一個杠桿問題的解法及推廣

王偉民

【摘 要】 用對函數求導確定駐點的方法，探究一個力學問題中兩物體間作用力的變化規律，并將解決問題的方法作一推廣.

【關鍵詞】 鋼板；圓柱體；壓力；杠桿平衡；三角函數

例題1 如圖1所示，一密度均勻的長鋼板OA左端O點用鉸鏈固定于地面，從鋼板右方底下沿水平地面向左推進一個圓柱體鐵桶，若不計摩擦，在鐵桶緩慢左移的過程中，鋼板對鐵桶的壓力[假設鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小]（ ）.

A.逐漸變小 B.逐漸變大C.始終不變 D.先變大，再變小

作為選擇題，考慮“極端值”并采用淘汰法，很容易確定本題的答案是選項D——由題目條件“鐵桶剛進入時鋼板與水平地面的夾角足夠小”可知，若鐵桶直徑相對鋼板的長度足夠小（只有這樣才能保證開始“鋼板與水平地面的夾角足夠小”），鐵桶剛進入時，鋼板對鐵桶的壓力接近于鋼板重力的一半，當鐵桶向左前進相當長的距離后（比如前進的距離是鋼板長度的一半），則相對于支點，鐵桶對鋼板壓力的力臂幾乎減小一半，而鋼板與水平面的夾角可以幾乎不變（我們可以設想鋼板有鉸鏈的一端在北京，另一端在上海，鐵桶只是直徑為30cm的普通鐵桶，就可以想象出在鐵桶向左推進過程中鋼板與水平地面夾角的變化情形了），所以，開始的過程，鐵桶與鋼板間的壓力應該不斷的增大，而當鋼板與水平地面的夾角接近于90°時，鋼板與鐵桶之間的壓力趨向于0，變得很小，所以，我們可以將題目所給4個選項中的前三個淘汰，而得出本題的正確選項D.

然而，如果本題不是選擇題，而是一道問答題——“在鋼板從右端緩慢推進過程中，鋼板對鐵桶的壓力如何變？”，或者，題目雖然依然是選擇題，但作為教師的我們想弄清楚在鐵桶的整個運動過程中，鋼板與鐵桶間壓力的變化規律，那么，就需要對兩者間的壓力進行定量分析.下面，我們將本題作為問答題進行解答.

分析 在鐵桶向左緩慢移動的的過程中，鐵桶對鋼板壓力的作用點位置和方向都在不停的變化，而且鋼板與水平面的夾角也在不斷增大.設鋼板與水平地面的夾角為θ，顯然，當鋼板的長度、重力和鐵桶的直徑大小等物理量確定之后，對于每一個確定的θ值，鐵桶都有唯一的位置與之對應，此時，鐵桶對鋼板壓力的大小便唯一確定下來了，所以，鐵桶與鋼板間壓力的大小是鋼板與水平面夾角θ的函數，函數關系式一旦確定下來，我們就可以確定鐵桶與鋼板之間壓力的變化范圍，當然也是鋼板對鐵桶壓力的變化范圍.

作者簡介

王偉民（1964—），男，本科學歷，中教高級.曾榮獲太和縣優秀教師、太和縣師德標兵、阜陽市優秀教師等稱號；在《物理通報》、《物理教學》、《物理教學探討》、《物理教師》、《中學物理教學參考》、《中學地理教學參考》、《中學生物教學》、《中學數學教學參考》、《中學數學雜志》、《中小學數學》等期刊發表論文140余篇.