剛體轉動慣量綜合演示儀在教學上的應用

楊振清 宋 頂 林春丹 周廣剛 張萬松

(中國石油大學(北京) 1理學院； 2 機械與儲運工程學院，北京 102200)

轉動慣量是反映剛體繞軸轉動時慣性量度的重要物理量，在工程、工業等領域都有廣泛的應用。大學物理中剛體轉動慣量部分是教學重點也是教學難點[1,2]。目前轉動慣量演示實驗主要是外形相同質量分布不同的圓柱體在斜面上滾動快慢來研究轉動慣量對滾動速度的影響，因其形狀單一，難以進行定量分析。為此我們設計了能夠演示并定量比較典型形狀包括薄圓筒、圓柱體、薄球殼、實心球體在斜面上滾動快慢的轉動慣量綜合演示儀，同時能夠測量桿狀剛體的轉軸位置變化引起桿狀剛體轉動速度變化,從而有助于學生理解剛體轉軸位置變化會導致轉動慣量大小變化的平行軸定理[3-6]。通過該裝置的演示加強學生對轉動慣量的理解。

1 裝置的組成結構及原理

1.1 剛體轉動慣量演示儀的組成

實驗裝置結構如圖1所示，主要由斜面基座、豎直基座、光電計時器組成。豎直基座用于觀察桿狀剛體繞軸轉動情況。轉軸用于固定桿狀剛體，繞在滑輪上的繩索設有擋光片且其自由端連接重錘，滑輪在重錘的作用下轉動，擋光片在下降過程中依次經過光電門A1和光電門A2，使光電計時器A隨之啟動計時和停止計時并顯示下落時間。斜面基座用于觀察剛體在斜面滾動的快慢。剛體初時被第一擋剛體板固定在斜面頂部，當向上抬起擋剛體板的瞬間，第一擋光門桿通過光電門B1，使光電計時器B開始計時，剛體開始沿斜面滾落；隨著剛體滾落至下面，第二擋光門桿轉動后通過第二光電門B2時停止計時,光電計時器B顯示剛體滾動時間。滾動斜面的底端設有制動擋板,以防止剛體滾出斜面基座外。

圖2是制作完成的剛體轉動慣量綜合演示儀實物圖，光電計時器A 和B的計時單位可以分別調整為秒或毫秒。桿狀剛體下落時間較短，所以以毫秒為單位來顯示。剛體在斜面滾動時間相對較長,所以以秒為單位顯示。

1.2 實驗測量原理

實驗分為半徑相同的圓柱、球形剛體沿斜面純滾動時間(斜面夾角滿足純滾動)的測量和桿狀剛體繞不同的軸轉動時系統在垂直轉動架中下落的時間測量兩部分。半徑相同的圓柱、球形剛體在斜面頂部由靜止開始滾動到底部光電計時器B記錄滾動時間。第二部分實驗滑輪轉軸中心與桿狀剛體中心連接或與剛體一端連接以實現轉軸在桿狀剛體中心或轉軸在剛體一端的兩種情況。光電計時器A記錄上述兩種情況下系統從光電門A1到A2的所需時間。通過上述兩個實驗可以驗證質量分布對滾動速度的影響及桿狀剛體系統轉軸位置對轉動慣量的影響。

1.2.1 圓柱、球形剛體實驗

如圖3所示，半徑為R,

質量為m的剛體在傾角為θ的斜面上作純滾動。質心為O點。過質心平行于斜面的坐標軸為y軸,過質心垂直斜面的坐標軸為x軸，建立坐標軸并進行受力分析。設質心滾動距離為L,滾動時間為t1，剛體轉動慣量為J。(設靜摩擦力f沿斜面向上)

圖1 剛體轉動慣量綜合演示儀結構圖

圖2 剛體轉動慣量綜合演示儀實物圖

圖3 斜面滾動剛體受力分析圖

由質心運動定理和相對于質心的動量矩定理可得剛體的動力學方程[7,8]：

解方程組可得

(6)

1.2.2 桿狀剛體實驗

如圖4所示,質量為m，長度為l的桿狀剛體固定在轉軸上，繞在半徑為r的轉軸上的細線與質量為M1的重錘連接，滑輪質量為M2,擋光門桿依次經過光電門A1和A2所花費時間為t，下落的距離為H。設下落的加速度為a，滑輪轉動的角加速度為α。

圖4 桿狀剛體系統受力分析圖

圖4中，M1受到的拉力T2和滑輪受到的拉力T1大小相等，以T表示。定滑輪和桿狀剛體組成的系統總轉動慣量為J*。對軸O,有

對細繩受力分析,得

M1a=M1g-T

(9)

同時有

(10)

解此方程組可得

(11)

2 實驗數據處理與分析

2.1 圓柱、形球形剛體實驗

學生在學習轉動慣量時，常常認為剛體在斜面上滾動的快慢與質量有關；半徑小的球體或短的柱體滾動比半徑大、較長的柱體要滾動得快。因此我們針對學生在學習轉動慣量時存在的理解誤區，利用該轉動慣量演示儀做了對比實驗。

為了定性地了解剛體在斜面做無滑動滾動的快慢與哪些因素有關，如表1中所示相鄰兩個為一組，共進行了4組對比實驗：除對比因素外，其他條件相同。

表1 材質、半徑及長度不同時的滾動對比實驗數據

前3組實驗中滾動時間幾乎相同，說明了剛體在斜面上純滾動快慢與剛體的材質(即質量)、長度、半徑無關。而第4組半徑不同的球殼滾動時間有偏差，這是因為球殼有一定的厚度，若按球殼處理半徑小的比半徑大內徑厚度的影響更大,所以兩個半徑不同的薄球殼滾動時間有一定的偏差。因此半徑不同的實心剛體如第1組實驗演示滾動時間與半徑無關的現象效果更為理想。

為了進一步探究說明不同形狀對剛體滾動快慢有何影響，半徑相同的薄球殼、球體, 底面圓半徑相同的薄圓環、圓盤圓形在斜面無滑滾動測得時間如表2所示。

實驗結果顯示薄球殼與薄圓筒的質量及半徑相同,但二者滾動時間不相同。而形狀半徑相同的球殼與球體、薄圓筒與圓柱體滾動時間仍然不相同，但是球殼比實心球體、薄圓筒比圓柱體需要的時間長，這是因為前者的質量分布相對于轉軸遠一些。

表2 不同形狀、半徑相同時的剛體滾動對比

設測量剛體標準J/m剛R2為λ，將式(6)兩邊同時平方可得：

(12)

根據測量的剛體滾動時間計算對應的λ(J/m剛R2) 數據如表3所示，與理論值偏差在3.0%以內。

表3 轉動慣量系數比較

利用最小二乘法處理數據擬合得曲線如圖5所示，其方程為

t2=0.7898λ+0.8095

(13)

圖5 t2與J/m剛R2擬合圖

2.2 桿狀剛體實驗

常有學生誤認為一個剛體轉動慣量是一個定值。本裝置通過巧妙的設計可以改變桿狀剛體轉軸的位置:轉軸在桿狀剛體中心和在剛體一端兩種情況。假設定滑輪和桿狀剛體組成的系統總轉動慣量J*可表示為

(14)

(15)

由此得桿狀剛體的轉動慣量

(16)

我們進行了無桿狀剛體、桿狀剛體中心安裝在滑輪中心及剛體一端連在滑輪中心3種情況下的實驗。本實驗剛體下落高度H=58.30cm,M1=105g,r=18.14mm。通過改變其轉軸位置測量的系統下落時間及根據式(16)求出的轉軸在中心及轉軸在桿一端時的桿狀下落高度剛體的轉動慣量值見表4所示。實驗結果表明改變轉軸位置,引起了轉動慣量的變化,從而影響了桿狀剛體轉動速度。

表4 桿狀剛體實驗數據

由實驗結果得出的轉軸在桿的中心位置和轉軸在桿一端時的轉動慣量滿足1∶4的關系,說明剛體的轉動慣量大小隨著轉軸位置改變而發生變化，同時也驗證了剛體的平行軸定理,該裝置可以用于實現定量實驗數據測量。

3 結語

我們設計的轉動慣量綜合演示儀可以演示幾種典型形狀的剛體在斜面上的純滾動現象，既可以定性比較滾動時間長短與剛體轉動慣量的關系，同時還可以進行轉動慣量的定量測量。通過改變桿狀剛體的轉軸位置從而改變其轉動慣量的大小，可以用于驗證平行軸定理。該設備桿狀剛體的轉軸設計非常巧妙，演示現象直觀生動，不僅能夠幫助學生理解轉動慣量概念及影響其大小的相關因素，顯著提高教學效果。由于該設備具備定量測量系統，所以可以開發新的力學實驗項目。

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