迕住⑵椒椒置住⑵椒矫缀推椒角锥紝?duì)應(yīng)著一個(gè)長(zhǎng)度單位，只有公頃不易找到一個(gè)相應(yīng)的長(zhǎng)度單位與之對(duì)應(yīng)，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)規(guī)律可循。由此可見(jiàn)，假如只是把“公頃”和“平方千米”這兩個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念“生吞活剝”地灌輸給學(xué)生，他們已有的舊知并不足以解釋新知，不能促成學(xué)生對(duì)知識(shí)的深刻理解。

碎片化的已有認(rèn)知和經(jīng)驗(yàn)，怎樣才能系統(tǒng)化？既然按部就班地學(xué)習(xí)書(shū)本知識(shí)不可取，怎樣改變學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生通過(guò)自己的親身體驗(yàn)去建立“公頃”的表象？帶著這樣的思考，我在教學(xué)中做了如下嘗試。

教學(xué)片斷一：

出示研究問(wèn)題：

問(wèn)題一 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些面積單位？請(qǐng)按從小到大的順序?qū)懴聛?lái)。

問(wèn)題二 你能舉例或畫(huà)示意圖說(shuō)一說(shuō)它們分別有多大嗎？

（學(xué)生獨(dú)立研究，然后組織全班交流）

生：面積單位有平方厘米、平方分米、平方米，還有畝和平方千米。

生：邊長(zhǎng)1厘米的正方形的面積是1平方厘米。

師：邊長(zhǎng)1厘米的正方形大約有多大呢？能舉個(gè)例子嗎？

生：就像手指甲蓋兒那么大。

師：那1平方分米有多大呢？

生：邊長(zhǎng)1分米的正方形的面積是1平方分米，像一個(gè)手掌那么大。

師：（出示1平方分米大的正方形紙片）這張紙的邊長(zhǎng)是1分米，它的面積就是1平方分米。1平方米有多大呢？

生：邊長(zhǎng)1米的正方形的面積是1平方米。

師：邊長(zhǎng)1米的正方形究竟有多大呢？我們?cè)诤诎迳袭?huà)一畫(huà)。

（教師在黑板上演示用米尺畫(huà)出一個(gè)邊長(zhǎng)是1米的正方形，學(xué)生發(fā)出一陣驚嘆聲：這么大！）

師：請(qǐng)同學(xué)們估測(cè)一下這塊黑板的面積大約有多少平方米？

生：1.5平方米、1.7平方米……

（教師再演示把1平方分米和1平方厘米分別畫(huà)在了1平方米的正方形里面，學(xué)生不停地感嘆：1平方分米、1平方厘米和1平方米比起來(lái)太小了！）

師：把這三個(gè)面積單位重疊在一起，就容易看出來(lái)，相鄰兩個(gè)面積單位的進(jìn)率是——

生：100。

【思考：本課通常的教法是通過(guò)呈現(xiàn)生活素材（如：北京中華世紀(jì)壇占地面積約4.5公頃；臺(tái)灣日月潭面積約827公頃；等等），來(lái)介紹“公頃”這一面積單位的廣泛應(yīng)用，從而引入新課。然而，面對(duì)生活中的這些“大數(shù)據(jù)”，學(xué)生是很難有感覺(jué)的，因?yàn)樗鼈冸x學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)比較“遙遠(yuǎn)”。現(xiàn)代認(rèn)知論認(rèn)為，一切新的有意義學(xué)習(xí)都是在原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有穩(wěn)定和清晰的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)?zāi)転樾碌膶W(xué)習(xí)提供最佳關(guān)系和固定點(diǎn)。在上述教學(xué)中，通過(guò)逐步復(fù)習(xí)以前學(xué)過(guò)的面積單位，給了每一位學(xué)生喚醒舊知的機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生找到了后繼學(xué)習(xí)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的根基，有利于學(xué)生體驗(yàn)到知識(shí)的發(fā)展過(guò)程。】

教學(xué)片斷二：

師：剛才有同學(xué)提到了面積單位還有“平方千米”，那么，1平方千米有多大呢？平方米和平方千米之間的進(jìn)率是多少呢？大家可以猜一猜。

生：我認(rèn)為平方米和平方千米之間的進(jìn)率應(yīng)該是1000。

（班里還有人認(rèn)為進(jìn)率是100，也有人認(rèn)為進(jìn)率是10000）

師：看來(lái)大家對(duì)平方米和平方千米之間的進(jìn)率有不同意見(jiàn)，哪種意見(jiàn)正確呢？我們一起來(lái)研究研究。剛才提到的幾個(gè)面積單位都是用正方形來(lái)表示的，1平方千米這個(gè)面積單位也是個(gè)大正方形，它的邊長(zhǎng)會(huì)是多少呢？

生：1千米。

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)檫呴L(zhǎng)1厘米的正方形是1平方厘米，邊長(zhǎng)1分米的正方形是1平方分米，邊長(zhǎng)是1米的正方形是1平方米，所以我推想，邊長(zhǎng)1千米的正方形就是1平方千米。

師：合情合理！

（完善板書(shū)：邊長(zhǎng)1厘米 面積1平方厘米

邊長(zhǎng)1分米 面積1平方分米

邊長(zhǎng)1米 面積1平方米

邊長(zhǎng)1千米 面積1平方千米）

師：觀察上面這幾個(gè)正方形的邊長(zhǎng)和面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？有什么想法？

生：從上往下，邊長(zhǎng)每次都“×10”，面積都“×100”。

生：最后一個(gè)不是，邊長(zhǎng)1米到1000米，是“×1000”。

生：我感覺(jué)平方米和平方千米之間還應(yīng)該有別的面積單位，因?yàn)樯厦鎺讉€(gè)正方形的邊長(zhǎng)之間的進(jìn)率都是10，從1米到1000米，進(jìn)率卻是1000。

師：很有想法！也很有道理！想一想，如果按照上面“邊長(zhǎng)×10”的規(guī)律繼續(xù)下去，邊長(zhǎng)1米的正方形的邊長(zhǎng)再“×10”，就是邊長(zhǎng)10米的正方形，這個(gè)單位叫什么呢？

生：平方十米。

師：有道理！能計(jì)算出平方十米的面積嗎？

生：邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，10×10=100（平方米）。

師：1平方十米就是100平方米，它還有個(gè)名字叫“公畝”，這個(gè)單位現(xiàn)在用得比較少了。公畝和我們生活中說(shuō)的“畝”可不是一回事兒，1畝大約是666.7平方米。再繼續(xù)下去，邊長(zhǎng)100米的正方形，這個(gè)單位叫什么呢？

生：平方百米。

師：1平方百米有多大？

生：100×100=10000（平方米）。

師：如果邊長(zhǎng)是1000米呢？它的面積有多大？

生：1000×1000=1000000，應(yīng)該是 1000000 平方米。（學(xué)生發(fā)出一陣驚呼）

師：現(xiàn)在我們知道了，平方千米和平方米之間的進(jìn)率既不是100，也不是1000，而是——

生：1000000。（學(xué)生又一次發(fā)出驚嘆聲！）

師：邊長(zhǎng)100米的正方形是1平方百米，1平方百米就是1公頃（板書(shū)：公頃），公頃的單位用字母表示就是hm2（板書(shū)：hm2），其中“hm”中的“h”是英文單詞“hundred”的縮寫(xiě)，表示“百”的意思，hm2就是百米的平方，也就是10000平方米。想一想，公頃和平方千米之間的進(jìn)率是多少？

生：1平方千米=100公頃。

師：那平方米和公頃之間的進(jìn)率呢？（生：10000）

師：進(jìn)率是10000？為什么？

生：因?yàn)樗鼈冎虚g還隔著一個(gè)“公畝”，所以是10000。

生:100個(gè) 100就是 10000。（板書(shū)：100×100=10000）

師：按這種解釋，平方米和平方千米之間的進(jìn)率是多少？

生：100×100×100=1000000。（板書(shū)）

逐步完善板書(shū)：

生：老師，還有沒(méi)有比平方千米大的面積單位？

師：如果有，大家覺(jué)得應(yīng)該是什么呢？有多大呢？

生：邊長(zhǎng)是10000米的正方形，平方萬(wàn)米。

生：邊長(zhǎng)是1億米的正方形，平方億米。（學(xué)生發(fā)出一陣驚呼）

師：像這種思考問(wèn)題的方式就是數(shù)學(xué)上的“推理”（板書(shū)：推理）。公頃和平方千米已經(jīng)是非常大的面積單位了，所以，就不需要更大的面積單位了。

【思考：美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾指出，遷移現(xiàn)象普遍地存在于人的活動(dòng)中，凡有學(xué)習(xí)的地方就會(huì)有遷移。遷移就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。教師應(yīng)注意利用學(xué)生先前獲得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)后繼學(xué)習(xí)施以積極影響，使新知通過(guò)遷移而同化或順應(yīng)于原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得以不斷擴(kuò)展和壯大。在上述教學(xué)中，由正方形邊長(zhǎng)10倍遞增，順次計(jì)算出相應(yīng)的正方形的面積，并順勢(shì)而下，揭示“公頃”（平方百米）“公畝”（平方十米）等面積單位，并補(bǔ)充介紹公頃的符號(hào)“hm2”等，完善了“相鄰兩個(gè)面積單位之間的進(jìn)率是100”的知識(shí)體系，也便于學(xué)生理解、記憶和使用。這樣，整個(gè)面積單位體系系統(tǒng)化，有規(guī)律可循，學(xué)生的認(rèn)知也更全面，對(duì)進(jìn)率的理解也就更深刻。另外，上述以解決“面積單位對(duì)應(yīng)的正方形的邊長(zhǎng)是多少”的問(wèn)題為載體的教學(xué)過(guò)程，在實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，也讓學(xué)生經(jīng)歷了一系列演繹推理活動(dòng)，滲透了“邏輯推理”素養(yǎng)的培育。】

教學(xué)片斷三：

師：1公頃到底有多大呢？讓我們一起到熟悉的操場(chǎng)上測(cè)量測(cè)量，親身感受一下吧。

課的后半段時(shí)間，筆者帶著學(xué)生走出教室來(lái)到了操場(chǎng)，師生合作測(cè)量“100米有多長(zhǎng)？”觀察、體驗(yàn)“邊長(zhǎng)100米的正方形的面積有多大”。

學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)平時(shí)感覺(jué)特別大的學(xué)校足球場(chǎng)的面積連1公頃都不到，整個(gè)學(xué)校操場(chǎng)的面積只有1公頃多一些，而整個(gè)學(xué)校占地面積也只有2公頃多一些。

師：像我們學(xué)校這么大的面積，才選用“公頃”這個(gè)比較大的面積單位，“平方千米”是更大的面積單位，在哪里才有用武之地呀？

生：整個(gè)亦莊的面積可以用平方千米作單位。

生：北京市的面積可以用平方千米作單位。

生：中國(guó)的面積可以用平方千米作單位。

師：大家知道中國(guó)的陸地面積大約是多大嗎？960萬(wàn)平方千米呢！

……

【思考：表象是客觀事物經(jīng)過(guò)主體感知以后在頭腦中所留下的形象，它源于感知又高于感知，是人們認(rèn)識(shí)事物由感知向抽象思維過(guò)渡的中介環(huán)節(jié)。一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得，需要幫助學(xué)生建立準(zhǔn)確、鮮明的表象，并以表象為中介，通過(guò)抽象思維對(duì)概念達(dá)到理性的理解。

對(duì)靜止事物感知而在頭腦中留下的形象是靜態(tài)表象；經(jīng)演示、操作、活動(dòng)等而在腦中留下的過(guò)程、情境是動(dòng)態(tài)表象。這種動(dòng)態(tài)表象除了與靜態(tài)表象一樣在認(rèn)識(shí)過(guò)程中具有中介作用以外，它所反映的情境、過(guò)程更能使學(xué)生對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的前因后果和來(lái)龍去脈進(jìn)行深刻地思考，在進(jìn)一步展開(kāi)的抽象思維中更好地把握過(guò)程和結(jié)論的關(guān)系。

在“認(rèn)識(shí)公頃”的教學(xué)中，讓學(xué)生形成較為準(zhǔn)確、清晰的表象是重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。然而，學(xué)生很難直接體驗(yàn)“1公頃”的大小。教學(xué)中大都采用由小面積推算大面積的辦法，例如把28位學(xué)生手拉手圍成的正方形面積（10米×10米）、1個(gè)教室的面積（6米×8米）等作為“憑據(jù)”，讓學(xué)生推想“1公頃有多大”，間接感知1公頃的大小。研究表明，學(xué)生對(duì)選定的參照物的熟悉程度越高，且表示的數(shù)據(jù)越少、數(shù)值越大，學(xué)生對(duì)1公頃的大小就會(huì)越“有感覺(jué)”。因此，“操場(chǎng)的面積大約是1公頃多一些”要遠(yuǎn)比“200多個(gè)教室的面積大約是1公頃”更有助于學(xué)生感知1公頃的大小。

鑒于此，我把“認(rèn)識(shí)公頃”的后半段學(xué)習(xí)過(guò)程移到了操場(chǎng)，精心組織演示與測(cè)量活動(dòng)，展示清晰的操作過(guò)程與程序，并通過(guò)回想、復(fù)述、提問(wèn)等辦法，幫助學(xué)生把這種情境、過(guò)程留下來(lái)，形成動(dòng)態(tài)表象，這不僅對(duì)于學(xué)習(xí)抽象的“公頃”和“平方千米”概念有利，而且能使學(xué)生在“知其所以然”上獲得深刻的理解和牢固的記憶。】