基于碼值矩陣的移栽用周轉輪系功能圖自動生成

徐亞丹 孫 良 武傳宇 俞高紅 張國鳳 方 治

(1.浙江理工大學機械與自動控制學院， 杭州 310018； 2.杭州職業技術學院， 杭州 310018； 3.浙江省種植裝備技術重點實驗室， 杭州 310018)

0 引言

輪系式移栽機構具有結構對稱性，比連桿式移栽機構工作更平穩、高效[1-3]，采用非勻速傳動又可實現多樣的運動軌跡[4-6]，因此非勻速輪系式移栽機構被廣泛應用在水田、旱田的各種移栽裝備中。日本學者小西達也等[7]于20世紀80年代末首先提出不等速周轉輪系式移栽機構，并成功解決連桿式移栽機構效率低、振動大的問題，使水稻(毯苗)插秧機實現了高速作業；趙勻等[8-10]針對我國水稻大苗插秧中存在的“搭橋”、“倒秧”等問題，從動、靜軌跡形狀、機構工作姿態對輪系式分插機構(毯苗移栽機構)進行了系統性研究，獲得了直立度好的插秧軌跡，并提出了系列非圓齒輪行星輪系移栽機構，解決了插秧機無法進行大苗移栽的難題；俞高紅等[11]、俞亞新等[12]在缽苗移栽機構研究中，將鎖止弧與非圓齒輪結合，提出不完全非圓齒輪副，并應用于兩級行星輪系移栽機構中；ZHOU等[13]采用傳動比具有一般性變化規律的二階非圓齒輪，實現水稻缽苗等行距移栽所需的“8”字形軌跡；在輪系式旱地缽苗移栽機構研究中，趙雄等[14-15]提出了一種用于西蘭花移栽的行星輪系取苗機構，采用5個共軛的自由二階非圓齒輪和大栽植臂尺寸設計，以滿足苗爪的夾土式取苗方式(入缽軌跡約40 mm)。

上述針對不同移栽對象(毯苗、缽苗)和不同移栽方式(等行距、寬窄行、Z字形)的輪系式移栽機構研究都是以給定某種輪系構型為條件，通過設計具有特定傳動比變化規律的齒輪副，讓輪系充分發揮描述移栽運動軌跡的能力[16-20]。然而，由于移栽作業的多樣性，現有輪系構型在軌跡形狀與姿態設計中存在局限性，難以滿足如蔬菜缽苗取栽一體式移栽機構的作業要求[21]。為此SUN等[21]基于圖論開展了移栽用輪系機構的構型綜合問題，找到了多種符合移栽動作要求的輪系構型的拓撲圖。一個輪系拓撲圖可以獲得多種具體的輪系功能圖，目前，實現拓撲圖與功能圖之間的轉化主要采用直覺和經驗結合的方法獲得，存在的功能結構設計的盲目性可能會遺漏理想結構功能圖。李雨桐等[22]給出了便于計算機識別的符號方案，王玉新等[23]對符號方案所包含的基本機構及其連接關系進行識別，但以上方法未能生成功能圖。

為此，本文提出一種輪系式移栽機構設計中的實現從拓撲圖到功能圖的自動生成方法。根據給定的拓撲圖，用鄰接矩陣進行規范表達，編寫程序進行基本環的提取，并對基本環進行組合與同構判別，篩選出不重復的構型。定義碼值圖對應的編號，用碼值矩陣表達周轉輪系的結構，并輸出周轉輪系的功能圖。

1 周轉輪系的表達

1.1 周轉輪系拓撲圖與功能圖的表達

文獻[24]將周轉輪系的功能圖用雙色拓撲圖來表達，如圖1a是一個5構件周轉輪系拓撲圖。點表示構件，邊表示構件之間的連接關系；細邊表示旋轉副，粗邊表示齒輪副。字母a、b、c表示旋轉副的層級，圖1a中構件1、2與構件3、4的旋轉副層級都是a，在圖1b的功能圖中用a表示旋轉副；圖1a中的旋轉副層級b、c在圖1b中用b、c表示旋轉副。

圖1 5構件周轉輪系拓撲圖與功能圖 Fig.1 Topological graph and functional schematic of five links epicyclic gear trains

本文以周轉輪系雙色拓撲圖為研究基礎，遵循以下規則[25]:

(1)對于自由度為F，構件數為n的拓撲圖，包含n-1個旋轉副和n-1-F個齒輪副。

(2)一個拓撲圖移除全部齒輪副，剩余的旋轉副構成樹。

(3)將齒輪副添加到規則(2)得到的樹中，由一個齒輪副若干個旋轉副形成唯一的基本環。基本環的數量等于齒輪副的數量。

(4)每個旋轉副的邊定為一個層，在功能圖中表示一個旋轉副。

(5)在一個基本環里面，轉換點的兩側為不同層，一側為同一層，另一側為同一層。

(6)同一層的邊形成樹。

(7)周轉輪系的拓撲圖不存在只包含齒輪副的基本環。

1.2 基本環功能圖的表達

基本環是形成周轉輪系的基本單元，由3構件或者4構件組成。包含1個齒輪副和2個不同層級的旋轉副。一個周轉輪系拓撲圖可以由若干個基本環組成，如圖2所示，圖1a的5構件周轉輪系拓撲圖由3構件基本環①(1，2，3)、②(1，3，4)與4構件基本環③(1，2，5，4)組成。

圖2 5構件拓撲圖分解為3個基本單元環 Fig.2 Five links topological graph was broken down into three fundamental circuits

1.3 拓撲圖的鄰接矩陣表達

為了實現周轉輪系結構圖生成的計算機化，用鄰接矩陣表達拓撲圖。鄰接矩陣中的元素xij=0表示構件i與j之間不存在運動副連接；用xij=n表示構件i與j之間存在運動副連接，當n=1時表示旋轉副層級a，當n=2時表示旋轉副層級b，當n=3時表示旋轉副層級c，當n=4時表示旋轉副層級d，當n=5時表示旋轉副層級e。為了編程時容易區分，本文用n=10表示齒輪副，如果拓撲圖有更多的層級，可以用更大的數值比如100來表示齒輪副。圖1a所示的5構件周轉輪系的拓撲圖其鄰接矩陣為

(1)

1.4 基本環的提取與標記

基本環用鄰接矩陣表示，圖3a的3構件基本環拓撲圖用鄰接矩陣表示為

(2)

圖3b的4構件基本環拓撲圖用鄰接矩陣表示為

(3)

圖3 基本環拓撲圖 Fig.3 Topological graph of fundamental circuit

基本環提取的思路為：

(1) 3構件基本環的提取：根據周轉輪系分層準則第5條，假定構件i與構件j之間為齒輪副連接，且構件j與構件k之間為旋轉副連接(0

圖4 基本環的提取 Fig.4 Extraction of fundamental circuit

(2) 4構件基本環的提取：根據周轉輪系分層準則第5條，假定構件i與構件j之間為齒輪副連接，且構件j與構件k之間為旋轉副連接(0

(3) 提取周轉輪系第i、j、k行與i、j、k列，第i、j、k、r行與第i、j、k、r列形成新的矩陣，作為3構件基本環與4構件基本環的鄰接矩陣，具體為

D=[

] (4)

] (5)

]

(6)

編寫程序，輸入周轉輪系鄰接矩陣，計算提取基本環的鄰接矩陣與組成基本環的構件標號，流程圖如圖5所示。

圖5 從周轉輪系的鄰接矩陣提取基本環鄰接矩陣 的流程圖 Fig.5 Flow chart of adjacency matrix of fundamental circuit abstracted from adjacency matrix of epicyclic gear trains

2 功能圖的組合與篩選

2.1 功能圖的組合

圖1a拓撲圖可由2個3構件基本環與1個4構件基本環組成。基本環134、基本環123與基本環1245各有3種形式的功能圖，如圖6～8。所以圖1a拓撲圖對應的功能圖有33=27種可能的組合。

圖6 基本環134功能圖的3種形式 Fig.6 Three types FSF of 134

圖7 基本環123功能圖的3種形式 Fig.7 Three types FSF of 123

圖8基本環1245功能圖的3種形式 Fig.8 Three types FSF of 1245

為了便于計算機篩選與計算，這27種組合可用基本環功能圖組合矩陣來表示。

每一行表示一個基本單元環，每一列表示一個構件，r表示構件作旋轉副，g表示構件作外嚙合齒輪或者內嚙合的內齒輪，G表示構件作內嚙合的外齒輪。

2.2 同構判別

某個拓撲圖的所有可能的基本環組合矩陣中，如果某一個矩陣，經過若干行列式變換，變換成另一個矩陣，那么這兩個基本環組合矩陣所表示的功能圖同構。下面舉例說明這個問題：

圖9所示的4構件1自由度的拓撲圖，由2個3構件基本環123與134組成。功能圖用基本環組合矩陣表示有9種形式。

圖9 4構件拓撲圖 Fig.9 Four links topological graph

經過行列式變換，矩陣P3變換成P4。所以矩陣P3與P4表示的功能圖同構。同理P2與P7表示的功能圖同構。經過分析發現，對稱的拓撲圖會出現這種同構的情況。W1～W2727個基本環組合矩陣經過行列式變換后都不能成為這27個矩陣之中的其他任意矩陣。所以這27個矩陣所表示的功能圖異構。

3 周轉輪系功能圖的生成

3.1 基本環功能圖的連接與簡化

將基本環的功能圖連接，連接原則如下：

(1)同軸相連。各個基本環功能圖中標號相同的軸為同一個軸，生成功能圖時要連接起來并且在一條直線上。

(2)某一構件在兩個功能圖中同時做齒輪時，這個齒輪可以用一個齒輪或者同軸齒輪替代。

(3)某一構件在兩個基本環功能圖中分別做齒輪和軸時，將齒輪和軸直接固連。

(4)機架可以直接固連。

按照以上的原則，對基本環的功能圖進行連接與簡化，形成5構件功能圖的原始圖，基本環組合矩陣W1～W6所對應的功能圖如圖10所示。

圖10 基本環組合矩陣W1～W6對應的功能圖 Fig.10 Functional schematic of matrix W1～W6

3.2 碼值圖與碼值矩陣的定義

對功能圖中的基本方塊圖形進行編號，稱為碼值圖，編號如表1所示。功能圖可以用碼值圖通過拼圖生成，如圖11a、11b，用碼值矩陣I、J表示。

表1單元圖與對應碼值
Tab.1Cellgraphandcodevalue

圖11 3構件基本環功能圖 Fig.11 Three link FSF

(7)

(8)

3.3 周轉輪系功能圖的計算機生成

圖10的功能圖，用碼值矩陣表示為

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

編寫程序，生成碼值矩陣(9)～(14)對應的功能圖如圖12所示。

圖12 碼值矩陣對應的功能圖 Fig.12 Functional schematic of CVM

4 玉米缽苗移栽機構的構型綜合

4.1 功能圖生成

設計要求：根據玉米缽苗株距大，缽盤口徑大、穴深，移箱機構尺寸大的特點與要求，提出一種6構件的自動玉米移栽機構[26]，1個動力輸入，4個轉動軸，能夠模擬人工移栽的軌跡、動作和姿態要求，既能夠滿足尖嘴式取土的設計，也能夠同時滿足大株距栽植的動作，實現自動取苗、持苗和栽植苗。運轉穩定，慣性小，可以實現高速移栽。

由設計要求可知：該機構的自由度F=1，構件數n=6，根據公式

式中Nr——旋轉副數Ng——齒輪副數

可知旋轉副數Nr=5，旋轉副層級為轉動軸數4，齒輪副數Ng=4。圖13的拓撲圖符合上述設計要求，運用本文的方法，從拓撲圖生成功能圖的步驟如下：寫出該拓撲圖的鄰接矩陣；提取基本單元環的鄰接矩陣與序號；生成基本環的功能圖；通過行列式變換對81個基本環組合矩陣進行同構判別，得出這81種組合方式異構；基本環連接；寫出碼值矩陣；生成6構件周轉輪系的功能圖。

圖13 6構件周轉輪系生成功能圖的過程 Fig.13 Process of six links conversion from topological graph to FSE

考慮到移栽時移栽臂相對第一行星架的轉速比為1∶1，以及移栽機構傳動箱體結構的緊湊性，采用外嚙合齒輪副較合適[27]。

因此選擇基本環組合矩陣Q生成功能圖，用圖14的4個基本環功能圖組合而成。

(15)

圖14 6構件周轉輪系基本環功能圖 Fig.14 Fundamental circuit of six links epicyclic gear trains

根據單元環功能圖連接與簡化原則對圖14的4個基本環功能圖進行整理，用碼值矩陣R表示，并生成功能圖如圖15所示。

(16)

圖15 6構件周轉輪系功能圖 Fig.15 Six links FSE

4.2 移栽機構設計

根據功能圖與設計要求，得到圖16所示玉米移栽機構示意圖，圖中1～6表示的零部件與圖15中1～6表示的構件一一對應。玉米缽苗移栽機構主要由齒輪箱、非圓齒輪組、移栽臂等組成。運行時由傳動機構帶動主齒輪箱轉動；太陽輪固定在機架上，與太陽輪嚙合的中間輪A帶動同一軸上的中間輪B、中間輪C轉動，與中間輪B嚙合的行星輪B帶動行星軸a轉動，行星軸a與副齒輪箱Ⅳ固聯，與中間輪C嚙合的行星輪C帶動副齒輪A轉動，與副齒輪A嚙合的副齒輪B帶動移栽臂軸轉動，移栽臂軸與移栽臂固聯。機構運行時，太陽輪固定，主齒輪箱轉動，通過內部非圓齒輪組的傳動，副齒輪箱Ⅳ相對于主齒輪箱1做周期性回轉運動，移栽臂Ⅴ相對于副齒輪箱Ⅳ做周期性往復擺動，從而實現復雜的軌跡與姿態要求。加工完成后齒輪的安裝位置如圖17所示。

圖16 玉米移栽機構示意圖 Fig.16 Diagram of seedling transplanting mechanism 1.主齒輪箱 2.太陽輪 3.行星輪C 4.副齒輪B 5.行星輪B 6.中間輪A a.行星軸 b.中間軸 c.主軸 d.移栽臂軸 Ⅰ.中間輪C Ⅱ.中間輪B Ⅲ.副齒輪A Ⅳ.副齒輪箱 Ⅴ.移栽臂

圖17 齒輪的初始安裝位置圖 Fig.17 Initial installation location diagram of gears

4.3 樣機試驗

圖18 仿真與試驗軌跡對比 Fig.18 Comparison of simulation trajectory and test trajectory

對機構運轉時的高速攝影視頻進行分析與測量，可以獲得移栽臂部件尖點在圖像中的坐標位置，對移栽臂部件尖點的相對運動軌跡進行描點，得到相對軌跡曲線。將優化軟件輸出的仿真軌跡(圖18a)與通過高速攝影描繪的軌跡(圖18b)進行比對，可以得出兩者基本一致的結論，驗證了物理樣機的正確性，進一步驗證了從拓撲圖到功能圖的自動生成方法的可行性。

5 結論

(1)研究了拓撲圖到功能圖的自動生成問題。根據給定的拓撲圖，用鄰接矩陣進行規范表達，編寫程序進行基本環的提取，定義碼值圖與對應的編號，用碼值矩陣表達基本環，按照單元環功能圖連接與簡化原則進行調整，生成周轉輪系的碼值矩陣，得到周轉輪系的功能圖。

(2)根據設計要求，運用拓撲圖到功能圖的自動生成方法，進行了非圓齒輪雙行星輪系玉米缽苗移栽機構的構型綜合，完成了機構的結構設計、軌跡仿真。在移栽機械試驗平臺上，結合高速攝影技術，對移栽機構運轉軌跡與姿態進行拍攝，將優化軟件輸出的仿真軌跡與通過高速攝影描繪的軌跡進行對比，兩者基本一致，驗證了物理樣機的正確性，進一步驗證了所提出的從拓撲圖到功能圖的自動生成方法的可行性。