主動力信息足以確定靜摩擦力的指向嗎？

陳奎孚 姚海蓉 張云文

(中國農業大學 1理學院， 2工學院，北京 100083)

在畫受力圖時，學生往往執著于判定力的指向，這是因在初中這個記憶力黃金階段就學習了力的3要素(大小、方向和作用點)，此后經中學物理和大學物理的反復加強，力的方向意識已經根深蒂固了。但隨著分析對象復雜，判斷力的方向變得很困難，尤其是摩擦力的指向。摩擦力在教學中是一種很典型的力，它在初中物理中即有介紹，且在日常生活中時不時地會接觸到，但是對靜摩擦力指向的確定，學生總感覺是個很富有挑戰性的難題。盡管教材提供了判據：靜摩擦力的指向與相對運動趨勢相反，但這個判據并不好用，因為運動的“趨勢”很難由示意圖的幾何信息判斷出來。實際上，對物理課程常用的例題和習題進行梳理(不管是初中物理、高中物理，還是大學物理)，可發現它們大多為質點模型，且受力相對簡單，比如圖1(a)這樣的例子。對這些簡單例子，“運動趨勢”的判斷往往都是由分析主動力的信息來完成的。

圖1 靜摩擦力的典型例題

對于比較復雜的問題分析，學生也常常企圖在畫受力圖時就弄清楚靜摩擦力的指向，然而此時用主動力的信息來判斷“運動趨勢”變得很困難，這是因為： (1)復雜問題中有剛體(不再是質點)，且主動力可能會很復雜(比如圖1(b)); (2)有時剛體上的“主動力”也是待定的(比如圖1(c))，待定值的大小會影響摩擦力的指向; (3)研究對象發生剛體平面運動(圖1(d)); (4)物體的“總體運動”與接觸面的相對運動可以不一致，比如圖1(d)中純滾動的輪子，輪心有運動，但輪子與地面接觸點的速度為零，加速度垂直于公切線(但依然是靜摩擦力，不是“滾動摩擦力”)。上述諸因素使得靜摩擦力指向更難以預先判定。

其實，不僅是學生，老師也同樣有“靜摩擦力指向”的糾結，因而提出了諸多判據[1-8]。有些判據企圖只使用主動力的信息。這就還存在這樣一個問題：靜摩擦力的指向可由主動力信息唯一確定嗎？

對于動力學情形，本文將展示主動力信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。換句話說，想找出這樣的普適判據是徒勞的：僅利用主動力信息判斷靜摩擦力的指向。只有在某些特殊條件下，才能由主動力信息判斷出靜摩擦力的指向。劉濤等曾提出一個摩擦力指向的判據[10]，本文還將論證這個判據的合理性。

1 平衡情形

圖2 平衡情形的摩擦力分析

對圖1(a)這樣簡單的情形，摩擦力的指向可以根據該圖中的F直接判斷出來。對于主動力很復雜的情形，特別是像圖1(c)這種含“待定主動力”的情形，在畫受力圖時就企圖找到摩擦力的“正確”指向，不僅很困難，而且“正確”指向也有可能隨待定主動力的取值而變化。

上述陳述中“正確”加了引號，其實更確切的表述是“正值”，即正的數值。力是矢量，它有大小和方向兩個屬性。在常規語境下，幾何“大小”不取負值，因此：摩擦力的“正確”指向，習慣上就是摩擦力大小為“正的數值”所對應的指向。如果允許力的大小可以取“負的數值”，那么就無需糾結于“正值”指向了。在畫受力圖時，只要把力的作用線畫對即可，受力圖上箭頭示意的力指向則從作用線的兩個指向中隨便選擇一個即可。下面以平面力系平衡問題為例，論述這樣做的合理性。

Fx(Fs)=0,Fy(Fs)=0,M(Fs)=0

(1)

如果將受力圖上的摩擦力箭頭指向反一下，則主矩和主矢的3個分量變為M(-Fs)、Fx(-Fs)和Fy(-Fs)。此時平衡的充要條件為

Fy(-Fs)=0,Fx(-Fs)=0,M(-Fs)=0

(2)

圖3 邊緣平滑剛體的純滾動的摩擦力分析

假設Fs=ξ是方程(1)的解，那么容易驗證Fs=-ξ也是方程(2)的解。也就是說，靜摩擦力指向的反與不反的區別僅僅是靜摩擦力數值差個正負號而已。因此，在畫受力圖時，完全沒有必要糾結于靜摩擦力的正值指向。關于受力圖中力矢指向的詳細討論可參考文獻[11]。

顯然, 上述靜摩擦力指向的處理也適用于空間力系問題。在數學上，達朗貝爾原理可把動力學問題變成靜力學問題，所以對于動力學問題，靜摩擦力的指向也可從作用線的兩個方向中任意選一個即可。

總之，就靜摩擦力大小的計算而言，它的指向并不是很關鍵。當然對學習摩擦力概念而言，為了理解摩擦力的物理本質，應當強調“靜摩擦力的指向與相對運動趨勢相反”這樣的判據。

2 動力學情形

就圓柱(或圓盤)純滾動的動力學問題，很多作者對其中的靜摩擦力指向進行了討論[1-8]，但筆者認為從計算角度, 即使對動力學問題，靜摩擦力的指向判斷也不是很重要的命題。不僅如此，下面還將展示：主動力信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。只有在特定條件下，靜摩擦力的指向才能被主動力信息唯一確定。

2.1 計算靜摩擦力

下面討論較為普適的情形，即圖3(a)所示的邊緣平滑剛體在地面上純滾動。不失一般性，剛體與地面的公切線取圖示位置的水平方向。剛體所受的全部主動力向其質心C簡化得到主矢Fx+Fy和主矩MC，此時剛體轉動的角速度和角加速度分別為ω和α。Fx的作用線與公法線相交于Q點，質心C與切點A的連線與公切線夾角為θ，剛體的質量為m，繞A的回轉半徑為ρA。

(3)

采用達朗貝爾原理分析。為此以A為基點，看動點C有

(4)

由達朗貝爾原理有

從式(5)可解出

(8)

式(7)可變為

(9)

(10)

2.2 討論

(1) 式(10)中沒有出現Fy，即主動力系主矢量的法向分量與靜摩擦力大小無關。當然Fy的取值要保證FNA>0，以使剛體與地面之間有壓力(由式(6)確定)。另外，如果FNA過小，靜摩擦力達到最大靜摩擦力，剛體就可能滑動，從而無法保證純滾動。下面的討論，均默認FNA>0且靜摩擦力小于最大靜摩擦力。

(11)

這樣式(10)可寫成

(12)

如果把剛體看作為繞A做定軸轉動(A速度為零，且其加速度沿法線，與定軸轉動有類似之處)，則D就是剛體的撞擊中心。

式(12)表明有兩個因素會影響靜摩擦力大小，一是主動力向撞擊中心簡化的主矩，二是剛體轉動的角速度，它們分別對應式(12)的第一項和第二項。

(3) 在式(12)中，第二項與角速度有關，它與當前時刻的主動力信息無關，因此對動力學問題，當前時刻的主動力信息不足以確定靜摩擦力的數值，更不用說正值指向。

一個極端例子如圖4所示，質量偏心的圓輪在水平面上純滾動，力F作用在質心C上，且其大小始終等于輪子重力mg。顯然兩個主動力F和mg相互抵消，即主動力為零力系(主矢為零，且對任意點的主矩為零)，但是Fs不為零，論證如下：輪子作勻角速度純滾動，輪心O的速度不隨時間變化(加速度為零), 但是質心C的加速度

圖4 主動力信息不足以確定靜摩擦力指向

(13)

也就是：如果主動力系向撞擊中心簡化的主矩MD為逆時針，則FsA正值指向向左；而當MD為順時針，則FsA正值指向向右。如果MD為零，則靜摩擦力為零。

進一步若Fx=0，則相當于剛體上主動力為純力偶，此時就不用找撞擊中心了。

(5) 討論(4)中的3種情形解釋如下。

情形A相當于初瞬時情形，或剛體作瞬時平移的情形。

情形B最為常見，很多作者討論的均質圓柱(或圓盤)純滾動就屬于這種情形。因為有時對質心加速度更有感覺，故有作者企圖利用輪心的切向加速度來判斷靜摩擦力的指向。可以證明

(14)

圖5 主動力簡化為正交的兩個集中力

顯然用式(14)判斷靜摩擦力的正值指向，過程并不簡明，不如式(13)方便。

3 一個判據的合理性

劉濤等曾給出下述判據:“只要假設此剛體不受到靜摩擦力作用，那么剛體上的觸點相對于接觸面運動的加速度反方向，即為靜摩擦力方向”[10]。該準則后來被多人反復提起[5,6],但一般都是針對均質圓輪的定性討論。對任意形狀剛體的純滾動，未見討論，更未對準則的正確性給予嚴格的證明。

下面將嚴格證明上述準則的合理性。

圖6 假設光滑模型

以A為基點，C為動點有

(15)

沿x方向有

即得到

(16)

與式(8)兩邊相乘有

(17)

第一，這個判據使用了“假設光滑”后的接觸點切線加速度，不是速度(速度依然是零)。注意：動滑動摩擦力的指向用相對速度的方向來判定。

第三，如果式(12)的第二項為零，則可以不考慮角速度。經常討論的均質圓輪滾動屬于這種情形，即操作中可以忽略角速度的影響。

(18)

4 結語

本文對靜摩擦力的指向問題進行了探究，所得要點如下：

(1) 不管是靜力學，還是動力學，就計算靜摩擦力的大小而言，靜摩擦力的指向并不是很關鍵的問題，可在作用線的兩個方向中任取一個即可。

(2) 對某些動力學問題，主動力的信息不足以唯一確定靜摩擦力的指向。

(3) 當剛體質心位于通過接觸點的法線上時，可以計算主動力對撞擊中心的主動力矩。靜摩擦力的正值指向應當使其對撞擊中心的矩與主動力力矩平衡。此判據最為簡潔。

(4) 可以假設接觸點無摩擦，得到剛體上接觸“質點”的切向加速度，而原問題的靜摩擦力方向就與該切向加速度方向相反。但是“假設光滑”后，接觸點的切向加速度計算也不容易。

■