相對性原理與時空線性變換

戴又善

(1浙江大學(xué)城市學(xué)院， 浙江 杭州 310015; 2浙江大學(xué) 物理系， 浙江 杭州 310027)

0 引言

在推導(dǎo)慣性系的時空變換公式時,許多相對論教科書和文獻(xiàn)往往會事先假設(shè)慣性系的時空變換是線性變換。慣性系的時空線性變換特性一方面是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合,另一方面也可以依據(jù)慣性系所具有的一些特性來予以理論證明,因此通常認(rèn)為其并不屬于一個額外的理論假設(shè)。對此在國內(nèi)外的不同文獻(xiàn)中都有過各種討論[1-6],當(dāng)然在一些簡明的教科書中常常會省略其證明或者只給出并不嚴(yán)密的證明,這從教學(xué)上來講也是允許的,因?yàn)閷T性系的時空線性變換作為一個假設(shè)來處理在教學(xué)上對于初學(xué)者能夠帶來推導(dǎo)簡明的優(yōu)點(diǎn),但是要更深入的理解相對論,則需要真正搞清楚為什么慣性系的時空變換是線性變換。

首先對于什么是慣性系,狹義相對論本身并沒有給出明確的定義,而是借用了牛頓慣性定律來定義。另外慣性系應(yīng)該滿足狹義相對性原理(以下簡稱為相對性原理),相對性原理通常的表述為:一切物理規(guī)律在所有慣性系中都是等價(平權(quán))的,其核心是所有慣性系在物理上的等價不可區(qū)分性,即沒有一個慣性系具有特殊地位。在有的證明推導(dǎo)中雖然表面看只用了牛頓慣性定律[6],實(shí)際上還是隱含地利用了相對性原理,因?yàn)橄鄬π栽硪笈ｎD慣性定律在所有慣性系中都成立(力學(xué)相對性原理)。

滿足牛頓慣性定律的參考系是否就一定為慣性系,就一定會滿足時空線性變換,事實(shí)上并不如此。我們已經(jīng)知道滿足時空分式線性變換的參考系同樣可以滿足牛頓慣性定律[7],它是彎曲的de Sitter時空的愛因斯坦場方程的真空解,同樣具有球?qū)ΨQ的時空各向同性的特性,而當(dāng)其球半徑參量趨于無窮大時則回到了平直的閔氏時空,同時分式線性變換也回到了線性變換[8]。因此慣性系的時空線性變換特性嚴(yán)格來說需要無窮大的時空。

慣性系具有時空的均勻性和各向同性,均勻性是指時空的不同“點(diǎn)”是等價的,各向同性是指時空的不同“方向”是等價的, “方向”至少需要由兩個“點(diǎn)”的連線所確定。因此均勻性和各向同性是兩個不同的概念。值得指出的是de Sitter時空度規(guī)雖然與時空坐標(biāo)有關(guān),但是de Sitter時空的真空解在其坐標(biāo)原點(diǎn)同樣也具有各向同性,而de Sitter時空并不具有平移不變性。另外需要說明的是,通常均勻性和各向同性中的“性”是指性質(zhì)或特性,因此嚴(yán)格來說需要予以具體的指明,例如對于一塊物質(zhì)材料,其均勻性可以是均勻的顏色、均勻的密度、均勻的溫度、均勻的電特性、均勻的磁特性等等。而對于相對論的討論來說,均勻的時空是指任何的時空點(diǎn)在物理上都是等價的,即具有時空平移不變性。各向同性則是指空間任何方向上都是等價的,即具有空間轉(zhuǎn)動不變性。慣性系的時空特征是在任何方向上的時空平移不變性,因此既要求有無窮大的時空,也包含了時空的均勻性和各向同性。換言之,(任何方向上的)“時空平移不變性”與“時空的均勻性和各向同性”是互相等價的。但由于時空的均勻性和物質(zhì)的均勻性常常容易被混淆,另外時空本身的各向同性與所選參考系是否各向同性也容易混淆(如時空本身是各向同性的,但所選非慣性系可以不是各向同性),因此為了更加明確和簡捷，本文將采用時空平移不變性來討論。在本文中給予慣性系的定義是具有任何方向上的時空平移不變性,顯然這也符合相對性原理對慣性系的等價性要求。

本文將依據(jù)相對性原理(其核心是所有慣性系的等價性),利用時空平移不變性來證明慣性系的時空變換必須為線性變換,并進(jìn)而推導(dǎo)出慣性系時空變換的廣義洛倫茲變換公式。

1 慣性系的時空線性變換

由于慣性系在任何方向都具有時空平移不變性，因此為不失一般性可以討論兩個沿X方向相對運(yùn)動的慣性系，設(shè)慣性系S′(x′,t′)相對于慣性系S(x,t)沿X方向以平動速度V0運(yùn)動，見圖1。

圖1 沿X方向相對運(yùn)動的兩個慣性系

慣性系之間的整體相對運(yùn)動速度V0是與時空坐標(biāo)無關(guān)的常量，這顯然是慣性系都具有時空平移不變性的結(jié)果。相應(yīng)的時空變換關(guān)系可以最一般性地寫為

(1)

其中x′(x,t)和t′(x,t)是兩個待定函數(shù)，對上式微分可得

(2)

由此可求得速度變換關(guān)系為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

即有

(9)

a11為常量，反映了空間平移不變性；a00為常量反映了時間平移不變性。對于相對論來講時空的平移不變性是不獨(dú)立的,由空間平移不變性可以推出時間平移不變性,反之亦然。則式(6)可改寫為(其中a11和a00都為常量)

(10)

(11)

另一方面，設(shè)x=x(x′,t′),t=t(x′,t′),依據(jù)相對性原理,所有的慣性系都具有時空平移不變性,由同樣的討論,類似于式(6)同樣應(yīng)有

(12)

(13)

比較式(13)和式(11)可得

(14)

(15)

由式(14)還可得關(guān)系式

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

上式給出了a01與a11的具體關(guān)系,由于a11是常量,因此a01顯然也是與時空坐標(biāo)無關(guān)的常量,則式(15)可改寫為

(21)

對上式積分后,即可得到慣性系的時空線性變換公式(取積分常數(shù)都為零的齊次式)

(22)

其中還包含了一個待定常量a11。當(dāng)取a11=1時就回到了伽利略變換

(23)

(24)

2 同時的相對性

空間和時間是基本的物理量，最基本的空間間隔測量可由靜長(本征長度)來定義，最基本的時間間隔測量可由靜止時鐘記錄的固有時(本征時間)來定義，并由此可定義速度這一導(dǎo)出物理量，即靜長為l0的桿運(yùn)動時，其兩端通過某靜止時鐘的固有時間隔為τ0，則定義該桿的勻速運(yùn)動速度為v=l0/τ0。這些長度、時間和速度的最基本定義都與“對鐘”過程無關(guān)。與“對鐘”相關(guān)的是靜止在不同地點(diǎn)時鐘的“同時性”定義，要完成同一參考系中的“對鐘”校準(zhǔn)過程，理論上只需要在兩個靜止時鐘的距離中點(diǎn)發(fā)送某種“各向同性”的信號(由于慣性系的時空均勻性和各向同性，這種“各向同性”的信號是存在的)，就可以將兩個時鐘校準(zhǔn)，這一校準(zhǔn)過程并不需要事先知道信號的運(yùn)動速度。而利用這兩個已經(jīng)校準(zhǔn)好的時鐘就可以測量出該信號在該慣性系的運(yùn)動速度，利用該各向同性的信號原則上就可以校準(zhǔn)該慣性系的所有時鐘(在一定實(shí)驗(yàn)精度下)，從而建立起該慣性系的時間體系[9]。

對于不同慣性系各自建立的時間體系之間則是無法通過“對鐘”過程來校準(zhǔn)的，這稱為“同時的相對性”。“同時的相對性”既可以利用光信號和光速不變假設(shè)來直觀說明，也可以用慣性系的時空線性變換公式來予以證明。對于發(fā)生在不同時空點(diǎn)的任意兩個事件1(x1,t1)和事件2(x2,t2)，由于慣性系的時空變換是線性變換，因此時空間隔的變換同樣為線性變換，即

(25)

(26)

對于伽利略變換,a11=1,顯然有Δt′=Δt=0,即同時事件在所有慣性系中都為同時。對于伽利略變換,同時性是絕對的,與參考系的選擇無關(guān)。而對于非伽利略的任何線性變換,a11≠1,則有Δt′≠0,即S系中的異地同時事件在S′系中必為不同時事件，同時性將依賴于參考系的選擇，稱為“同時的相對性”。因此“同時的相對性”并不是唯一依賴于光速不變假設(shè)和洛倫茲變換[10],對于慣性系的時空線性變換,只要是非伽利略變換都具有“同時的相對性”。

3 極限速度與廣義洛倫茲變換

慣性系的速度變換關(guān)系式(3)可改寫為

(27)

直接求解其逆變換關(guān)系為

(28)

定義無量綱速度

(29)

則有

(30)

對上式u′=u′(u)和u=u(u′)分別求導(dǎo)可得

(31)

由此說明了u′=u′(u)和u=u(u′)都是單調(diào)遞增的函數(shù)[11]。

因?yàn)槭?30)中的分母為零將使得u′=u′(u)和u=u(u′)的取值分別為無窮大,并且是函數(shù)u′=u′(u)和u=u(u′)的不連續(xù)奇點(diǎn),因此物理上要求式(30)中的分母不能為零,則有限制條件

(32)

(33)

(34)

從以上兩式都可化為

(35)

(36)

如果在參考系變換下存在一個不變的速度v0,則應(yīng)該滿足v→v0,v′→v0,由速度變換式(27)則有

(37)

由此可解得

(38)

與式(36)相比較,由此證明了此不變速度即為極限速度v0=vm。

將式(36)代入式(22)則可最后確定慣性系的時空線性變換為廣義洛倫茲變換[11-12]

(39)

其中的vm既是極限速度又是不變速度。如果實(shí)驗(yàn)上確定了光速嚴(yán)格等于極限速度,即取vm=c,則回到了通常的洛倫茲變換公式。

與通常利用光速不變假設(shè)來推導(dǎo)洛倫茲變換的最主要不同之處為,本文是依據(jù)相對性原理證明了普適極限速度vm的存在,我們并未要求一定存在以極限速度運(yùn)動的粒子(即靜質(zhì)量為零的粒子),也就是說只要求粒子運(yùn)動能夠無限趨近極限速度vm而并不一定需要有粒子運(yùn)動實(shí)際達(dá)到極限速度。另外我們并未在理論上引進(jìn)額外假設(shè)來事先限定極限速度,而是可以依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來確定極限速度的取值,這樣就使得相對論具有了更廣的適用范圍[13]。需要強(qiáng)調(diào)的是廣義洛倫茲變換中的極限速度需要通過實(shí)驗(yàn)來確定,可以通過各種不同粒子的實(shí)驗(yàn)測量來確定極限速度的取值,而其中通過測量光速來確定極限速度vm≈c在目前則是實(shí)驗(yàn)上一個精度較高的取值,這也與傳統(tǒng)相對論通過理論上的光速不變假設(shè)來引進(jìn)極限速度相自洽。換言之,傳統(tǒng)相對論取vm=c是本文給出的廣義洛倫茲變換的一個特例。雖然在理論上極限速度vm允許具有比光速c更廣的取值范圍,而在目前的測量結(jié)果和實(shí)驗(yàn)精度下兩者的取值是相一致的。

4 小結(jié)和討論

(1) 本文依據(jù)相對性原理(即所有慣性系的等價性)以及利用慣性系的時空平移不變性證明了慣性系的時空變換必須為線性變換。在文獻(xiàn)[6]中利用了牛頓慣性定律來推導(dǎo)慣性系的時空線性變換特性,并得出結(jié)論說牛頓慣性定律是推導(dǎo)慣性系時空線性變換缺一不可的必要條件,這一結(jié)論并不準(zhǔn)確。牛頓慣性定律可以是推導(dǎo)慣性系時空線性變換的充分條件,但并非必要條件。利用慣性定律實(shí)際上就隱含著已經(jīng)利用了相對性原理,因?yàn)殡[含著牛頓慣性定律對所有慣性系都適用。所以相對性原理才是推導(dǎo)慣性系時空線性變換的真正必要條件。

(2) 本文同時證明了空間平移不變性和時間平移不變性兩者并不獨(dú)立,由空間平移不變性可以推出時間平移不變性,反之亦然。這是因?yàn)樵谙鄬φ撝袝r空是統(tǒng)一的,空間和時間之間互相有關(guān)聯(lián)。我們知道動量守恒根源于空間平移不變性,而能量守恒根源于時間平移不變性,因此在相對論中動量守恒定律與能量守恒定律并不是互相獨(dú)立的定律[14]。但是需要注意的是,對于經(jīng)典的伽利略變換,雖然也是線性變換,也滿足力學(xué)相對性原理,但由于經(jīng)典力學(xué)中時間和空間是獨(dú)立的,另外經(jīng)典的能量雖然包含動能但并不包含靜能,因此在經(jīng)典力學(xué)中動量守恒定律與能量守恒定律是兩條獨(dú)立的定律[15]。

(4) 本文利用慣性系的時空線性變換公式證明了“同時的相對性”,除了伽利略變換外的任何時空線性變換都可以用來說明“同時的相對性”,即在一個慣性系中的兩個異地同時事件,在另一個慣性系中一定不同時。需要特別指出的是, “同時的相對性”并不需要事先確定時空線性變換為洛倫茲變換,本文討論中也沒有引進(jìn)光速不變假設(shè),“同時的相對性”是相對論時空本身具有的一種基本特性,并不依賴于某種外在特殊粒子的特性。

(5) 本文給出了一種完全利用相對性原理來推導(dǎo)出慣性系廣義洛倫茲變換的方法。首先依據(jù)相對性原理證明了慣性系的時空變換必須為線性變換,進(jìn)一步通過討論慣性系速度變換公式的單調(diào)遞增特性,由變量有界的單調(diào)遞增函數(shù)都有上限的特性, 進(jìn)而利用相對性原理證明了普適極限速度的存在,由此可以完全確定慣性系的時空線性變換系數(shù),從而推導(dǎo)出廣義洛倫茲變換公式。在通常的文獻(xiàn)和教科書中,往往都是通過引進(jìn)光速不變假設(shè)來推導(dǎo)洛倫茲變換公式,這容易給人造成一種似乎無需用到相對性原理的假象,但是利用光速不變假設(shè)來推導(dǎo)洛倫茲變換需要事先假定時空變換為線性變換,即事先要求變換系數(shù)為常量,進(jìn)而可以利用光速不變條件通過類光事件的特例來確定常量變換系數(shù),因此時空線性變換是推導(dǎo)洛倫茲變換的前提。許多教科書和文獻(xiàn)為了推導(dǎo)上的簡明,對于慣性系的時空線性變換特性往往省略了證明或未給予嚴(yán)格的證明[10]。本文的討論則說明了相對性原理是推導(dǎo)慣性系時空線性變換的必要條件,即使利用光速不變假設(shè)來推導(dǎo)洛倫茲變換公式，實(shí)際上也離不開相對性原理。這使得我們能夠更好地理解相對性原理在相對論中的核心地位和所起的關(guān)鍵性作用。

感謝浙江省自然科學(xué)基金(編號：LY17A050001)對于我們相對論研究課題的鼓勵和資助，同時也感謝與美國普林斯頓高等研究院Einstein Postdoctoral Fellow戴亮的有益討論。

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