相對(duì)性原理與時(shí)空線性變換

戴又善

(1浙江大學(xué)城市學(xué)院， 浙江 杭州 310015; 2浙江大學(xué) 物理系， 浙江 杭州 310027)

0 引言

在推導(dǎo)慣性系的時(shí)空變換公式時(shí),許多相對(duì)論教科書(shū)和文獻(xiàn)往往會(huì)事先假設(shè)慣性系的時(shí)空變換是線性變換。慣性系的時(shí)空線性變換特性一方面是與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合,另一方面也可以依據(jù)慣性系所具有的一些特性來(lái)予以理論證明,因此通常認(rèn)為其并不屬于一個(gè)額外的理論假設(shè)。對(duì)此在國(guó)內(nèi)外的不同文獻(xiàn)中都有過(guò)各種討論[1-6],當(dāng)然在一些簡(jiǎn)明的教科書(shū)中常常會(huì)省略其證明或者只給出并不嚴(yán)密的證明,這從教學(xué)上來(lái)講也是允許的,因?yàn)閷T性系的時(shí)空線性變換作為一個(gè)假設(shè)來(lái)處理在教學(xué)上對(duì)于初學(xué)者能夠帶來(lái)推導(dǎo)簡(jiǎn)明的優(yōu)點(diǎn),但是要更深入的理解相對(duì)論,則需要真正搞清楚為什么慣性系的時(shí)空變換是線性變換。

首先對(duì)于什么是慣性系,狹義相對(duì)論本身并沒(méi)有給出明確的定義,而是借用了牛頓慣性定律來(lái)定義。另外慣性系應(yīng)該滿足狹義相對(duì)性原理(以下簡(jiǎn)稱為相對(duì)性原理),相對(duì)性原理通常的表述為:一切物理規(guī)律在所有慣性系中都是等價(jià)(平權(quán))的,其核心是所有慣性系在物理上的等價(jià)不可區(qū)分性,即沒(méi)有一個(gè)慣性系具有特殊地位。在有的證明推導(dǎo)中雖然表面看只用了牛頓慣性定律[6],實(shí)際上還是隱含地利用了相對(duì)性原理,因?yàn)橄鄬?duì)性原理要求牛頓慣性定律在所有慣性系中都成立(力學(xué)相對(duì)性原理)。

滿足牛頓慣性定律的參考系是否就一定為慣性系,就一定會(huì)滿足時(shí)空線性變換,事實(shí)上并不如此。我們已經(jīng)知道滿足時(shí)空分式線性變換的參考系同樣可以滿足牛頓慣性定律[7],它是彎曲的de Sitter時(shí)空的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的真空解,同樣具有球?qū)ΨQ的時(shí)空各向同性的特性,而當(dāng)其球半徑參量趨于無(wú)窮大時(shí)則回到了平直的閔氏時(shí)空,同時(shí)分式線性變換也回到了線性變換[8]。因此慣性系的時(shí)空線性變換特性嚴(yán)格來(lái)說(shuō)需要無(wú)窮大的時(shí)空。

慣性系具有時(shí)空的均勻性和各向同性,均勻性是指時(shí)空的不同“點(diǎn)”是等價(jià)的,各向同性是指時(shí)空的不同“方向”是等價(jià)的, “方向”至少需要由兩個(gè)“點(diǎn)”的連線所確定。因此均勻性和各向同性是兩個(gè)不同的概念。值得指出的是de Sitter時(shí)空度規(guī)雖然與時(shí)空坐標(biāo)有關(guān),但是de Sitter時(shí)空的真空解在其坐標(biāo)原點(diǎn)同樣也具有各向同性,而de Sitter時(shí)空并不具有平移不變性。另外需要說(shuō)明的是,通常均勻性和各向同性中的“性”是指性質(zhì)或特性,因此嚴(yán)格來(lái)說(shuō)需要予以具體的指明,例如對(duì)于一塊物質(zhì)材料,其均勻性可以是均勻的顏色、均勻的密度、均勻的溫度、均勻的電特性、均勻的磁特性等等。而對(duì)于相對(duì)論的討論來(lái)說(shuō),均勻的時(shí)空是指任何的時(shí)空點(diǎn)在物理上都是等價(jià)的,即具有時(shí)空平移不變性。各向同性則是指空間任何方向上都是等價(jià)的,即具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性。慣性系的時(shí)空特征是在任何方向上的時(shí)空平移不變性,因此既要求有無(wú)窮大的時(shí)空,也包含了時(shí)空的均勻性和各向同性。換言之,(任何方向上的)“時(shí)空平移不變性”與“時(shí)空的均勻性和各向同性”是互相等價(jià)的。但由于時(shí)空的均勻性和物質(zhì)的均勻性常常容易被混淆,另外時(shí)空本身的各向同性與所選參考系是否各向同性也容易混淆(如時(shí)空本身是各向同性的,但所選非慣性系可以不是各向同性),因此為了更加明確和簡(jiǎn)捷，本文將采用時(shí)空平移不變性來(lái)討論。在本文中給予慣性系的定義是具有任何方向上的時(shí)空平移不變性,顯然這也符合相對(duì)性原理對(duì)慣性系的等價(jià)性要求。

本文將依據(jù)相對(duì)性原理(其核心是所有慣性系的等價(jià)性),利用時(shí)空平移不變性來(lái)證明慣性系的時(shí)空變換必須為線性變換,并進(jìn)而推導(dǎo)出慣性系時(shí)空變換的廣義洛倫茲變換公式。

1 慣性系的時(shí)空線性變換

由于慣性系在任何方向都具有時(shí)空平移不變性，因此為不失一般性可以討論兩個(gè)沿X方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系，設(shè)慣性系S′(x′,t′)相對(duì)于慣性系S(x,t)沿X方向以平動(dòng)速度V0運(yùn)動(dòng)，見(jiàn)圖1。

圖1 沿X方向相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)慣性系

慣性系之間的整體相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度V0是與時(shí)空坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常量，這顯然是慣性系都具有時(shí)空平移不變性的結(jié)果。相應(yīng)的時(shí)空變換關(guān)系可以最一般性地寫為

(1)

其中x′(x,t)和t′(x,t)是兩個(gè)待定函數(shù)，對(duì)上式微分可得

(2)

由此可求得速度變換關(guān)系為

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

即有

(9)

a11為常量，反映了空間平移不變性；a00為常量反映了時(shí)間平移不變性。對(duì)于相對(duì)論來(lái)講時(shí)空的平移不變性是不獨(dú)立的,由空間平移不變性可以推出時(shí)間平移不變性,反之亦然。則式(6)可改寫為(其中a11和a00都為常量)

(10)

(11)

另一方面，設(shè)x=x(x′,t′),t=t(x′,t′),依據(jù)相對(duì)性原理,所有的慣性系都具有時(shí)空平移不變性,由同樣的討論,類似于式(6)同樣應(yīng)有

(12)

(13)

比較式(13)和式(11)可得

(14)

(15)

由式(14)還可得關(guān)系式

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

上式給出了a01與a11的具體關(guān)系,由于a11是常量,因此a01顯然也是與時(shí)空坐標(biāo)無(wú)關(guān)的常量,則式(15)可改寫為

(21)

對(duì)上式積分后,即可得到慣性系的時(shí)空線性變換公式(取積分常數(shù)都為零的齊次式)

(22)

其中還包含了一個(gè)待定常量a11。當(dāng)取a11=1時(shí)就回到了伽利略變換

(23)

(24)

2 同時(shí)的相對(duì)性

空間和時(shí)間是基本的物理量，最基本的空間間隔測(cè)量可由靜長(zhǎng)(本征長(zhǎng)度)來(lái)定義，最基本的時(shí)間間隔測(cè)量可由靜止時(shí)鐘記錄的固有時(shí)(本征時(shí)間)來(lái)定義，并由此可定義速度這一導(dǎo)出物理量，即靜長(zhǎng)為l0的桿運(yùn)動(dòng)時(shí)，其兩端通過(guò)某靜止時(shí)鐘的固有時(shí)間隔為τ0，則定義該桿的勻速運(yùn)動(dòng)速度為v=l0/τ0。這些長(zhǎng)度、時(shí)間和速度的最基本定義都與“對(duì)鐘”過(guò)程無(wú)關(guān)。與“對(duì)鐘”相關(guān)的是靜止在不同地點(diǎn)時(shí)鐘的“同時(shí)性”定義，要完成同一參考系中的“對(duì)鐘”校準(zhǔn)過(guò)程，理論上只需要在兩個(gè)靜止時(shí)鐘的距離中點(diǎn)發(fā)送某種“各向同性”的信號(hào)(由于慣性系的時(shí)空均勻性和各向同性，這種“各向同性”的信號(hào)是存在的)，就可以將兩個(gè)時(shí)鐘校準(zhǔn)，這一校準(zhǔn)過(guò)程并不需要事先知道信號(hào)的運(yùn)動(dòng)速度。而利用這兩個(gè)已經(jīng)校準(zhǔn)好的時(shí)鐘就可以測(cè)量出該信號(hào)在該慣性系的運(yùn)動(dòng)速度，利用該各向同性的信號(hào)原則上就可以校準(zhǔn)該慣性系的所有時(shí)鐘(在一定實(shí)驗(yàn)精度下)，從而建立起該慣性系的時(shí)間體系[9]。

對(duì)于不同慣性系各自建立的時(shí)間體系之間則是無(wú)法通過(guò)“對(duì)鐘”過(guò)程來(lái)校準(zhǔn)的，這稱為“同時(shí)的相對(duì)性”。“同時(shí)的相對(duì)性”既可以利用光信號(hào)和光速不變假設(shè)來(lái)直觀說(shuō)明，也可以用慣性系的時(shí)空線性變換公式來(lái)予以證明。對(duì)于發(fā)生在不同時(shí)空點(diǎn)的任意兩個(gè)事件1(x1,t1)和事件2(x2,t2)，由于慣性系的時(shí)空變換是線性變換，因此時(shí)空間隔的變換同樣為線性變換，即

(25)

(26)

對(duì)于伽利略變換,a11=1,顯然有Δt′=Δt=0,即同時(shí)事件在所有慣性系中都為同時(shí)。對(duì)于伽利略變換,同時(shí)性是絕對(duì)的,與參考系的選擇無(wú)關(guān)。而對(duì)于非伽利略的任何線性變換,a11≠1,則有Δt′≠0,即S系中的異地同時(shí)事件在S′系中必為不同時(shí)事件，同時(shí)性將依賴于參考系的選擇，稱為“同時(shí)的相對(duì)性”。因此“同時(shí)的相對(duì)性”并不是唯一依賴于光速不變假設(shè)和洛倫茲變換[10],對(duì)于慣性系的時(shí)空線性變換,只要是非伽利略變換都具有“同時(shí)的相對(duì)性”。

3 極限速度與廣義洛倫茲變換

慣性系的速度變換關(guān)系式(3)可改寫為

(27)

直接求解其逆變換關(guān)系為

(28)

定義無(wú)量綱速度

(29)

則有

(30)

對(duì)上式u′=u′(u)和u=u(u′)分別求導(dǎo)可得

(31)

由此說(shuō)明了u′=u′(u)和u=u(u′)都是單調(diào)遞增的函數(shù)[11]。

因?yàn)槭?30)中的分母為零將使得u′=u′(u)和u=u(u′)的取值分別為無(wú)窮大,并且是函數(shù)u′=u′(u)和u=u(u′)的不連續(xù)奇點(diǎn),因此物理上要求式(30)中的分母不能為零,則有限制條件

(32)

(33)

(34)

從以上兩式都可化為

(35)

(36)

如果在參考系變換下存在一個(gè)不變的速度v0,則應(yīng)該滿足v→v0,v′→v0,由速度變換式(27)則有

(37)

由此可解得

(38)

與式(36)相比較,由此證明了此不變速度即為極限速度v0=vm。

將式(36)代入式(22)則可最后確定慣性系的時(shí)空線性變換為廣義洛倫茲變換[11-12]

(39)

其中的vm既是極限速度又是不變速度。如果實(shí)驗(yàn)上確定了光速嚴(yán)格等于極限速度,即取vm=c,則回到了通常的洛倫茲變換公式。

與通常利用光速不變假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛倫茲變換的最主要不同之處為,本文是依據(jù)相對(duì)性原理證明了普適極限速度vm的存在,我們并未要求一定存在以極限速度運(yùn)動(dòng)的粒子(即靜質(zhì)量為零的粒子),也就是說(shuō)只要求粒子運(yùn)動(dòng)能夠無(wú)限趨近極限速度vm而并不一定需要有粒子運(yùn)動(dòng)實(shí)際達(dá)到極限速度。另外我們并未在理論上引進(jìn)額外假設(shè)來(lái)事先限定極限速度,而是可以依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)確定極限速度的取值,這樣就使得相對(duì)論具有了更廣的適用范圍[13]。需要強(qiáng)調(diào)的是廣義洛倫茲變換中的極限速度需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)確定,可以通過(guò)各種不同粒子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量來(lái)確定極限速度的取值,而其中通過(guò)測(cè)量光速來(lái)確定極限速度vm≈c在目前則是實(shí)驗(yàn)上一個(gè)精度較高的取值,這也與傳統(tǒng)相對(duì)論通過(guò)理論上的光速不變假設(shè)來(lái)引進(jìn)極限速度相自洽。換言之,傳統(tǒng)相對(duì)論取vm=c是本文給出的廣義洛倫茲變換的一個(gè)特例。雖然在理論上極限速度vm允許具有比光速c更廣的取值范圍,而在目前的測(cè)量結(jié)果和實(shí)驗(yàn)精度下兩者的取值是相一致的。

4 小結(jié)和討論

(1) 本文依據(jù)相對(duì)性原理(即所有慣性系的等價(jià)性)以及利用慣性系的時(shí)空平移不變性證明了慣性系的時(shí)空變換必須為線性變換。在文獻(xiàn)[6]中利用了牛頓慣性定律來(lái)推導(dǎo)慣性系的時(shí)空線性變換特性,并得出結(jié)論說(shuō)牛頓慣性定律是推導(dǎo)慣性系時(shí)空線性變換缺一不可的必要條件,這一結(jié)論并不準(zhǔn)確。牛頓慣性定律可以是推導(dǎo)慣性系時(shí)空線性變換的充分條件,但并非必要條件。利用慣性定律實(shí)際上就隱含著已經(jīng)利用了相對(duì)性原理,因?yàn)殡[含著牛頓慣性定律對(duì)所有慣性系都適用。所以相對(duì)性原理才是推導(dǎo)慣性系時(shí)空線性變換的真正必要條件。

(2) 本文同時(shí)證明了空間平移不變性和時(shí)間平移不變性兩者并不獨(dú)立,由空間平移不變性可以推出時(shí)間平移不變性,反之亦然。這是因?yàn)樵谙鄬?duì)論中時(shí)空是統(tǒng)一的,空間和時(shí)間之間互相有關(guān)聯(lián)。我們知道動(dòng)量守恒根源于空間平移不變性,而能量守恒根源于時(shí)間平移不變性,因此在相對(duì)論中動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律并不是互相獨(dú)立的定律[14]。但是需要注意的是,對(duì)于經(jīng)典的伽利略變換,雖然也是線性變換,也滿足力學(xué)相對(duì)性原理,但由于經(jīng)典力學(xué)中時(shí)間和空間是獨(dú)立的,另外經(jīng)典的能量雖然包含動(dòng)能但并不包含靜能,因此在經(jīng)典力學(xué)中動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律是兩條獨(dú)立的定律[15]。

(4) 本文利用慣性系的時(shí)空線性變換公式證明了“同時(shí)的相對(duì)性”,除了伽利略變換外的任何時(shí)空線性變換都可以用來(lái)說(shuō)明“同時(shí)的相對(duì)性”,即在一個(gè)慣性系中的兩個(gè)異地同時(shí)事件,在另一個(gè)慣性系中一定不同時(shí)。需要特別指出的是, “同時(shí)的相對(duì)性”并不需要事先確定時(shí)空線性變換為洛倫茲變換,本文討論中也沒(méi)有引進(jìn)光速不變假設(shè),“同時(shí)的相對(duì)性”是相對(duì)論時(shí)空本身具有的一種基本特性,并不依賴于某種外在特殊粒子的特性。

(5) 本文給出了一種完全利用相對(duì)性原理來(lái)推導(dǎo)出慣性系廣義洛倫茲變換的方法。首先依據(jù)相對(duì)性原理證明了慣性系的時(shí)空變換必須為線性變換,進(jìn)一步通過(guò)討論慣性系速度變換公式的單調(diào)遞增特性,由變量有界的單調(diào)遞增函數(shù)都有上限的特性, 進(jìn)而利用相對(duì)性原理證明了普適極限速度的存在,由此可以完全確定慣性系的時(shí)空線性變換系數(shù),從而推導(dǎo)出廣義洛倫茲變換公式。在通常的文獻(xiàn)和教科書(shū)中,往往都是通過(guò)引進(jìn)光速不變假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛倫茲變換公式,這容易給人造成一種似乎無(wú)需用到相對(duì)性原理的假象,但是利用光速不變假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛倫茲變換需要事先假定時(shí)空變換為線性變換,即事先要求變換系數(shù)為常量,進(jìn)而可以利用光速不變條件通過(guò)類光事件的特例來(lái)確定常量變換系數(shù),因此時(shí)空線性變換是推導(dǎo)洛倫茲變換的前提。許多教科書(shū)和文獻(xiàn)為了推導(dǎo)上的簡(jiǎn)明,對(duì)于慣性系的時(shí)空線性變換特性往往省略了證明或未給予嚴(yán)格的證明[10]。本文的討論則說(shuō)明了相對(duì)性原理是推導(dǎo)慣性系時(shí)空線性變換的必要條件,即使利用光速不變假設(shè)來(lái)推導(dǎo)洛倫茲變換公式，實(shí)際上也離不開(kāi)相對(duì)性原理。這使得我們能夠更好地理解相對(duì)性原理在相對(duì)論中的核心地位和所起的關(guān)鍵性作用。

感謝浙江省自然科學(xué)基金(編號(hào)：LY17A050001)對(duì)于我們相對(duì)論研究課題的鼓勵(lì)和資助，同時(shí)也感謝與美國(guó)普林斯頓高等研究院Einstein Postdoctoral Fellow戴亮的有益討論。

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