鉛酸電池剩余放電時間預測的數學模型

宋劍萍

（西安職業技術學院基礎課部，陜西西安710077）

2016全國大學生數學建模競賽C題，電池剩余放電時間預測。本文根據題目中所給定的電池放電采樣數據，研究鉛酸電池放電數學模型的建立和剩余放電時間的預測。

1 問題重述

鉛酸電池作為電源，被廣泛用于日常生活、工業、軍事中。鉛酸電池在恒定電流強度荷載的放電過程中，電壓隨著放電時間單調下降，直到最低保護的額定電壓（Um=9 V）。從充滿電后開始放電，電壓隨時間變化的關系稱為放電曲線[1]。

問題一根據同一生產批次的電池，出廠時以不同電流強度荷載，放電測試記錄數據。用初等函數建立放電數學模型，并用模型的平均相對誤差MRE檢驗其精度。根據建立的模型，預測新電池分別以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強度放電，從電壓為9.8 V降到9 V時的剩余放電時間。

問題二依據任一恒定電流強度荷載下電池放電的數學模型，繪出電流強度為55 A時的放電曲線圖，并寫出其數學表達式。

問題三根據不同的衰減狀態，以同一恒定電流強度荷載的同一電池，從充滿電后開始放電的采樣數據。預測電池在衰減狀態3的剩余放電時間。

2 數據分析

根據題目中給出的生產同一批次電池，出廠時以不同電流強度放電，經測試得到完整放電曲線的采樣數據。將其數據導入MATLAB軟件中，使用程序為：

x1=xlsread（′CUMCM2016-C-Appendix-Chinese.xlsx′，′，exc1′，′A7:A1885′）；

可得電池在不同電流強度狀態下，放電時間與電壓關系的散點圖，如圖1所示[2]。

圖1 不同電流強度，時間與電壓的散點圖

因采樣數據點較多，數軸上的長度單位較小，所以圖1的散點圖給人以曲線圖的感覺。圖1得出，電流強度越大，電壓隨時間下降的越快。即電池以不同的恒定電流強度放電時，電流強度越大，其放電時間越短。電流強度越小，其放電時間越長。

3 恒定電流下，模型建立與求解

根據圖1不同的恒定電流下，電池的放電散點圖和題目要求用初等函數表示放電曲線，所以放電模型一為：

3.1 恒定電流下，放電模型建立

平均相對誤差MRE的計算公式為：

MRE=，其中Z為實際剩余放電時間，Z′為理論剩余放電時間，n為樣本點的數量。

題目要求用基本初等函數建立數學模型，基本初等函數有三角函數，對數函數，指數函數，冪函數以及它們的四則運算，根據圖1猜測，電池的放電曲線是多項式函數。

采用MATLAB軟件工具箱中的多形式擬合命令，擬合出放電曲線的多項式函數。

因100 A電流強度放電時的時間和電壓數據比較少，所以對它分別采用了二次曲線和三次曲線擬合，二者的擬合系數都在99以上。但是，用MATLAB程序計算這兩條曲線的平均相對誤差MRE分別為10.986 7和0.046 3。這兩個數據說明，采用二次曲線擬合時，實際放電時間與理論放電時間差別較大，超過了百分之百的誤差，而三次曲線擬合的MRE誤差在5%以下，說明三次曲線擬合得到的理論放電時間更接近于實際值。因此選用三次曲線擬合最佳[3-4]。

效仿100A電流強度下，電池放電曲線的三次多項式擬合方法，得到不同恒定電流下，電池的放電模型均采用三次多項式擬合。得到20 A，30 A，40 A，50 A，60 A，70 A，80 A，90 A，100 A 9種電流下的放電模型二為：

（其中u為電壓，t為放電時間，α,β,γ,λ分別是多項式的系數，n取1到9之間的整數）

3.2 恒定電流下，放電模型求解

圖1直觀顯示，時間與電壓的關系可分為3個階段：電壓隨放電時間急速下降階段，電壓隨放電時間單調上升階段，這是由于剛開始使用電池時，電池內物質的化學反應還沒達到穩定狀態所造成的。當電池放點持續一小段時間后，電壓隨放電時間進入單調下降階段。電池在放電初期，電壓隨放電時間急速下降和單調上升階段，這與題目中的要求“在鉛酸電池以恒定電流強度放電過程中，電壓隨放電時間單調下降”矛盾。電壓隨放電時間急速下降和單調上升階段不考慮，刪除不考慮階段的數據。將下降階段的整理后導入MATLAB軟件，建立初等函數數學模型，擬合放電曲線如圖2所示。本文僅僅從電壓隨放電時間下降階段開始研究[5]。

圖2 不同電流強度的放電曲線

運用MATLAB軟件工具箱中的擬合編程，分別得到20 A，30 A，40 A，50 A，60 A，70 A，80 A，90 A，100 A的放電曲線數學模型三如下：

根據平均相對誤差MRE的定義編程，得到上述各模型的放電曲線的平均相對誤差NRE值，如表1[6-7]。

表1 不同恒定電流下放電時間模型的MRE值表

上表中的數據說明，擬合得到的理論放電曲線與實際放電的記錄數據誤差在5%以下，放電曲線模型可以作為實際放電時間預測的理論根據。

根據上面的放電曲線模型三，將電壓分別是9.8 V和9 V帶入等式左邊，得到關于未知數為t的方程。用MATLAB軟件解方程得到對應的放電時間，如表1[8]。

電池的剩余放電時間=9 V所用放電時間—9.8 V所用放電時間。

在新電池使用中，分別以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A電流強度放電，測得電壓都為9.8 V時，根據建立的數學模型，得到電池的剩余放電時間分別是：605 min，434 min，331 min，277 min，251 min。這與現實情況中，電流荷載越大，電池的使用時間越短是一致的。

表2 電壓為9.8 V和9 V放電時間

4 任一恒定電流下，放電模型建立與求解

問題一是給定的恒定電流強度下放電曲線數學模型，建立的數學模型中有兩個變量，即電壓u和放電時間t。而問題二要求的是任一恒定電流強度下放電曲線數學模型，有3個變量，即電壓u，放電時間t和電流i[9]。建立如下模型四：

4.1 任一恒定電流下，放電模型建立

u=?(i,t)是二元非線性擬合，如果整體去擬合，難度大，并且積累起來的誤差比較大，所以采用逐步擬合的方法[10-11]。

利用（2）中各項系數α,β,γ,λ與電流i的之間的數據，即 (αn,in)，(βn,in)，(γn,in)，(λn,in).用 MATLAB軟件工具箱中的擬合命令，建立各項系數α,β,γ,λ與電流i的函數關系[12]。即

得到任一恒定電流強度下放電曲線模型五為：

（其中u為電壓，t為放電時間，i為電流強度）

4.2 任一恒定電流下，放電模型求解

把i=50帶入式（4）中，得到平均相對誤差MRE為0.0097。說明模型五的建立是比較合理的[13]。

把i=55帶入式（4）中，得到電流為55A時的放電曲線函數表達式（6）和圖3：

圖3 電流為55 A時的放電曲線

5 同一電流強度不同衰減狀態，放電模型建立與求解

由同一電池以同一電流強度的荷載，在不同衰減狀態下的，從充滿電后開始放電。根據電池放電時間與電壓的數據，建立新電池狀態、衰減狀態1、衰減狀態2 3種狀態的放電曲線，找出它們的放電曲線規律，預測衰減狀態3的放電曲線規律，從而得到衰減狀態3的未知放電時間。

5.1 同一電流強度不同衰減狀態的模型建立

根據放電電壓與時間的數據，使用MATLAB軟件，分別做出3種狀態的放電時間隨電壓變化的散點圖，如圖4所示[14]。

圖4 不同狀態，同一電流強度時間與電壓的散點圖

對圖4進行跟蹤定點，得出驟變節點坐標在10.4 V處。由驟變節點可以將圖像分為兩部分，電壓在10.4 V到10.5 V之間內，放電時間降低緩慢，3條曲線幾乎重合，可推出，在同一電流強度放電的情況下，電池的放電曲線差別甚微。當電壓u＜10.4 V時，新電池狀態、衰減狀態1、衰減狀態2的放電曲線的趨勢大致相同，3種狀態放電曲線的趨勢大致相同，推測衰減狀態3的放電曲線與他們有相同的走勢。利用衰減狀態3的中已知放電時間與電壓的數據，擬合出的狀態3的放電曲線[15]。建立如下模型六

5.2 同一電流強度不同狀態的模型求解

根據圖4和建立模型六的過程分析，將衰減狀態3中的已知數值，帶入模型五中，通過曲線擬合得到衰減狀態3的放電曲線的函數表達式（8）如下：

其中，α=-156.9(-200.9,-112.8)，β=4181(2848,5514)，γ=-3.734×104(-5.078×104,-2.39×104)，λ=1.126×105(6.738×104,1.577×105)。

在衰減狀態3下，電池的剩余放電時間t=tu=9-tu=9.765.所以，電池在衰減狀態3下的剩余放電時間為t=264.7min[16]。

6 結束語

本文依據采樣數據，運用MATLAB軟件，采用3次多項式擬合，建立了鉛酸電池在多種狀態下的放電曲線模型，對所建立的模型進行求解，用平均相對誤差MRE指標進行檢驗。該模型的建立，方法簡單易于操作，對電池放電時間的研究有一定的幫助和借鑒意義。