非達(dá)西滲流效應(yīng)對深埋圓形隧洞彈塑性解的影響

張丙強(qiáng)，王啟云，臧萬軍

(1.福建工程學(xué)院 土木工程學(xué)院,福建 福州 350118；2.地下工程福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗室,福建 福州 350118)

位于海底或高承壓水地基中的隧洞，圍巖應(yīng)力場和位移場受滲流場的影響不可忽視[1-3]。文獻(xiàn)[2-3]將隧洞滲透力與應(yīng)力場進(jìn)行耦合，基于Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則求解隧洞彈塑性解析解，并分析隧洞內(nèi)外水頭差對應(yīng)力場的影響。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)考慮滲透力情況下圓形洞室圍巖特性曲線的簡化解，分析表明滲流效應(yīng)對地下洞室塑性區(qū)半徑和洞壁徑向位移的影響較明顯。文獻(xiàn)[5-6]分別對原始Hoek-Brown屈服準(zhǔn)則和廣義非線性屈服準(zhǔn)則下考慮滲流效應(yīng)的洞室彈塑性分析進(jìn)行解析。文獻(xiàn)[7-9]推導(dǎo)滲流效應(yīng)影響下軟化圍巖隧洞彈塑性解析解。文獻(xiàn)[10-11]推導(dǎo)考慮軸向力和滲流作用影響下隧洞圍巖的彈塑性解析解。文獻(xiàn)[12]推導(dǎo)具有襯砌的海底圓形隧洞在滲流場影響下的彈塑性解析解。

上述研究中，隧洞滲流場的解析均是基于Darcy線性滲流定律推導(dǎo)的。試驗研究表明，流體在飽和黏土、致密砂巖、破碎巖石等介質(zhì)中的滲流呈現(xiàn)明顯的非達(dá)西滲流特征[13-15]。非達(dá)西滲流與Darcy滲流在壓力傳播規(guī)律等方面存在不同，采用Darcy定律近似處理與低滲透介質(zhì)有關(guān)的滲流問題與實(shí)際情況存在一定的偏差[16-18]。目前考慮非達(dá)西滲流影響的隧洞彈塑性問題解析研究還鮮有報道，本文將非達(dá)西滲流模型引入隧洞滲流理論，對考慮非達(dá)西滲流影響的深埋圓形隧洞應(yīng)力場和位移場進(jìn)行解析分析，并對非線性滲流效應(yīng)對隧洞塑性區(qū)半徑和洞壁徑向位移、圍巖特征曲線的影響進(jìn)行分析和討論。

1 基本假定

深埋圓形隧洞可以簡化為軸對稱平面應(yīng)變問題，圖1為一深埋圓形隧洞，隧洞半徑為r0，隧洞中心以外αr0(α>10)處的上覆土層自重應(yīng)力為P0，支護(hù)壓力為Pa，滲透力為Fr，并做如下兩點(diǎn)假設(shè)：

(1)假定隧洞周圍巖體是均質(zhì)體，隧洞側(cè)壓力系數(shù)等于1.0，忽略計算單元自重的影響。

(2)隧洞圍巖滲流為穩(wěn)定流，服從非線性滲流定理，且以徑向為主；不考慮滲透體積力中浮力部分的影響，計算巖體應(yīng)力與變形時采用有效應(yīng)力原理[2，19]。

圖1 隧洞計算模型

2 滲流場解析

地下水的非達(dá)西滲流問題比較復(fù)雜，至今仍沒有統(tǒng)一的描述公式。學(xué)者們通過大量研究獲得描述非達(dá)西滲流的經(jīng)驗公式，本文采用Izbash方程的一種基本形式[20]，即

J=κvm(m≠1)

( 1 )

式中：J為水力坡度；v為滲流速度；κ、m為待定參數(shù)。

根據(jù)滲流力學(xué)知識，平面徑向滲流連續(xù)方程[21]為

( 2 )

式中：r為到圓心的距離。

求解式( 2 )可得徑向滲流速度為

( 3 )

式中：c1為待定參數(shù)，可由滲流邊界條件確定。

根據(jù)式( 1 )和式( 3 )，可以得到Izbash徑向滲流水力坡度計算式為

( 4 )

假定隧洞承受的內(nèi)水水頭為ha，足夠遠(yuǎn)處(距離為βr0，β>10)水頭為h0。對式( 4 )積分，根據(jù)水頭邊界條件可求出深埋圓形隧洞Izbash滲流時圍巖內(nèi)水頭高度。

( 5 )

根據(jù)式( 5 )，地下水滲流產(chǎn)生的水力坡度為

( 6 )

由式( 6 )可知，水力坡度只與參數(shù)m有關(guān)，與κ無關(guān)。

3 彈性解析

考慮滲透體積力時，深埋隧洞圍巖微單元力平衡微分方程[2]為

( 7 )

由彈性力學(xué)知識，軸對稱平面應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程[21]為

( 8 )

式中：E、μ分別為圍巖彈性模量和泊松比；u為圍巖徑向位移。

將式( 8 )代入式( 7 )并整理得到彈性位移計算方程

( 9 )

將式( 6 )代入式( 9 )整理，并求解得

(10)

由此，得到彈性應(yīng)力計算式

(11)

(12)

式(11)、式(12)與文獻(xiàn)[2]考慮線性滲流的隧洞彈性解形式相同。當(dāng)式(11)、式(12)中隧洞內(nèi)外水頭差(h0-ha)為0時，其結(jié)果與不考慮滲透作用時的隧道圍巖彈性解一致。

4 塑性解析

4.1 應(yīng)力場解析

4.1.1 第一主應(yīng)力為徑向應(yīng)力

隧洞開挖卸荷使洞周的圍巖發(fā)生應(yīng)力重分布，靠近開挖面的圍巖進(jìn)入塑性狀態(tài)，以拉應(yīng)力為正時，圍巖第一主應(yīng)力為徑向應(yīng)力σr，采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則

(13)

式中：c為材料的黏聚力；φ為材料的內(nèi)摩擦角；σrp為名義徑向應(yīng)力；σθp為名義切向應(yīng)力。

將式(13)代入式( 7 )，得到塑性區(qū)徑向應(yīng)力計算方程

(14)

式(14)為伯努利方程，將式( 6 )代入式(14)，結(jié)合邊界條件σr|r=r0=-Pa，求得塑性區(qū)應(yīng)力為

(15)

(16)

式中

(17)

式(17)為關(guān)于rp的超越方程，需要試算或迭代求解。若令式(17)中rp=r0，求出此時的P0即為使隧洞圍巖出現(xiàn)塑性區(qū)的臨塑荷載pcr。

4.1.2 第一主應(yīng)力為環(huán)向應(yīng)力

當(dāng)隧洞內(nèi)外水頭差較大時，徑向壓應(yīng)力會大于環(huán)向壓應(yīng)力，甚至成為拉應(yīng)力，此時第一主應(yīng)力為環(huán)向應(yīng)力σθ，屈服條件采用Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則[2]。

(18)

將式(18)代入式( 7 )，得到塑性區(qū)徑向應(yīng)力計算方程

(19)

式(19)為伯努利方程，將式( 6 )代入式(19)，結(jié)合邊界條件σrp|r=r0=-Pa，求得塑性區(qū)應(yīng)力表達(dá)式為

(20)

(21)

式中

同上，可以求得塑性區(qū)半徑rp和臨塑荷載pcr，式(22)的解即為塑性區(qū)半徑rp。

(22)

4.2 位移場解析

假設(shè)靜水壓力狀態(tài)下材料在塑性階段是不可壓縮的[22]，則圍巖塑性區(qū)體積應(yīng)變?yōu)?，可得

εz=0，εr+εθ=0

(23)

式中：εz為垂直于平面方向的應(yīng)變；εr為平面內(nèi)的徑向應(yīng)變；εθ為平面內(nèi)的切向應(yīng)變。

由軸對稱彈塑性力學(xué)應(yīng)變與位移關(guān)系式，可得位移方程

(24)

求解式(24)，并以圍巖彈塑性交界r=rp處的位移u=up為邊界條件，可得塑性區(qū)圍巖位移為

(25)

式中：塑性區(qū)半徑rp可由4.1節(jié)求出，彈塑性交界面處彈性位移up可由第3章求出。

5 分析與討論

5.1 滲流場分析

文獻(xiàn)[13]對低滲透巖芯進(jìn)行滲流物理模擬試驗，得到了若干條試驗曲線。采用式( 1 )Izbash非線性滲流模型對其中一條滲流曲線進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖2所示，滲流指數(shù)m=0.701。

圖2 低滲透非達(dá)西滲流曲線

圖3 隧洞圍巖滲流曲線

(1)兩種滲流模型下圍巖水力坡度沿著指向隧洞中心向均呈非線性增大趨勢，Izbash非線性滲流模型增加趨勢較緩慢。

(2)隧洞內(nèi)外水頭高差相同條件下，兩滲流曲線會相交；某一特定半徑范圍外，Izbash非線性滲流模型的滲流坡度較大，小于該半徑時，Darcy滲流模型的滲流坡度較大。

(3)隨著Izbash非線性滲流模型下參數(shù)m的增加，圍巖滲流曲線逐漸變陡，但均小于Darcy線性滲流模型條件下的滲流曲線，且所有的滲流曲線均相交。

5.2 應(yīng)力場分析

為了驗證本文提出的非線性滲流對隧洞彈塑性解析解影響公式的正確性，將本文考慮Izbash非線性滲流影響的解析方法與文獻(xiàn)[2]考慮Darcy滲流影響的解析方法的計算結(jié)果進(jìn)行對比分析。計算模型中圍巖非線性滲流模型參數(shù)取圖2擬合結(jié)果，圍巖參數(shù)參照文獻(xiàn)[13]取值：隧洞內(nèi)徑r0=2.0 m，隧洞圍巖的泊松比μ=0.25，內(nèi)摩擦角φ=40°，黏聚力c=1.0 MPa，足夠遠(yuǎn)處(β=30，下同)圍巖應(yīng)力P0=10.0 MPa，巖體有效孔隙水壓力系數(shù)ξ=1。計算的應(yīng)力場如圖4所示，圖4(a)為隧道支護(hù)壓力Pa=0.2 MPa時足夠遠(yuǎn)處的地下水壓γwh0分別取8 MPa和2 MPa情況下兩種滲流模型圍巖彈塑性應(yīng)力場的分布曲線；圖4(b)為足夠遠(yuǎn)處的地下水壓γwh0取8 MPa時，隧洞支護(hù)壓力Pa分別取0和0.5 MPa時兩種滲流模型下圍巖彈塑性應(yīng)力場的分布曲線。其中從-5 MPa處起始的曲線為σθ曲線，從0 MPa處起始的曲線為σr曲線。從圖4可以看出：

(a) Pa=0.2 MPa

(b) γwh0=8 MPa圖4 隧洞應(yīng)力分布

(1)與Darcy滲流模型相比，本文Izbash非線性滲流模型中隧洞圍巖徑向和切向壓力均較大，這是由于Izbash非線性滲流模型中一定半徑范圍外滲透力偏大，隧洞洞口附近處圍巖所受的滲透力偏小。

(2)與Darcy滲流模型相比，本文Izbash非線性滲流模型中圍巖塑性區(qū)半徑(切向應(yīng)力曲線轉(zhuǎn)折位置處)偏小，這是由于隧洞外的水勢能在滲流過程中轉(zhuǎn)換成圍巖彈性應(yīng)變能和塑性耗散能，而Izbash非線性滲流模型下的彈性應(yīng)變能較大。

以上兩點(diǎn)也證明了本文解析解公式的正確性。

(3)隧洞內(nèi)外水壓差越大，彈塑性應(yīng)力及塑性區(qū)半徑相對誤差也越大；隧洞支護(hù)壓力越大，兩者相對誤差越?。划?dāng)隧洞內(nèi)外水壓差為8 MPa、支護(hù)壓力為0時，彈塑性交接界面處徑向壓力偏小約4.3%，最大切向壓力偏小約3.8%。

5.3 塑性區(qū)半徑及洞壁位移分析

圖5為不同隧洞支護(hù)壓力下，Izbash非線性滲流模型與Darcy滲流模型下隧洞內(nèi)外水壓差對圍巖塑性區(qū)半徑的影響曲線，隧洞支護(hù)壓力Pa分別取0、0.2和0.5 MPa，模型其余計算參數(shù)與5.2節(jié)相同。從圖5可以看出：

圖5 隧洞內(nèi)外水壓差對塑性區(qū)半徑的影響曲線

(1)隨著隧洞內(nèi)外水壓差的逐漸增加，兩種模型計算的圍巖塑性區(qū)半徑均逐漸增大，但I(xiàn)zbash非線性滲流模型結(jié)果增長較慢；隨著內(nèi)外水頭差的增加，兩種模型計算的塑性區(qū)半徑相對誤差增加，且隧洞內(nèi)支護(hù)壓力越小，相對誤差越大。

(2)本文分析情況下，當(dāng)隧洞支護(hù)壓力Pa為0、內(nèi)外水頭差為10 MPa時，隧洞塑性區(qū)半徑相對偏小(以本文解為基準(zhǔn)，下同)，誤差達(dá)到14.3%；當(dāng)隧洞支護(hù)壓力Pa為0.5 MPa、內(nèi)外水頭差為10 MPa時，隧洞塑性區(qū)半徑相對偏小，誤差達(dá)到5.9%。

圖6為不同隧洞內(nèi)外水壓差情況下Izbash非線性滲流模型與Darcy滲流模型隧洞圍巖特征曲線的對比，隧洞內(nèi)外水壓差分別取10、5和2 MPa，模型其余計算參數(shù)與5.2節(jié)相同。從圖6可以看出：

圖6 隧洞圍巖特征曲線

(1)本文Izbash非線性滲流模型的隧洞圍巖特征曲線比Darcy線性滲流模型的更緩和，并且隧洞內(nèi)外水壓差越大，兩者相對誤差越大；即隨著內(nèi)外水頭差的增加，兩種模型計算的圍巖特征曲線相對誤差增大。

(2)本文分析情況下，當(dāng)隧洞支護(hù)壓力Pa為0、內(nèi)外水頭差為10 MPa時，洞壁位移相對偏小，誤差達(dá)到20.0%；當(dāng)隧洞支護(hù)壓力Pa為0.5 MPa、內(nèi)外水頭差為10 MPa時，隧洞塑性區(qū)半徑相對偏小，誤差為8.3%。

由上述分析可知，對于高水壓低滲透介質(zhì)隧洞，應(yīng)考慮非線性滲流對隧洞圍巖塑性區(qū)半徑及特征曲線的影響。若不考慮滲流體積力影響，計算結(jié)果比實(shí)際工程偏小，造成工程安全等級偏低；若采用Darcy滲流模型計算滲流體積力，則高估了其對隧洞塑性區(qū)半徑及洞壁收斂位移的影響，造成工程安全等級偏高。

6 結(jié)論

(1)基于Izbash非線性滲流模型，求解得到深埋圓形隧洞圍巖的非線性滲流場；將滲透水壓力視為體積力作用于應(yīng)力場，求解得到基于Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則的彈塑性解析解。

(2)結(jié)合計算實(shí)例，對Izbash非線性滲流模型與Darcy模型隧洞圍巖滲流場、應(yīng)力場、塑性區(qū)半徑、圍巖特征曲線進(jìn)行了驗證與對比分析。

(3)對于低滲透介質(zhì)，當(dāng)隧洞內(nèi)外水壓差較大時，采用Darcy滲流模型計算滲流效應(yīng)對隧洞塑性區(qū)半徑和洞壁位移的影響將會產(chǎn)生較大的誤差，應(yīng)考慮非線性滲流的影響。