級聯光束分離器的糾纏特性及其應用?

賈芳 張魁正 胡銀泉 張浩亮 胡利云3)? 范洪義

1)(江西師范大學,江西省光電子與通信重點實驗室,南昌 330022)2)(中國科技大學材料科學與工程系,合肥 230026)3)(江西師范大學,量子科學與技術中心,南昌 330022)(2018年2月28日收到;2018年4月11日收到修改稿)

1 引 言

量子糾纏是量子物理中的一個奇異現象.為了驗證量子態的非經典特性(包括量子糾纏),實現不同的量子任務,人們需要制備不同的量子態并期望對其實現操控.作為一種線性光學器件,光束分離器是常用于量子態的制備及量子理論等領域的思想實驗和現實實驗的手段,也是大多數干涉儀的關鍵部分.此外,光束分離器也是量子力學中糾纏態表象制備的有效方法.例如,利用對稱光束分離器可以制備質心坐標Q1+Q2及相對動量P1?P2的共同本征態|η?,它構成了一個完備的量子力學表象[1];該表象可用于構建復分數傅里葉變換[2]、糾纏分數傅里葉變換[3,4],通過經典尺度變換?可構建雙模壓縮算符[5]也可以用于描述系統與環境之間的糾纏.基于該表象可以方便有效地求解密度算符主方程,得到密度算符的Kraus算符和表示,并可將特征函數歸結為態矢量與熱糾纏態表象的內積,從而為分布函數(Wigner函數、特征函數)的時間演化提供了簡便的計算方法[6].此外,該表象在求解兩體動力學問題、量子隱形傳態、量子密集編碼、算符恒等式推導等方面有著廣泛應用[5,7?11].當兩個單模壓縮真空態輸入光束分離器,可獲得雙模壓縮真空態.該態在量子密鑰分發等方面有廣泛應用[12,13].

另一方面,光束分離器也被廣泛應用于量子信息與量子計算中.為了研究的方便,人們常常用光束分離器來模擬量子耗散,如光束分離器一輸入端為真空用于模擬振幅衰減通道,輸入熱態模擬有限溫度通道,壓縮熱態輸入模擬相位敏感的耗散通道[14].這些模擬與相應密度算符主方程的等價性已被證明.當光束分離器一端輸入真空,在一輸出端進行條件光子數探測,該過程可以用于實現光子扣除,從而制備若干非經典態、改善量子糾纏與量子隱形傳輸保真度等[15?18].此外,多個光束分離器的組合系統也具有廣泛應用.馬赫-曾德爾干涉儀由兩個光束分離器構成,被廣泛用于量子精密測量[19?21];兩個共享一端(前光束分離器一個輸出作為后一光束分離器的一個輸入)的光束分離器組合被用于實現有限維的量子態工程,如可實現連續量子態的截斷、離散比特量子疊加態的隱形傳輸、量子糾纏度改善與壓縮度增強等[22?24];兩個級聯的馬赫-曾德爾干涉也被用于制備真空態與單光子態的超疊加,該方案比其他相關方案具有更高的測量概率且具有更高抵抗環境的能力[23];三個不對稱光束分離器組成的三個輸入與三個輸出的系統可用于實現受控非門[25,26].由n個光束分離器組合系統,如算符形式為

被用于獲得多模Einstein-Podolsky-Rosen糾纏態、相干糾纏態表象等[27,28].最近,利用光束分離器算符在表象中的表示,研究表明該算符可分解成多個單模壓縮算符、雙模壓縮算符的乘積[29].

在以上的研究中,一方面,利用Heisenberg繪景中光束分離器算符的變換關系獲得量子力學糾纏態表象及其Schmidt分解、光束分離器算符的正規乘積表示等不夠直接有效;另一方面,當多個光束分離器組成復雜系統時,計算輸出量子態時(在Schr?dinger繪景中)通常要逐步將光束分離器算符作用于量子態上,計算過程較為復雜.基于此,注意到在Heisenberg繪景中可直接給出總體算符的變換矩陣以及借鑒壓縮算符在坐標表象中自然表示的思想,本文結合有序算符內的積分技術直接導出多個光束分離器級聯總算符的正規乘積、緊指數表示、坐標態表象中的表示.同時,基于多級聯器件制備新糾纏態表象,直接導出它們的Schmidt分解.該研究方法可推廣至線性器件甚至非線性器件組成的任意系統中.

本文第二部分通過簡要回顧單個光束分離器的變換關系,建立了Heisenberg繪景中湮沒算符的變換矩陣與Schr?dinger繪景中產生算符的變換矩陣的對應關系——二者可以通過簡單的轉置操作聯系.這為繪景間的轉換提供了直接途徑.同時,結合有序算符內積分技術和量子力學表象理論,推導了單個光束分離器算符的正規乘積和緊指數表示.第三部分基于以上方法,進一步考慮了兩級聯光束分離器總算符的表象表示及其正規乘積,并推廣至多個級聯光束分離器算符情況.第四部分以兩級聯光束分離器為例,考察了它們在量子力學表象構建、基于條件測量產生非經典量子態方面的應用.其中,總算符的表象表示與正規乘積形式為計算提供了很大便利.最后是結論部分.

2 單個光束分離器的變換關系及變換算符

2.1 單個光束分離器的變換關系

首先,回顧一下單個光束分離器特點.如圖1所示,單個光束分離器由兩個輸入端、兩個輸出端構成.用算符a1和a2表示輸入場模,b1和b2表示輸出場模.由于該過程是一個線性過程,故而輸入輸出關系可表示為

其中矩陣M為單個光束分離器對應的散射矩陣——幺正變換矩陣.為方便,(2)式中忽略了相位因子項.對于無損失光束分離器,輸入輸出端的總光子數必守恒,即要求

圖1 單個光束分離器的輸入輸出示意圖Fig.1.Simple diagram for input-output relation of single beam splitter(BS).

由于算符平均值不依賴于具體的繪景,即在Heisenberg繪景中平均值與(4)式相等,則要求Heisenberg繪景中算符OH演化滿足

故由(1)和(5)式可知,與光束分離器算符U所對應的輸入輸出關系為

Mij是(2)式的矩陣元.至此,我們并不知道算符U.為了得到算符U的具體形式或者輸出態的具體形式,就需要將問題的討論轉到Schr?dinger繪景中去. 不失一般性,設輸入態為|00?為雙模真空態,則輸出態為

(8)式最后一步中利用了光束分離器算符的線性特征U|00?=|00?,以及U?U=I. 比較(6)和(8)式易見,在Heisenberg繪景和Schr?dinger繪景中需要計算的分別是變換那么,這兩個變換之間是如何通過變換矩陣M相聯系的呢?注意到,變換UOU?實際上是一個逆變換過程,即將原輸出算符看成輸入算符,原輸入算符看成輸出算符——交換了輸入輸出關系.或者說,以上這個變換實現了算符的變換.故而逆變換的輸入輸出關系可寫為

其中散射矩陣N為變換UOU?所對應.聯立(1)和

(9)式可得

2.2 幺正變換算符U的表象表示及其正規乘積

那么,與變換關系式(1)對應的幺正變換算符U是什么呢? 下面,利用量子力學表象理論方法以及有序算符內積分技術來推導U的具體形式. 設光束分離器兩輸入端為坐標算符和的本征態?和?,且?和則輸出量子態為

其中坐標態為

注意到,對于(2)式給出的散射矩陣為實矩陣,則有MMT=MTM=I以及|M|=1,故(15)式可改為

則幺正算符U在坐標表象中可表示為

進一步利用有序算符內積分技術可得U的正規乘積形式為[29]

此即光束分離器算符的正規乘積表示.通過(18)式U對θ微商不難獲得

故U的緊指數表示為

3 級聯光束分離器算符的表象表示及正規乘積

3.1 兩級聯光束分離器算符的表象表示

首先,考慮兩個級聯光束分離器算符的整體變換關系及其坐標表象中的表示,并由此推導級聯光束分離器算符的正規乘積.兩級聯光束分離器如圖2所示.兩個光束分離器的變換關系分別為

其中總散射矩陣Mtot-2為

按照推導(17)式的方法直接可得兩級聯光束分離器算符在坐標表象中的表示為

實際上,按照單個光束分離器算符的坐標表示式(17)亦可得Utot-2的坐標表象中的表示式(24).

圖2 兩個級聯光束分離器示意圖Fig.2.Simple diagram for two-cascaded beam splitters.

3.2 兩級聯光束分離器算符的正規乘積與緊指數表示

利用有序算符內積分技術和坐標態(14)式、積分式(24)并注意到可得兩級聯光束分離器算符的正規乘積為

(24)和(25)式在糾纏態表象的制備及在給定輸入量子態時計算輸出態時有方便有效的應用.利用算符恒等式:可得

此即級聯光束分離器算符的緊指數表示.通過對變換矩陣Mtot-2進行對角化,可進一步獲得(26)式不包含對數的具體形式.

3.3 多光束分離器級聯

以上討論可方便地推廣至多光束分離器級聯的情況.考慮如圖3所示的n個光束分離器的級聯.對于此類級聯,可知n個光束分離器對應的變換矩陣為

圖3 多個級聯光束分離器示意圖(這里只列出了一種常見形式)Fig.3.Simple diagram for multi-cascaded beam splitters.Here we show an example.

其中

其中K是實對稱且正定的n×n方陣,可得Utot-n的正規乘積為

相應的級聯光束分離器總算符的緊指數表示則為

4 級聯光束分離器算符的應用

下面,考慮兩級聯光束分離器算符的表象表示及正規乘積在量子力學糾纏態表象的構造、輸出量子態計算方面的應用.實際上,光束分離器的各種組合在量子態的制備中十分易見.以下的討論方法可直接推廣至多光束分離器級聯的情況,這里僅以兩級聯光束分離器為例.

4.1 量子力學表象的制備

首先,利用級聯光束分離器算符的表象表示來構造糾纏表象.注意到若3個輸入端均為坐標態時,并不能得到糾纏表象,而是3個坐標態的直積態.此外,由(17)式可知,當 a1,a2模分別輸入坐標態時輸出量子態仍然為坐標直積態,而非糾纏態.因此,考慮 a1,a2,a3模分別輸入坐標態動量態和坐標態即輸入態為利用(24)式與坐標態、動量態內積關系可得輸出態為

(35)式即為輸出態|Ψ?out在坐標表象中的Schmidt分解.可見,當兩個坐標態和一個動量態輸入時,可得到一類新的糾纏態表象,(35)式即是該糾纏態在坐標表象中的表示.那么,該態具體形式是什么?是什么算符的共同本征態呢?利用坐標態的表達式(14),直接積分(35)式可得

此外,由(22)式可知

式可得

其中

不難看出,(40)式中右邊算符是可對易的.由(40)式直接可得本征方程

至此,我們構建了一類新形式的三模糾纏態表象,它是正交完備的.這一點可直接由表達式以及坐標態、動量態的完備性關系得到;也可利用有序算符內積分技術將正交性和完備性分別寫成

即在正規乘積下,量子態的完備性關系寫成了一個高斯型積分.這也為構造量子力學表象提供了一個新的途徑.糾纏態表象在其他方面,如構造壓縮算符、糾纏分數傅里葉變換以及糾纏分數壓縮變換等也有相關應用[2?4].這些將在進一步工作中予以討論.

4.2 條件測量下輸出量子態的計算

實際上,級聯光束分離器在量子信息處理、量子態工程中是一種常用的線性器件.結合光子數探測、零差探測等可實現量子CNOT門、非高斯量子態(如壓縮類-Bell態)、qubit量子態的隱形傳輸及量子測量精度的改善等.在圖2中,進一步考慮在輸出端b2與b3進行光子數探測,a1(a2)與a3分別輸入數態|Ψ?12與相干態|α?3, 那么測量后b1輸出端對應于什么量子態呢?實際上,此過程可看成是量子剪切[32].

其中Mij為矩陣(23)式的矩陣元.將具體值代入(45)式并令可得歸一化輸出態為

可見,輸出量子態中只包含了真空態與單光子態的組合,即相比于輸入的相干態而言以上方式實現了相干態的剪切.特別地,當cotθ1cotθ2=1時,輸出態為|0?+α|1?,即留下了與輸入相干態的前兩項完全相同的項.有趣的是,當第三模a3的輸入態為|0?+μ|1?,不難看出,通過調整兩光束分離器的透射與反射率可以獲得與|0?+μ|1?相同的輸出態.故該方案也被用于量子隱形傳輸[22].

將矩陣元Mij代入后可得歸一化的輸出態

恰好就是相干態的前三項.此外,當cot2θ2=0或cot2θ1=0,有

即只要其中一個光束分離器是對稱的,則輸出態將只包含有|0?,|2?兩個組分.因此,在該方案下,非對稱光束分離器是產生以上三組分疊加態的必要條件,且當 2cot2θ2cot2θ1=1滿足時,輸出態就是輸入相干態的前三項.這一結果要求不對稱的光束分離器.有趣的是,當第三模輸入態為的任意疊加態時,利用上述方案,通過調整光束分離器的透射率,實現完全相同的疊加態的輸出是可能的.

5 結 論

光束分離器是一種應用十分廣泛的線性器件,其算符的輸入輸出關系可在Heisenberg繪景中方便地得到,特別是對于由多個線性器件組成的系統,算符輸入輸出關系可利用單個變換矩陣的乘積直接獲得.然而,在諸多情況下,如計算輸出端檢測到光子數的概率以及獲得線性器件對應的幺正算符表示及其表象表示等,則需要轉到Schr?dinger繪景中來計算輸出量子態.基于在Schr?dinger繪景和 Heisenberg繪景計算平均值的等價性,建立了Heisenberg繪景中的變換矩陣與 Schr?dinger繪景中變換矩陣的關系.具體而言,Heisenberg繪景中湮沒算符的變換矩陣轉置后就得到Schr?dinger繪景中的產生算符的變換矩陣.這一簡潔的關系為Heisenberg繪景和Schr?dinger繪景變換關系的轉換架起了直接的橋梁,即可在Heisenberg繪景中直接給出算符的變換關系,通過轉置后直接應用于Schr?dinger繪景,而避免了Schr?dinger繪景中一步一步的算符變換運算.

基于以上兩繪景中變換矩陣的聯系并結合有序算符內的積分技術,本文首先給出了單個光束分離器算符在坐標表象中的表示及其正規乘積形式與緊指數表示.此后,進一步考察了兩個級聯光束分離器算符的表象表示及正規乘積形式與緊指數表示.并推廣至多光束分離器的組合情況.相關研究內容為多模糾纏態、多模qubit態的制備提供了一種有效的途徑,且為由光束分離器組成的線性器件系統總作用的算符正規乘積及其緊指數表示提供了一般方法.此外,考察了兩個級聯光束分離器在量子力學表象制備以及條件測量下制備疊加量子態中的應用.利用級聯光束分離器的表象表示,不但可以有效地給出糾纏態表象的Schmidt分解,而且可知輸入若為非經典的坐標態(壓縮無限大的理想態)并不能得到糾纏態.這就意味著,向光束分離器輸入非經典態時并不總能獲得糾纏態.利用級聯光束分離器算符的正規乘積并結合條件測量,可以方便地計算輸出量子態,如數態|0?,|1?,|2?的疊加態.本文的處理方法可推廣至其他線性器件組成的復雜系統中.今后,將進一步討論新糾纏態表象在光學變換,如小波變換、分數傅里葉變換中的應用.