基于復擺測量法阻尼對轉動慣量的影響分析

張心明，王德民，李俊燁，尚春民，胡敬磊

（長春理工大學 機電工程學院，長春 130022）

1 測量轉動慣量受空氣阻尼的影響

在討論是否空氣阻尼可以影響測量轉動慣量的問題，可通過兩方面研究，假設，被測物體型心軸到轉軸的距離為d，（1）d≠0時，即d=l時，空氣阻尼的大小可影響被測物的迎風面積和擺軸長度；（2）d=0時，在空氣阻尼的影響下，被測物的性質發(fā)生變化，其與表面的大小和光潔程度影響被測物體繞自身縱軸的轉動，此時的空氣阻力極小，在這種情況下也會影響到復擺托架的擺動[1-4]。在討論時，可以將空氣阻尼簡化為與速度的一次方成比例，即：

其中，c為空氣阻尼系數，所以，在角度小的情況下，復擺在方面一含一次空氣阻尼的振動方程為：

式中：c-空氣阻尼系數；l-型心到轉軸的距離

由以上可得：

當研究方面二時，設被測彈體半徑為R，圓柱體長為b，k1為復擺托架和物體的空氣阻尼系數，其含一次空氣阻尼的振動方程為：

式中：m0-托架的質量，l0-托架質心到轉軸的距離。

上式可化為：

上式與（2）式完全一樣，所以方程的解為：

將其對t求一階倒數得

將初始條件：

代入（3）和（4）式，可解得：

有阻尼時的周期為：

無阻尼振動周期為：

由公式（3）得出相鄰周期的振幅峰值之比為：

由上式知，最大振幅呈幾何級數衰減，如圖1所示。

圖1 空氣阻尼振幅衰減示意圖

由圖1可知，空氣阻尼不僅使振動周期T發(fā)生改變，振動周期增大了倍，且振幅按級數衰減，所以轉動慣量的測量精度受到空氣阻尼的一定影響，在一些情況下空氣阻尼不可以忽略。

在對轉動慣量進行測量時，一般情況下是先得到空氣阻尼的值，然后對無阻尼周期進行計算，如此進行可以知空氣阻尼可以對轉動慣量測量值的準確性產生直接影響[5，6]。

由（4）式可推得：對相距m個周期的振幅比取對數為：

只要測得振動周期Td和第i和第i+m個周期最大振幅θi和θi+m，就可求得阻尼為：

令m=1,2,3,4,5，……，進行多次測量。每次測量，取平均值有：

則n的平均值為：

多次測量的平均值，符合假定的正態(tài)分布，當，絕對誤差為：

假定上述關系式成一次方成正比，在類似于測量阻尼系數較大的物體等，一些特殊情況下無法滿足，一些文獻已經提出阻尼與速度成二次方比例[7，8]，所以在特殊情況下，可以考慮阻尼與速度的二次方或多次方比例。

2 摩擦阻尼對復擺法測量轉動慣量的影響

高精度軸承在工程中普遍使用，在通常情況下這種軸承出現摩擦阻尼時，通常使用扭擺法和復擺法中，雖然這種摩擦阻尼的值并不是很大，但是其對高精度測量時，其影響是必須要注意到的。摩擦的結構如圖2（a）所示，可簡化為圖b的彈簧阻尼系統(tǒng)[9]。

圖2 摩擦阻尼的結構

軸承的摩擦阻力矩為：

其中：Q-轉軸所受的正壓力；f-軸承的摩擦系數；r-軸承的當量半徑。

復擺法的擺動方程為：

Q-軸承正壓力；f-軸承滾動摩擦系數；r-軸承的當量半徑；l-質心到轉軸的距離。

上式可以寫成：

得出齊次通解為：

非齊次特解為：θ2=c3

所以：

所以方程的解為：

可簡化為：

圖3 摩擦阻尼振幅衰減圖

綜上可知，扭擺的振幅只受軸承摩擦阻尼的影響，但不會影響振動周期，摩擦阻尼不會影響轉動慣量的測量精度。

3 轉動慣量的測量精度受多重阻尼影響

轉動慣量的測量，不止一種阻尼對其測量精度產生影響，摩擦阻尼以及空氣阻尼相互耦合，一起對測量系統(tǒng)產生作用，影響最終測量結果的精度。

在本文中,主要討論的是有限的簡單無向圖。對于實數x,令「x?表示不小于x的最小整數;令V(G),E(G),Δ(G)和δ(G)分別表示圖G的頂點集合、邊集合、最大度數和最小度數,并且簡記為V,E,Δ和δ。設V(G),則v的度數d(v)表示的是與v相關聯的邊數;對于圖G的面f的度數d(f),則表示的是面f的邊界所圍繞的邊數,其中每一條割邊計算兩次。本文中考慮的的曲面是緊的,不包含邊界的連通的2-維曲面,并且所有的嵌入都是2-元嵌入。

在使用復擺法對轉動慣量進行測量時，空氣阻尼與摩擦阻尼的耦合振動方程如式（16）：

在式（17）中，等式右邊的單項式和速度的方向相關，因此以半周期進行計算時，在第一個半周期計算中，對角度賦予一個初始值θ0，則，方程（17）轉變成方程（18）。

式中：θ1-為第一個半周期。

方程（18）的非齊次方程解分為兩部分，分別為所對應的齊次方程的通解和非齊次方程的特解，因此方程（18）的其次通解即為：

其解為：

第二個半周期振動方程為：

從而解得：

同理，可得第二個周期的前半周期方程的解為：

同樣的方式可以得到其他的周期的解，然而空氣阻尼n和摩擦系數f是作為未知量，是通過實驗得到的，因此需要將f和n拆開進行考慮，在每個半周期θ的初始值和其終止值的絕對值的差為：

類似的，還可得到第i個半周期的開始值與終止值之差：

通過以上分析可得到，當同時有摩擦阻尼和空氣阻尼時，與自由振動相比周期增加、振幅衰減更快、頻率下降。

由于方程中前一個半周期的終止值等于后一個周期的初始值，所以有成立，以為例，則有：

一個完整的波，則可得到：

當有m個不重疊的波時有：

上面的幾個公式就是空氣阻尼與摩擦阻尼分開的理論公式，在應用時，知道其中一個便可以求出另一個。

通過將式（24）和式（25）相減便可以得到空氣阻尼與摩擦阻尼的實際測量值：

任何一個完整的從振幅最大時開始的轉動周期都滿足，于是有：

測定m個連續(xù)不重疊周期：

兩邊取對數：

通過進行實驗可知，在對θi進行多次測量后，可以得到精度比較高的n值，通過公式可以得出空氣阻尼的大小，通過式（29）可以得出摩擦阻尼的大小，綜合兩者的值便可以得到轉動慣量的大小。

彈體和托架作為一個整體，已知其總質量為3.79kg，總轉動慣量 93.4827kg?cm2，最大轉角振幅()θi由復擺法測得：

共4個連續(xù)周期，并測得平均周期Td=1.1462秒，由式（33）求得：

當n=3.36×10-4時，通過式（27）得f=1.01×10-3。

空氣阻尼測量誤差分析，將（31）式微分得：

絕對誤差為：

通過式（33）進行空氣阻尼的計算，當m非常大時，可認為θi滿足正態(tài)分布，等式右邊最大振幅測量誤差為零。

于是得到式（36）：

通過上述可知，由上公式可知，周期Td和振幅θi的測量精度是影響計算誤差的大小的重要因素。所以，只有將周期Td和振幅θi的測量精度提升到一定程度，計算才能更精確。通過式（36）可知，振幅θi測量次數越多，所得空氣阻尼n值越精確，且所得相對精度與Td相對精度相同，足以說明n值是可信的，且與測量精度Td的相對誤差在一個數量級上。

4 結論

本文討論與分析了復擺測量法轉動慣量過程中的空氣阻尼和摩擦阻尼，探討其影響復擺法測量精度。綜上分析可知：復擺的振動周期受空氣阻尼影響，而摩擦阻尼只影響扭擺的振動幅值而不影響振動周期，摩擦阻尼不影響轉動慣量測量精度的準確性，阻尼對復擺法測量轉動慣量的精度有著重要影響，轉動慣量測量精度準確性的提搞依賴于扭擺振幅及其周期測量的精度，對提高復擺法測量轉動慣量的精度有著重要的理論指導意義和實用價值。