基于反向策略和柯西分布的粒子群優化算法

(內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641112)

粒子群優化[1](PSO)是模擬鳥類捕食行為的仿生算法.該算法具有容易實現、收斂速度快等優點，在組合優化、聚類分析、神經網絡訓練等方面應用廣泛.但該算法易陷入局部最優，所以諸多學者利用余弦函數的對稱性對學習因子進行改進[2]，或采用遞減指數和迭代閾值[3]、自適應方法[4]、柯西分布[5]等對慣性權重進行改進，均促進了算法的發展.為加快算法的收斂速度和提高全局搜索性能，本文提出基于混沌和反向策略產生初始解，利用柯西密度函數和柯西分布函數對算法進行改進，通過4個經典函數進行測試，并與文獻[2]、文獻[6]進行對比，仿真結果表明：改進算法的收斂速度更快，搜索結果更有效.

1 粒子群優化算法

在D維搜索空間中，由m個粒子組成，第i個粒子表示空間向量xi=(xi1,xi2, …,xiD)(i=1,2, …,m)，即第i個粒子在D維搜索空間中的位置是xi，其速度為vi=(vi1,vi2, …,viD).記第i個粒子搜索到最好的位置為Pi=(pi1,pi2, …,piD)，整個群體搜索到最好的位置為Pg=(pg1,pg2, …,pgD).粒子的速度-位置方程描述為

(1)

(2)

其中，w是慣性權重，c1和c2為學習因子，c1是“自身認知”，是對自身信息的利用；c2是“社會認知”，是群體間信息共享；r1，r2為[0,1]中服從均勻分布的隨機數.

2 基于反向策略和柯西分布的粒子群優化算法

2.1 基于混沌的反向策略機制

利用混沌運動的特點(初值的高度敏感性、遍歷性、隨機性)[7]進行初始化，可以使種群多樣化，避免過于早熟.文章采取Logistic映射進行混沌初始化，其表達式為

Xn+1=μ·Xn·(1-Xn),n=0,1,2,…,N,

其中,0

反向學習[8]指在搜索過程中，同時考慮當前解和它的反向解，當前解有一半的概率比它的反向解更遠離最優解，因此，采用基于當前解與反向解的精英選擇策略來進行初始化.

2.2 基于柯西密度函數的慣性權重調整

2.3 基于柯西分布函數的粒子位置更新

綜合以上改進，對改進辦法進行實驗：方法一，混沌與反向學習策略進行初始化；方法二，采用式(3)進行調整；方法三，采用式(4)對進行調整；改進算法，綜合方法一、二、三進行調整.

3 實驗結果與分析

3.1 測試函數與配置

對于上述方法，通過4個典型測試函數來測試：

采用MatlabR2010b，環境：CPU為Intel(R)Xeon(R) E5,2.6 Ghz，內存為8GB，操作系統為Windows7SP1.

3.2 改進方法的有效性測試

分別對方法一、方法二、方法三以及標準PSO進行測試，各運行1 000次后取平均值及標準差，規定：慣性權重為0.5，學習因子都為2，粒子數為30，空間維數為30，結果見表1、2.由表1可知，方法一對單峰函數的尋優效果較好，對多峰函數表現一般；方法二對4個函數的尋優效果都有一定的提高；方法三在Sphere、Griewank的尋優中表現良好.由表2可知，三種方法對解的穩定性均有改進，說明該算法有效.

表1 各方法的最優平均值

表2 各方法下的最優值的方差

3.3 改進算法的比較實驗

參數設置為：文獻[6]中，c1,c2:1.5～2.5，w=1；文獻[2]中采用余弦公式進行參數更新；本文的改進算法采用之前的設置值.實驗結論如下：(1)針對單峰函數Sphere，改進算法每次都能找到最優值，但求解Rosenbrock時的改進算法弱于文獻[6]，優于文獻[2]；(2)針對多峰函數Rastrigin和Griewank，改進算法能夠找到最優值(表3)，優于文獻[2]和文獻[6]；最優值的方差優于文獻[2]和文獻[6](表4)，這說明算法更加穩定.綜上所述，改進算法在收斂精度上有明顯提高，能夠避免陷入局部最優.

表3 不同粒子群優化算法的搜索結果比較

表4 測試函數的最優值的方差比較

4 結語

針對算法易陷入局部最優的缺點，采用混沌和反向策略產生初始解，能使算法更好地覆蓋解空間，產生較好的初始解；利用柯西密度函數對慣性權重進行調整，利用柯西分布函數對位置更新公式進行調整，通過實驗來驗證三種調整方法的有效性.改進算法在尋優中表現更好，特別是在多峰函數中.