基于奇異值分解降噪與排序熵的渦旋壓縮機故障特征提取方法*

西安汽車科技職業學院機械工程系 西安 710038

1 研究背景

壓縮機是空調設備的核心部件，其性能好壞直接關系到系統工作的可靠性，因此，定期的狀態監測和故障診斷顯得尤為重要［1］。在工程領域中，一般通過分析振動信號的相關參數來判斷系統的運行狀況，最常見的是頻譜分析，這是一種定性描述振動狀態的分析方法。但是，頻譜分析的結果受采樣頻率、信號長度等因素的影響，且對非線性信號的振動特征不敏感，因此在實際應用中受到限制［2］。信息熵是一種非線性的信號處理方法，其基本理論是將時間序列的不確定性量化為一個熵值，從而來判斷系統復雜程度。熵值越大，說明信號不確定性越大，系統就越不穩定［3］。信息熵的種類較多，其中，排序熵［4］是最近提出的一種衡量一維時間序列復雜度的非線性參數，與其它信息熵相比，具有計算簡單、運算時間短、抗噪能力強等特點。

由于現場工作環境、測試條件等因素的影響，實測信號受噪聲污染的情況比較嚴重，從而導致故障特征被埋沒，故障診斷難度增加，因此，有必要對原始信號進行降噪處理。信號降噪方法有多種，其中，奇異值分解（SVD）降噪方法因不存在相位延遲而得到了廣泛應用［5］。基于上述理論，針對渦旋壓縮機故障信號非平穩、非線性的特點，筆者提出基于SVD降噪和排序熵的渦旋壓縮機故障特征提取方法，實現了故障狀態的定量描述，試驗結果表明，該方法能有效應用于渦旋壓縮機的故障診斷。

2 基于SVD的信號降噪方法

2.1 SVD降噪原理

SVD是一種重要的矩陣分解方法，在信號處理領域有著非常廣泛的應用，其降噪原理是在相空間重構的基礎上，對矩陣進行奇異值分解，并將噪聲對應的奇異值置零，最后利用SVD逆運算進行信號重構，從而達到降噪的目的。

假設 x（i）（i=1，2，...，N）為受噪聲污染的離散信號，利用窗口（M，τ）將 x順序分為 m×M維的 Hankel矩陣：

式中：m為嵌入維數，且滿足m+M-1=N；τ為延遲時間。

矩陣H可視為真實信號與噪聲信號的和，即H=D+W，其中：D代表真實信號的Hankel矩陣，W代表噪聲信號的Hankel矩陣。那么，信號的降噪問題便轉化為已知H、求D的逼近矩陣，逼近程度越好，降噪效果就越明顯。對矩陣H進行奇異值分解，得到：

式中：U為m×m維的酉矩陣；VT為V的轉置矩陣，也是一個 M×M維的酉矩陣；S為對角矩陣，S=diag（σ1，σ2，...，σr），σi為矩陣 H 的奇異值，r=min（m，M），一般取m<

研究表明，受噪聲污染的信號重構后，矩陣S必定為滿秩矩陣，且對應的奇異值之間存在如下關系：

即在σk與σk+1處奇異值有突變，且 σk+1后的奇異值逐漸趨于某一漸近值。這是因為信號中振動成分不同，對應的奇異值分布情況也不同，真實信號的奇異值主要貢獻于突變之前，而噪聲信號對各階的貢獻幾乎相等［6］。可見，σk之后的奇異值對應的都是噪聲信號。因此，保留前k個奇異值，將其它奇異值置0，這樣重構的矩陣就是降噪后的最佳逼近矩陣。

2.2 降噪階次的選擇方法

SVD降噪的關鍵就是選擇合適的降噪階次q，即選擇合適的奇異值進行信號重構。從降噪原理來看，q的大小取決于奇異值分布曲線中突變點的位置。在突變點處，相鄰兩個奇異值的差值最大，因此可利用奇異值差分譜［7］找到該突變點，進而確定降噪階次。

令 di=σi-σi+1，其中，i=1，2，...，r-1，則差分譜序列為D=（d1，d2，...，dq）。 根據奇異值分布規律， 當 σk>>σk+1時，σk則為差分譜序列中的最大值，然后將σk+1及其之后的奇異值置0，重構信號即可達到降噪的目的。考慮到信號中可能存在直流分量，通常使q保持在80以上。此外，當d1最大時，繼續尋找第二個最大值di，取前i個奇異值重構信號。

3 基于排序熵的特征提取方法

排序熵是由Bandt等［8］提出的一種定量描述時間序列復雜程度的非線性估計方法，其計算過程簡單，所需時間序列短，運算速度快。假設一組時間序列｛xi|i=1，2，...，N｝，其排序熵的計算過程如下。

（1）按照Takens理論對其進行相空間重構，則有［X1，…，Xi，XN-（m-1）τ］，其中 Xi=［Xi，Xi+τ…，Xi+（m-1）τ］。

（2）對Xi中的m個元素按升序排列，如果有相等的數，則按照原來的時間順序排列，每一種排序方式稱為一種模式。

（3）將每一種排序方式看成一個符號，則Xi就是一個符號序列，用L表示。f（L）表示每一種符號序列出現的次數，則其相對出現頻率為：

（4）定義排序熵為：

（5）歸一化后得到：

PE的大小表示時間序列的隨機程度，PE越小，表示時間序列越規則，PE越大，則越接近隨機序列。由此推斷，正弦信號是周期序列，變化規則，所以PE值較小；白噪聲信號是隨機序列，PE值接近于1。

4 試驗驗證

筆者取的試驗數據來自文獻［9］，試驗分別模擬了渦旋壓縮機的四種典型故障：轉子不平衡故障、渦旋盤故障、機械組裝松動故障和軸承松動故障。采樣頻率f=5 000 Hz，采樣點數N=1 000，每種故障取10個樣本，時域波形圖如圖1～圖4所示。可見，信號中的大幅值離散噪點很明顯被過濾掉了，初步驗證了SVD降噪方法的有效性。

對降噪前后的故障信號進行排序熵計算。根據文獻［10］的經驗，取 m=6，τ=1，分別計算不同故障狀態下的排序熵特征值。表1列出了四種典型故障降噪前后的排序熵熵帶及熵帶中心。對比表1中的各組數據可以得出：①降噪前不同故障的排序熵熵帶有一部分是重疊的，熵帶中心差別過小，例如渦旋盤故障與機械組裝松動故障的熵帶中心僅差0.020 9，故障特征重疊，不能作為故障診斷的依據；②降噪后不同故障的排序熵熵帶沒有重疊，對應的熵帶中心差別較大，故障特征突出，可以作為故障診斷的依據。

5 結論

為解決渦旋壓縮機故障信號的特征量化問題，筆者在奇異值分解降噪的基礎上，提出基于排序熵的故障特征提取方法。試驗驗證結果表明：①基于奇異值差分譜的SVD降噪方法能夠有效去除信號中的大幅值隨機噪聲；②不同故障的排序熵熵帶中心差別較大，能夠作為渦旋壓縮機狀態監測和故障診斷的理論依據；③基于奇異值分解和排序熵的故障特征提取方法具有一定的研究價值，可以推廣應用到其它機械系統的故障診斷中。

▲圖1 轉子不平衡故障時域波形

▲圖2 渦旋盤故障時域波形

▲圖3 機械組裝松動故障時域波形

▲圖4 軸承松動故障時域波形

表1 渦旋壓縮機典型故障排序熵