基于SimMechanics的混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

馬貴平

（太原理工大學(xué)， 山西 太原 030024）

引言

混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)由常速電機(jī)和伺服電機(jī)共同驅(qū)動(dòng)，其中常速電機(jī)提供主要?jiǎng)恿?，伺服電機(jī)主要起調(diào)節(jié)控制作用，兩種類型的驅(qū)動(dòng)通過一個(gè)兩自由度的機(jī)構(gòu)合成后完成高性能的運(yùn)動(dòng)輸出[1]?；旌向?qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)兼容了傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的高效率、高承載力及伺服驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)柔性可調(diào)的優(yōu)點(diǎn)，而彌補(bǔ)了傳統(tǒng)機(jī)械缺乏柔性，伺服機(jī)構(gòu)不能承受大載荷的缺陷[2]?；旌向?qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是對(duì)其進(jìn)行機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、運(yùn)動(dòng)評(píng)價(jià)及運(yùn)動(dòng)控制的基礎(chǔ)。SimMechanics具有建模簡便、仿真功能強(qiáng)大等特點(diǎn)[3]，并且以物理結(jié)構(gòu)建模的方式避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模和編程，大大減少了工作量和出錯(cuò)率，是一個(gè)對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真的有效工具。

1 混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是已知其結(jié)構(gòu)尺寸，根據(jù)末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求解原動(dòng)件的角位移、角速度和角加速度的過程?；旌向?qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，其中AE桿為機(jī)架，由常速電機(jī)驅(qū)動(dòng)的AB桿和由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)的DE桿作為機(jī)構(gòu)的輸入，共同驅(qū)動(dòng)從動(dòng)件BC桿和CD桿運(yùn)動(dòng)，以使該機(jī)構(gòu)的末端C點(diǎn)輸出柔性軌跡，C點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為（xc，yc）。此處設(shè)混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的桿長分別為 l1、l2、l3、l4、l5，各構(gòu)件與 x 軸正向夾角分別 θ1、θ2、θ3、θ4、0°，各構(gòu)件的質(zhì)量為 m1、m2、m3、m4，各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 I1、I2、I3、I4。

根據(jù)圖1，混合驅(qū)動(dòng)平面五連桿機(jī)構(gòu)閉環(huán)矢量方程可表示為：

圖1 混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

公式（1）分別在x和y方向上展開，可得：

聯(lián)立方程（2）與（3），并消去 θ2，可得：

解方程（6），可得桿AB的角位移為：

聯(lián)立方程（4）與（5），并消去 θ3，可得：

解方程（8），可得桿DE的角位移為：

式（7）和（9）對(duì)時(shí)間t分別求一次和二次導(dǎo)數(shù)即可得到桿 AB 和桿 DE 的角速度θ˙1、θ˙4和角加速度θ¨1、θ¨4。

2 SimM echanics建模

SimMechanics是物理建模的一部分，利用物理原理來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模和設(shè)計(jì)，內(nèi)部建有許多物理元件的模塊，包括：機(jī)身、關(guān)節(jié)、約束條件、坐標(biāo)系統(tǒng)和感測裝置等。根據(jù)機(jī)構(gòu)的工作原理，SimMechanics在模塊框圖的建模環(huán)境下利用剛體和運(yùn)動(dòng)副來描述各個(gè)剛體之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系[4]。

根據(jù)上頁圖1所示機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，建立混合驅(qū)動(dòng)平面五連桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SimMechanics動(dòng)力學(xué)仿真模型如圖2所示。仿真模型參數(shù)主要有運(yùn)動(dòng)副控制參數(shù)和剛體幾何物理屬性參數(shù)，參數(shù)的設(shè)置既可以采用直接數(shù)據(jù)輸入，也可以采用變量輸入。圖2所示模型采用變量參數(shù)輸入，初始變量參數(shù)編寫在一個(gè)M文件中，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真之前需將初始參數(shù)輸入到MATLAB的工作空間。如果機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)需要改變，僅僅只需要在M文件中進(jìn)行修改，而不需要對(duì)模型中的每個(gè)模塊單元設(shè)置參數(shù)。

圖2 混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)SimMechanics建模

3 仿真實(shí)例

要求混合驅(qū)動(dòng)平面五連桿機(jī)構(gòu)末端執(zhí)行器C點(diǎn)運(yùn)行一直線段軌跡，從點(diǎn)C（0.3，0.3）運(yùn)行至點(diǎn)C'（0.5，0.5），運(yùn)行時(shí)間為2 s?；旌向?qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)如下：l1=0.21m，l2=0.53m，l3=0.47m，l4=0.25m，l5=0.53m；m1=0.33 kg，m2=0.832 kg，m3=0.738 kg，m4=0.393 kg；I1=0.004 8 kg·m2，I2=0.0195 kg·m2，I3=0.0136 kg·m2。

混合驅(qū)動(dòng)平面五連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)仿真模型如圖3和圖4所示，圖3為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的演示界面，圖4為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)到終止時(shí)的演示界面。通過動(dòng)畫仿真可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程保持了較好的穩(wěn)定性，各個(gè)關(guān)節(jié)動(dòng)作協(xié)調(diào)、流暢，較好地完成了期望運(yùn)動(dòng)。

圖3 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)刻的演示界面

圖4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)終止時(shí)刻的演示界面

圖5—圖7分別給出了混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)兩個(gè)原動(dòng)件桿AB和桿DE的角位移，角速度和角加速度曲線。桿AB由常速電機(jī)驅(qū)動(dòng)，所以其角度與時(shí)間呈線性關(guān)系變化，角速度為常數(shù)，角加速度為0。桿DE由伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，需要時(shí)刻調(diào)整角度以保證末端C點(diǎn)的位置，因此其角度、角速度和角加速度的變化與時(shí)間成非線性的關(guān)系。整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程機(jī)構(gòu)連桿曲線保持良好的連續(xù)性，數(shù)值合理，驗(yàn)證了模型和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性。

圖5 桿AB和桿DE的角位移曲線

圖6 桿AB和桿DE的角速度仿真曲線

圖7 桿AB和桿DE的角加速度仿真曲線

4 結(jié)論

1）采用封閉矢量法對(duì)混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，在已知末端執(zhí)行器運(yùn)動(dòng)軌跡的情況下推導(dǎo)了原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)方程。

2）應(yīng)用SimMechanics建立了混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型并進(jìn)行仿真，得到了兩原動(dòng)件在任意時(shí)刻的角位移、角速度和角加速度。

3）實(shí)例仿真分析結(jié)果驗(yàn)證了模型和混合驅(qū)動(dòng)五連桿機(jī)構(gòu)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的正確性，為下一步位置精確控制奠定了基礎(chǔ)。