面向公路檢測的多軸穩定平臺運動學建模與等效變換

羅二娟

(山西省交通科學研究院 黃土地區公路建設與養護技術交通行業重點實驗室，山西 太原 030006)

0 引 言

為滿足交通基礎設施定期檢測、維修的需求，各種多功能檢測車應用而生[1-2]。為提高檢測車的工作效率和檢測精度，數字相機、激光傳感器等高精度儀器已成為不可或缺的重要裝備[3-4]。但是，在周圍車流量、發動機振動、路面顛簸等環境擾動的作用下，車輛會產生多自由度搖擺運動，給車載設備帶來嚴重影響[5]。因此研發能夠快速補償車輛多維擾動的裝置已成為當前交通智能裝備發展的關鍵。

并聯機構具有多軸聯動、結構緊湊、運動精度高、動態響應好等優點，是研制載體式多軸穩定平臺的理想機構學模型[6-9]。公路檢測用多軸穩定平臺是一個處于非慣性系中的復雜多剛體系統，應用傳統運動描述方法建立多軸穩定平臺的運動學模型時，推導過程繁瑣，數學模型復雜，更無法實現基于運動學模型的高精度實時伺服控制[10-13]。同時，樣機試驗研究是開展穩定平臺應用的前提，而在試驗初期，多軸穩定平臺樣機無法在車輛等非慣性系中開展各項功能性測試，只能在地面等慣性系中開展。這就需要建立多軸穩定平臺在慣性系中的等效運動學模型，以達到在慣性系中真實模擬非慣性系中各項性能指標的目的，為車載試驗及應用奠定基礎。

1 公路檢測用多軸穩定平臺

1.1 應用需求分析

當機器視覺應用于公路隧道時，由于內部光照強度有限，數字相機對被測物的適應度降低。同時，隧道尺寸、行車軌跡、外界多軸擾動都將導致相機拍攝距離變化，造成隧道表面位于數字相機工作距離之外，引起圖像模糊甚至無法采集圖像[14]。因此，隧道的特殊工況對智能檢測裝備提出了更為嚴格的要求。

1.1.1 行車軌跡

為了不影響交通，檢測系統在高速公路上運行時，車輛時速應在70～120 km·h-1。車輛在高速行駛過程中，在駕駛員主觀意識、周圍車流量的影響下，行駛軌跡會不可避免地發生偏移。試驗表明，車輛沿車道中心線橫向偏移量約為±0.5 m。

1.1.2 隧道結構尺寸

由《公路隧道設計規范》(JTG D70—2004)可知，隧道結構尺寸與路面設計時速有關。路面設計時速有60、80、100、120 km·h-1四種級別，對應影響隧道凈高分別為6.74、7.03、7.31、7.72 m，拱頂半徑分別為5.14、5.43、5.70、6.12 m。

以設計時速為60 km·h-1和120 km·h-1的隧道為例，當在隧道內相同位置拍攝襯砌表面時，兩者相差近1 m。同時，對于單向三車道隧道，其結構尺寸較大，隧道凈高一般為9 m左右，拱頂半徑為8 m左右，此時拍攝距離相差近2 m。

1.1.3 路面顛簸

與隧道外路面結構不同，隧道內路面為半剛性結構，在長時間的外載荷和溫度作用下容易發生變形、隆起，導致車輛在隧道內行駛時顛簸更為明顯。這種高頻振動擾動不僅影響視覺系統采集精度，還嚴重影響車載設備運行安全。

1.2 穩定平臺機構與坐標系統

在外部擾動作用下，視覺系統與隧道襯砌表面的相對位置發生變化，將導致數字相機、光源等設備與被測物的距離和姿態超出設計范圍。因此，為了保證圖像采集精度，在車輛底盤與視覺系統之間增加一套多軸穩定平臺系統，用以隔離車輛多維擾動對視覺系統的影響，如圖1(a)所示。考慮到需要隔離車輛空間多維擾動，且視覺系統重量大、車內安裝空間有限，因此采用經典的六自由度Stewart機構作為多軸穩定平臺的本體結構。

圖1 多軸穩定平臺系統

為后續研究方便，建立如圖1(b)所示的坐標系統：慣性系{e}，坐標系原點固連于車輛中心，xe軸沿車輛行駛方向，ze軸垂直底盤向上；車輛坐標系{v}，坐標系原點與車輛多維擾動中心重合，當車輛靜止時，{v}系與{e}系重合；并聯機構定平臺坐標系{o}，坐標系原點與定平臺重心重合，xo軸為車輛行駛方向、yo軸垂直于隧道表面、zo軸垂直向上；并聯機構動平臺坐標系{p}，坐標系原點與動平臺重心重合。

受外部擾動作用，車輛在行駛過程中會發生空間多自由度運動，因此在上述坐標系中{v}系和{o}系均為非慣性系。穩定平臺用并聯機構是一個處于非慣性系中運動的空間復雜多剛體系統，因此其運動學建模方法與傳統的建模方面并不相同。

2 多軸穩定平臺在非慣性系中的運動學建模

2.1 動平臺輸出與外部擾動間的數學關系

因此，動平臺位姿與外部擾動位姿之間的數學關系為

(1)

式中：Tvo為定平臺相對于車輛的位置矩陣，可由并聯機構安裝位置確定；Tep、Tev分別為定平臺、車輛相對于地面的位置態矩陣，可由慣性導航系統測量的參數確定。

利用傳統運動描述方法建立復雜多剛體的運動模型時，推導過程復雜；而基于旋量的剛體描述方法具有坐標不變性，可獲得較為簡潔的數學表達式。由李群理論可知，動平臺速度旋量、加速度旋量與其傳統速度、加速度之間的關系為

(2)

(3)

(4)

根據式(3)、(4)，得到動平臺速度與外部擾動速度之間的數學關系即

(5)

同理，建立動平臺加速度與外部擾動運動之間的數學關系為

(6)

式中：Θ是一個元素為單位列矢量的反對稱矩陣。

2.2 運動分支輸入與動平臺輸出間的數學關系

(7)

根據螺旋理論法，可建立運動分支輸入速度、加速度與動平臺速度旋量、加速度旋量之間的映射關系，即

(8)

式中：G、H為并聯機構雅克比矩陣和李括弧雅克比矩陣。

結合式(5)和式(8)建立運動分支輸入速度與動平臺輸出之間的數學關系即

(9)

結合式(6)、(8)建立運動分支輸入加速度與動平臺輸出之間的數學關系即

上式進一步整理并化簡為

(10)

3 數值計算與虛擬樣機仿真

3.1 系統參數

以隧道智能檢測車為研究對象，設計Stewart機構參數如下：動平臺運動副中心點外接圓直徑d1=1 600 mm，夾角θ1=10°；定平臺運動副中心點外接圓直徑d2=1 800 mm，夾角θ2=10°；機構初始高度h=1 200 mm。

為了簡化研究過程，使用正弦波模擬車輛擾動，同時在前期研究中發現，車輛側傾、橫移、升降運動對車載儀器采集精度影響較為嚴重，因此設定車輛相對于大地的運動規律為

(11)

為了給出更一般性的結論，并聯機構的動平臺相對大地仍然有相對運動量，結合數字相機、激光光源對安裝環境穩定性能的要求，設定動平臺相對于 大地的六維運動規律仍為正弦規律，對應的三軸轉動參數有幅值1°、周期5.9 s；三軸移動參數有幅值10 mm、周期4.2 s。

3.2 仿真與數值計算

結合制定的系統參數及建立的多軸穩定平臺在非慣性系中的運動學模型，獲得運動分支輸入位移、速度、加速度曲線，如圖2所示。

在動力學仿真軟件中建立穩定平臺系統的虛擬樣機模型，并在并聯機構動平臺及車輛質心中添加多軸虛擬驅動。將上節中的運動規律作為樣條曲線輸入到多軸驅動上進行運動學仿真。多軸穩定平臺虛擬樣機按照上述規律運動后，通過動力學仿真軟件測量各運動分支處的相對位移、速度、加速度，如圖3所示。對比圖2、3中對應的曲線，兩者變化趨勢及幅值完全相同，這也驗證了本文理論分析方法的正確性。

圖2 數值計算結果

圖3 虛擬樣機仿真結果

4 運動學模型在慣性系中的等效變換

4.1 等效運動參數

車輛、動平臺按給定規律運動時，按式(1)建立了動平臺運動參數ψx、ψy、ψz、Sx、Sy、Sz與車輛擾動、動平臺主動運動之間的表達式，采用10次樣條差值函數建立動平臺相對于定平臺的位姿數學表達式即

(12)

式中：μ代表各元素值，如表1所示。

若并聯機構定平臺與大地固連，即多軸穩定平臺處于慣性坐標系中，此時定平臺坐標系{o}為慣性系。定平臺按式(12)所述的位姿參數相對{o}系運動，本文將這一過程稱為多軸穩定平臺機構由非慣性系到慣性系的等效變換，相應的數學模型稱為等效運動學模型。

4.2 所處坐標系對運動學性能的影響

結合式(12)及多剛體系統運動旋量之間的數學關系，建立t時刻動平臺在慣性系中等效速度、加速度旋量分別為

(13)

(14)

由于多軸穩定平臺在非慣性系和慣性系中的運 動學參數完全相同，因此根據等效運動參數(表1)獲得的運動分支位移與穩定平臺在非慣性系中獲得的結果完全相同。依據并聯機構末端輸出與分支輸入速度、加速度的映射關系，在等效運動參數作用下，當穩定平臺處于慣性系中運動時，運動分支輸入速度、加速度數學表達式為

(15)

表1 動平臺等效運動參數

4.3 數值分析

當多軸穩定平臺的動平臺按等效運動參數運動時，結合式(13)～(15)，獲得運動分支速度、加速度變化曲線，如圖4所示。與圖2對應曲線相比，各運動分支曲線在中間時間段完全相同，但是在開始和結束時刻不完全一致。造成上述現象的原因是，動平臺位姿函數是由各離散數據點擬合而成，因此在初始及結束階段樣條曲線的差值精度較差。當分析速度、加速度時，需要獲得位置曲線的一、二階時間導數，此時這種擬合誤差將會被放大，因此由計算獲得運動分支速度曲線在兩端誤差并不大，而加速度曲線與非慣性系模型相比差距較大。

5 結 語

(1)基于并聯機構的多軸穩定平臺可用于補償車載外部擾動對視覺系統的影響，實現車載設備相對慣性空間穩定，提高設備工作精度。

(2)基于李群李代數建立的并聯機構在非慣性系中的運動學模型，具有形式統一、推導過程簡單、坐標不變性等優點，仿真結果驗證了理論建模的正確性，該建模方法可應用于復雜多剛體的動力學問題。

圖4 等效運動學模型下的運動分支輸入量

(3)并聯機構在非慣性系和慣性系中的運動學建模并不完全相同，機構所處坐標系對其運動學性能影響較大。

(4)通過運動參數等效變換建立了機構在慣性系中的等效運動學模型，數值分析結果表明，提出的運動學模型等效變換能夠完全模擬車載穩定平臺在實際中的各項性能指標，為下一步開展地面試驗提供了理論依據。