半無限基襯上功能梯度材料層結構聲學性能研究

陳美霞，徐 坤，謝 坤

（華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074）

0 引 言

功能梯度材料通常是指在厚度方向上材料參數梯度變化的復合材料，它實現了材料內部功能的漸變，可滿足結構耐熱、承載等功能的復合，通常具有緩和熱應力、避免或降低應力集中等優點。作為一種較新的復合材料結構，功能梯度材料及其復合板在航天、航空、造船等領域中應用廣泛，其聲學性能也越來越受到人們的關注。

目前復合材料板的聲反射及吸聲問題研究已較深入[1-5]，主要方法為傳遞矩陣法[1-4]及輸入阻抗遞推方法[5]。對于功能梯度材料結構的傳聲問題，Moghaddam[6]研究了上表面受簡諧載荷的功能梯度材料板一維應力波的傳播。Qian[7]研究了半無限大基襯上功能梯度材料層結構的表面波傳播。楊德森等[8-9]采用傳遞矩陣法分析了材料阻抗梯度變化介質對一維聲波吸聲性能的影響。尚爾昌[10]研究了漸進變化的多層吸收介質中的聲反射問題。Seyyed等[11]采用傳遞矩陣法研究了功能梯度材料板的隔聲問題。文獻[6,8-10]主要研究對象為聲波垂直或斜入射下梯度介質中縱波傳播問題，而當聲波斜入射固體介質時，介質中的橫波對傳聲的影響不可忽略。對于聲波斜入射情況，文獻[11]主要研究了功能梯度材料平板空氣中的隔聲特性。

回傳射線矩陣法最早是由Pao[12]在研究框架結構中的波傳播問題中提出的，該方法隨后被用于分析分層流體[13]以及分層固體[14]中的聲波傳播問題。陳偉球[15]及郭永強[16]利用回傳射線矩陣法研究了功能梯度材料中彈性波的頻散特性。文獻[12-16]研究對象分別為分層流體或固體，而目前采用回傳射線矩陣法對流固介質間聲傳播問題分析尚比較少。

本文研究了半無限域彈性基襯上功能梯度材料層結構的聲反射及吸聲性能，將功能梯度材料層沿厚度方向上分層離散等效，并推導了流固界面處及功能梯度層與基襯連接處的聲波局部散射矩陣及各分層的相位偏移矩陣，然后組裝得到關于各分層材料波幅的總體矩陣方程，最終求解功能梯度材料層的反射系數及吸聲系數，拓展了回傳射線矩陣法的應用。通過數值計算分析了材料參數沿厚度指數型式變化的功能梯度材料層的材料梯度、入射角、基襯材料參數等因素對聲系數的影響規律。

1 基本理論

1.1 分層間局部散射矩陣

考察圖1所示的功能梯度材料（FGM）層結構，其中功能梯度材料層厚度為h，功能梯度材料層上表面處于半無限流體域中，下表面與半無限域基襯材料理想粘合，厚度方向上材料參數梯度變化。平面聲波從流體介質入射，考察功能梯度材料層合結構的聲反射及吸聲情況。

圖1 功能梯度材料層分層示意圖Fig.1 Division diagram of functionally graded material layer

為便于分析，考慮x-z平面內的二維應力狀態，并將梯度材料層沿厚度方向分為若干子層，如圖1（b）所示。當分層數足夠多、每層的厚度足夠薄時，該層材料參數變化很小，可視為均勻材料[15]，各子層之間的材料參數階梯變化，進而等效材料的梯度連續變化。在各分層上下表面建立如圖1（b）的兩個局部坐標系，坐標系x-zii-（）1的上標表示該坐標系位于第i個分層界面上，且指向第（i-1）個分層界面。

根據彈性介質波動力學方程及分層界面處的應力及位移協調條件，可得介質中的聲波在界面處的散射矩陣方程[15]

式中：k為沿x方向的波數，αi及βi分別為第i層材料縱波和橫波在z方向上的波數，λi及μi為第i層材料的拉密常數。各分層縱波及橫波波速分別為和，由 Snell定律，各個分層中縱波和剪切波在z方向上波數的分量分別為和，考慮材料的損耗因子時，將彈性模量復數化，即楊氏模量變為E?=（1+i ）η E，并計算材料的拉密常數。令，則（1）式可寫成di=Siai，稱Si為第i個界面處的局部散射矩陣。

1.2 FGM表層散射矩陣

功能梯度材料層上表面為半無限域流體，不考慮流體粘性，則聲場中只包含縱波，局部坐標系下縱波的標量聲勢為

流場中的質點的z向速度及聲壓p為

功能梯度材料層上表面處，由流體介質與固體介質的法向速度協調及聲壓與應力的協調：

根據（5）、（6）式，結合第1分層中的波動方程[15]，消去反射聲勢Φr得到入射聲勢Φi關于界面0處分離波與到達波波幅的關系

同理，通過消去入射聲勢Φi，可以得到反射聲勢

功能梯度材料層上表面處，由于不考慮流體的粘性，界面處的剪應力為零，

式中：矩陣 D0、A0及向量 I0分別為

功能梯度材料層與半無限域彈性基襯界面處，半無限彈性體只包含沿x-znn+（）1正向傳播的縱波及橫波，波幅分別為由（1）式消去得到關于及的矩陣方程。

1.3 分層內相位偏移矩陣

根據1.1及1.2中的波動連續條件建立了關于功能梯度材料層各分層材料中波幅的矩陣方程，其包含有4n個方程，8n個未知變量，要得到各分層的波幅，還需要增加方程個數。補充方程主要根據功能梯度材料層各分層材料內部的波幅的相位偏移關系，即在功能梯度材料層某個分層中，一側邊界上的分離波到達另一側邊界時為到達波，兩者的幅值之間存在著相位偏移的關系，由此可以建立起各分層內到達波和分離波的幅值關系，如（13）式所示。對于n個分層，可補充4n個方程

寫成矩陣形式如下式所示：

矩陣Pi建立了各分層內到達波和分離波的幅值關系，稱為局部相位矩陣。

1.4 全局矩陣與聲系數

1.1～1.3中分別得到分層界面處的聲波散射矩陣Si及分層內部的相位偏移矩陣Pi，分別定義波幅向量，如下式所示：

式中：d和a分別為包含所有分層界面處的分離波、到達波的波幅向量。令則根據（1）、（10）、（12）式和（14）式，波幅關系可由下式表示：

S和P為分塊對角陣，如下式，分別稱為全局散射矩陣及全局相位矩陣：

關于a和d的方程（17）可以用矩陣形式表示，如下式所示：

矩陣方程 （19）建立了功能梯度材料各分層處的到達波和發出波之間的矩陣方程，式中的E為4n×4n的單位陣。求解該矩陣方程，得到d和a，再由（8）式求功能梯度層結構的反射系數，反射系數R及吸聲系數a的表達式為

2 數值分析

2.1 方法驗證

考察圖1所示的無限大功能梯度材料層結構的聲系數，材料參數如表1所示，聲入射面材料特性阻抗與水接近，沿厚度z方向材料拉密系數λ、μ滿足指數型式函數分布[7]，材料的特性阻抗為Z。表1中指數項中的常數P取不同值，材料參數隨厚度變化的梯度不同，稱P為梯度指數。

表1 功能梯度材料層與基襯材料參數Tab.1 Material property of functionally grade material layer and substrate material

為了驗證本文方法，采用本文方法及文獻[5]中的方法計算表1中P=0的均勻材料層的反射系數及吸聲系數，均勻層的厚度為0.1 m，材料參數見表1，圖2所示的是兩種方法得到的反射系數及吸聲系數的曲線對比。

圖2 文獻方法與本文方法反射系數與吸聲系數對比Fig.2 Comparison of reflection and absorption coefficient in respect to reference and present method

由圖2可見，本文方法得到的反射系數及吸聲系數的結果同文獻方法結果吻合得較好，從而驗證了本文方法的正確性。為進一步驗證功能梯度材料層的分層數n對聲系數影響，對P=10功能梯度材料層結構，分別采用文獻[5]方法及本文方法計算30 kHz聲波垂直入射時不同分層數n時的反射系數，如圖3所示。

由圖3可見，本文方法計算反射系數收斂較快，當n=50時反射系數結果已趨于穩定；采用文獻[5]的方法計算反射系數隨著n值的收斂緩慢，當n=1 000時才近似收斂于本文方法得到的結果。對比表明本文方法不僅結果準確，且在較少分層數即可收斂得到反射系數的準確值。

圖3 反射系數隨分層數n變化曲線Fig.3 Reflection coefficient change in respect to different layer number n

2.2 垂直入射下梯度指數影響

以表1中的功能梯度材料層結構為計算模型，為比較聲波垂直入射時不同梯度指數對反射系數的影響，分別計算不同P值的反射系數和吸聲系數，如圖4。

圖4 聲波垂直入射不同P值功能梯度材料層結構聲系數對比Fig.4 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and vertical incident waves

當P=0，功能梯度材料層變為均質材料層，由圖4，在低頻段，聲波波長相對于層厚較長，均質材料與功能梯度材料對聲波傳播的差異并不明顯，反射系數與吸聲系數差別較小；隨著頻率增加，由于入射波與反射波的疊加，均質材料層結構聲系數曲線呈周期性振蕩變化，且諧振峰值基本不變。當P=15，反射系數曲線隨頻率增加呈現振蕩衰減的趨勢，吸聲系數振蕩上升并趨于穩定。在10 kHz以上的較寬頻帶范圍內，表層為功能梯度材料層的結構相比于均勻材料層結構反射系數降低，吸聲系數增加，且幅值的變化超過0.3。

圖5給出了材料的梯度指數P變化時z方向上材料與水的特性阻抗比（Z/Zw）隨坐標變化曲線。由圖5，隨著梯度指數P增加，功能梯度材料層z=0處的材料特性阻抗與水接近且保持不變，z=h處特性阻抗與水阻抗比隨之增大。

圖5 不同梯度指數厚度方向材料特性阻抗分布曲線Fig.5 Impedance distribution in thickness direction of different gradient index

由圖5，均質材料與功能梯度材料層結構聲系數的差異主要是由于功能梯度材料層實現了材料參數的梯度漸變。功能梯度材料層在迎聲面處的材料特性阻抗與水比較接近，使得聲波更加容易進入功能梯度材料層，同時沿厚度方向上材料阻抗逐漸從迎聲面處的低阻抗過渡到基襯材料的高阻抗，避免了阻抗突變引起的強反射，且在與背襯材料連接位置由于阻抗的匹配減小了聲波反射，因此具有較小的反射系數及較大的吸聲系數。功能梯度材料層厚度方向上相當于多層不同阻抗的材料共同作用，這種漸進過渡結構相比于均勻材料層具備寬頻帶的吸聲能力。

此外，P值逐漸增加也會對反射系數產生影響。由圖4，P值逐漸增加對低頻段內的反射系數及吸聲系數影響較小；在中高頻段，P由10增加到15時反射系數減小，P值繼續增加到20時，反射系數反而增大。由于聲波入射位置處材料參數不變，而P主要影響z＞0處材料的參數分布，當P=15時，功能梯度材料層在z=h處材料的特性阻抗同背襯材料的阻抗差異最小，能夠最大程度減弱該處聲波反射。當P值過大或過小均會引起背襯處材料的特性阻抗失配，使梯度層與基襯介質連接處反射增加，故P=15時功能梯度材料層結構具有最佳的聲學性能。

2.3 斜入射下梯度指數的影響

以表1中的功能梯度材料層結構為計算模型，考察聲波斜入射時不同P對反射系數及吸聲系數的影響。圖6為聲波30°斜入射下P=5、10、15以及20時反射系數及吸聲系數對比曲線。

圖6 聲波斜入射不同P值功能梯度材料層聲系數對比Fig.6 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different P and oblique incident waves

由圖6，聲波斜入射時，在中高頻段P=15的功能梯度材料層具有最小的反射系數及最大的吸聲系數。斜入射聲波在功能梯度材料層及基襯中同時誘發橫波及縱波，由于功能梯度材料層中材料參數沿厚度方向具有非均勻性，橫波及縱波在不同分層間傳播時會發生相互轉化。（12）式中的散射矩陣描述了功能梯度材料層與基襯連結處的聲波在該位置的散射情況。當P=15時，散射矩陣Sn近似為0矩陣，即功能梯度材料層中的橫波及縱波均能無反射地穿過功能梯度材料層與基襯材料的界面(圖1中界面n）入射到基襯材料中，進而減小了功能梯度層結構的反射。因此，中高頻段聲波斜入射時，P=15的功能梯度材料層結構的反射系數最小，吸聲系數最大。

2.4 入射角度的影響

以表1中的功能梯度材料層結構為計算模型，圖7是入射角分別為0°、30°及60°時P=15的功能梯度材料層結構的反射系數及吸聲系數對比曲線。

圖7 不同入射角下功能梯度材料層結構聲系數對比Fig.7 Comparison of sound coefficient of functionally graded material layer structure with different incident angle

由圖7，當入射角從0°增加至30°，反射系數的諧振峰向高頻偏移，且對應峰值相比于垂直入射時略小；在1 000 Hz以下的反射系數隨著入射角度逐漸增大先減小，后增大，吸聲系數先增大，后較小，表明梯度層的低頻吸聲效果隨入射角并不呈單調變化，這主要是入射角逐漸增加引起聲波在功能梯度材料層厚度方向的波數發生變化，反射聲波與入射聲波的疊加效應引起；在10 kHz以上的中高頻段，小角度斜入射吸聲系數均趨近于1。入射角度60°時，1 000 Hz以下的較低頻段反射系數相比于30°斜入射值降低超過0.1，中高頻段的反射系數相比于30°斜入射時增大。圖7表明聲波斜入射角度較小時，反射系數及吸聲系數隨入射角變化不大，在中高頻段功能梯度層對斜入射聲波有較好的吸收作用。

2.5 梯度材料層厚度影響

假設基襯材料與功能梯度材料層界面處材料參數相同，如表2所示，且梯度指數P=15，考察不同功能梯度材料層厚度對反射系數及吸聲系數的影響。

表2 功能梯度材料層與基襯材料參數Tab.2 Material property of functionally grade material layer and substrate material

功能梯度材料層厚度h分別取0.05 m、0.10 m及0.15 m，并假設聲波垂直入射，如圖8所示的是不同h下反射系數及吸聲系數的對比曲線。

圖9給出了功能梯度材料層厚度h變化時z方向上材料的特性阻抗隨坐標變化曲線。隨著功能梯度材料層厚度增加，迎聲面處的材料特性阻抗與水接近且保持不變，而基襯材料的特性阻抗與水阻抗比隨之增大。

由圖8可見，隨著功能梯度材料層厚度的增加，反射系數及吸聲系數的諧振峰更加密集，且諧振頻率向低頻偏移。較低頻段內功能梯度材料層的厚度越薄，反射系數越小。由圖9可見，功能梯度層的厚度h還影響到基襯材料的參數。當h=0.05時，基襯材料的特性阻抗約為水的兩倍，當h=0.15時，基襯材料的阻抗約為水的10倍。低頻段聲波波長較長，反射系數及吸聲系數主要受到基襯材料特性阻抗的影響，厚度越小基襯材料的特性阻抗與水越匹配，聲波能夠更容易透過功能梯度層入射到基襯介質中，低頻吸聲系數越大；隨著頻率增加，反射系數主要受功能梯度材料表層材料的特性阻抗影響，由于表層材料的特性阻抗與水匹配度較好，中高頻下不同厚度功能梯度材料層結構均具有較高的吸聲系數，不同背襯材料結構的吸聲系數趨于一致。

圖9 不同h厚度方向材料特性阻抗分布曲線Fig.9 Impedance distribution in thickness direction of different thickness h

3 結論

本文對半無限大基襯上的功能梯度材料層結構的反射系數及吸聲系數進行了研究。基于回傳射線矩陣法，建立了聲波經由流體介質及功能梯度材料層入射到半無限大基襯材料聲傳播理論模型，推導了功能梯度材料層結構的聲學特性公式，分析了功能梯度材料層梯度指數、入射角、厚度等參數變化對反射系數及吸聲系數的影響，可為水下結構聲隱身覆蓋層材料的參數設計提供參考，并得到以下結論：

（1）聲波垂直入射時，功能梯度材料層能夠實現流體介質與基襯材料介質特性阻抗的平穩過渡，使整個結構在中高頻范圍內均具備優良的聲學性能，相比于均質材料層結構提高寬頻帶的吸聲特性；

（2）聲波斜入射時，功能梯度材料層材料參數的漸變特性消除了橫波和縱波在材料界面處的強反射，使斜入射下的功能梯度材料層結構仍然具有較低的反射系數及較高吸聲系數，具備斜入射下較優的聲學性能；

（3）彈性基襯材料主要影響功能梯度層結構的低頻吸聲性能，聲波垂直入射時，基襯材料的特性阻抗與水越接近有利于提高低頻段吸聲性能，隨著頻率增加，反射系數主要由功能梯度材料表層材料的特性阻抗決定，中高頻下的不同背襯材料結構的吸聲系數趨于一致。

附 錄

式中：矩陣元素Dn中的元素分別為：

矩陣元素An中的元素分別為：

式中：λn、μn分別為功能梯度材料層的第n個分層中的拉密系數，αn、βn為第n個分層材料中z方向上縱波及橫波的波數；λn+1、μn+1分別為基襯材料的拉密系數，αn+1、βn+1為基襯材料中z方向上縱波及橫波的波數。